折纸与数学简介

折纸与数学简介第一部分：数学课程大纲和折纸教学计划《折纸中的数学》课程纲要《过点对折》教学方案所提供的教学方案模板为一般样式，在诸要素齐全的情况下，可根据自己的教学实际、构想适当创造、加工。篇二：探究折纸中的数学探究折纸中的数学教学目标（1）通过折纸理解垂直和平行的定义和相关性质；体会折纸中的数学思想，从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。培养学生分析问题、解决问题的能力。（2）通过折纸理解等腰三角形和等边三角形的相关性质。（3）体会和理解等量（等角、等边、全等）产生的具体操作办法和依据。教学重点：通过折纸巩固中点的定义、角平分线定义以及垂直和平行的定义和相关性质；掌握折纸的基本方法，并通过折等腰和等边三角形体会和理解等量（等角、等边、全等）产生的具体操作办法和依据。教学难点：正确地分析折纸所蕴含着的数学信息教学方法：引导法、讨论法、操作探索法。教具：多媒体计算机、投影、课件教学过程设计：一、引课用多媒体打出折纸作品的图片供学生欣赏，激发学生的兴趣。然后让学生展示他们自己提前作的折纸作品。并让学生谈一下自己在折纸过程中的体会和认识。教师说明折纸跟数学有很大的联系。二、正课：（分版块）（学生折纸折出后由学生上台演示充当一个小老师或展示自己的折纸作品充分发挥学生学习的主体地位，增强学生学习数学的兴趣与成就感。）（一）、复习与折纸有关系的旧知识：中点的定义.1、怎样用折纸的办法得到一条线断的中点。（二）、复习与折纸有关系的旧知识：角平分线定义。1、怎样用折纸的办法得到一个角的角平分线？（三）、复习与垂直有关系的旧知识：垂直定义与垂直性质。（1）取一张纸任意对折，将第一次对折的折痕再对折，展开纸张，你能找出其中的直角吗？（2）除了（1）中的方法，你还有其他方法折出直角吗？与同伴进行交流。折直角的方法很多，比如将纸片的一边同时向内翻折并对齐，也可以得到直角，这里应让学生尽可能多的找出或讨论出折叠的方法，对折纸的数学意义有充分的了解。可以按下列方法折纸，然后回答问题：问题：AE与EF位置有什么关系？（先大胆猜想，再验证.）(提示画出折痕EH)解：∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）∴∠BEH=2∠2，∠CEH=2∠3∵∠BEH+∠CEH=180（平角的定义）∴2∠2+2∠3=18000∴∠2+∠3=900∴∠AEF=90∴AE⊥EF（垂直的定义）0（2）如何过一点折出与已知直线相垂直的直线（分别过直线上和直线外一点作垂线）？（四）、复习与折纸有关系的旧知识：平行定义与平行公理和推论。想一想（1）通过折纸你能折出两条平行的直线吗？（2）你能折出与已折两条平行线都平行的直线吗？通过折叠直角，学生对折法有了一定的认识和了解，再折平行线学生能够联想到平行线的有关知识，可以想到只要折出相等的同位角和内错角，就可以得到平行线；要折出与已折两条平行线都平行的直线只需将两条平行线再对折或利用刚才的方法。教学时，可先让学生回想平行线的性质和判定，进而找出方法，并能意识到折纸中所蕴涵的数学思想和依据。（五）复习：什么是等腰三角形？什么是等边三角形？做一做：1）怎样用一张纸片折出等腰三角形？你能说出其中的道理吗？2）怎样用一张长方形纸片折出等边三角形？折完后打开纸片，你能找出其中的特殊图形和轴对称图形吗？折等腰三角形的方法（一）：如下图是以正方形一边的中垂线为中心线向内翻折，依据是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。篇三：浅谈折纸数学活动课浅谈折纸数学活动课内容摘要：数学源于生活，生活中处处有数学，教师要善于挖掘“生活”的源泉，引来“数学”的活水，从现实生活中捕捉有利于学生探究性学习的素材。在初中数学教学过程中，几何部分有许多探究性问题以折纸为载体，利用数学知识指导实践操作，让学生经历合乎逻辑的思考和有条理的说理过程，更好地感受数学活动的价值。这样的数学活动情境，其目标是帮助学生积累数学活动的经验，培养学生应用意识和创新意识[1]。学生借助于所学知识和生活经验，独立思考，发现问题和提出问题、分析和解决问题，感知数学活动课的趣味性，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学知识的理解。关键词：数学活动折纸探究合作热点考题开放题型引言：初中数学活动课------折纸的某些教学应用价值尚未被广大师生所开发，折纸的数学教学功能尚未被广大师生所重视。其原因大致可能有：教学课时紧，折纸比较费时间；广大师生没有这方面的认知和经验，所以得不到广泛推广；还有就是学生觉得研究折纸问题太过复杂，时代性不强，展示效果不如计算机优越。将折纸应用于数学教学还面临诸多方面的挑战和阻力，现有的教学活动也都处于摸索和尝试之中，例如上海市青浦教育进修学院的宋伟倩、孙志远老师和华东师范大学数学系的黄荣金老师以“如何在实验操作中让学生体验数学发现的过程，感悟数学思想方法和本质”[1]作为研究的主题在课堂上讨论了“用纸片折几何图形”的课题。学生们通过折纸活动和小组交流探索发现很多不同的折法。在初中阶段，折纸运用于数学教学的形式大体上有：1、课堂上的专题讨论。2、课堂上将折纸作为辅助教学工具演示几何形态。3、提供课后学生思考的操作题。4、出现在探索、开放性试题中。特别是近几年的中考，成为热点考题，例如安徽省２０１３年中考数学的填空题第14题，如果教师在课堂上开展这样数学活动课，学生具备分析处理问题的能力，他们在接触这类问题时，不会束手无策。所以作为一线的教师，有必要上好数学折纸活动课。下面就从我的一堂数学折纸活动课，粗浅地谈谈对折纸活动课的认识。本文以人教版义务教育课程标准试验教材，八年级数学下册第十九章《四边形》章节数学活动课为例，谈谈对初中阶段数学折纸教学的认识。数学活动：利用矩形纸条折出60o，30o，15o角。活动开始时，教师首先提出问题：如果我们身边没有量角器或三角尺，又需做60o，30o，15o等大小的角，如何用一个长方形纸条折出一个60o，30o，15o角？并对折出的角，试说明为什么是60o，30o，15o角？理由是什么？学生即用事先准备好矩形纸条，分组活动交流合作，完成实践操作。这里需要思考如何从矩形纸条的直角里分出60o角或者30o角？尽量让他们想出可行的方案。活动进行时，学生在独立的尝试折纸过程中，感受许多错综复杂的数学思想。大致梳理有以下的一些情况：①有的小组学生就简单将直角分三个角重叠，但这样做显然不合理，究其原因：理论上把角三90o等份，就是30o，但是折叠操作难度大，且有很大的局限性。②有的小组学生比较灵活，善于从已有的知识出发思考问题。想在矩形中折出一个直角三角形，其中的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角就是30o，但操作也很难实现，原因没有直尺直接测量直角边等于斜边的一半，所以这种思想方法就这样放弃了。③在其中的好几组学生，思想方法独特，他们能够将矩形纸张如图一对折，折痕为EF，展开后，再一次将矩形顶点A延BM折叠，使得A落在EF上N点处，那么这时的?ABM??NBM，这些学生可能事先已经对该活动（图一）已经预习，不管怎么样，这样的学习态度值得表扬。活动过程中，教师再次提出问题：这里的?ABM??NBM，其角的大小为多少，你能算出来吗？让全体学生顺着③的学生折纸方法，在这里探究?ABM??NBM度数大小值。经过研究之后，（图二）大部分学生给出了简单的说理，单从说理的过程来看，整理了从繁到简的过程。其中的一位学生给出了如图（图二）证明,设其BM与EF交与P点，过M点作MH?EF，垂足为H，因为?ABM与?NBM关于BM对称，所以?ABM??NBM，?2??3，因为AD//EF，所以?1??3，所以?2??1,MN?NP,又因为BE?MH，所以?BEP??MHP，所以BP?PM，这样说明了NP为Rt?BMN的中线，所以NP?PM，所以?MNP?2??3?60o，?ABM??MBN?30o，?ABN?60o。为等边三角形，也有学生提供更为简洁的证明方法，如图（图三），直接连接AN，因为?ABM与?NBM关于BM对称，所以?ABM??NBM，所以AB?BN，又因为EF是线段AB的垂直平分线，N为线段垂直平分线上的一点，所以AN?BN，即?ABN为等边三角形，所以?ABM??MBN=30o。说理到这里，学生的思路被打开，思维活跃的学生提出了这样的证明，而且能使得整个证明的过程简化，证明过程简述为：如图（图四）所示，首先是过N点作NQ?BC，所以NQ=BE=AB=BN，所以ＮＱ＝1AB，又因为2（图六）（图三）1ＢＮ，在Rt?BNQ中，ＮＱ＝21ＢＮ，所以?NBQ＝300，证明过程简洁，也能培2（图四）养学生的动脑思维能力教师提出问题：上述的折法中，都是从矩形的直角中折出60、30角，那么我们现在能不能在矩形的边（长或宽）中折出600、30o角？受到刚刚学生折纸操作，推理解答问题的启发，有学生提出了这样方案，他将这个矩形纸条按照如图（图五）所示折叠，第一次将矩形纸条对折，形成虚线GH，第二次再对折，形成虚线EF,IJ,第三次将B点沿过G点的直线对折，使得?KGH=30o。Ｂ落在EF的K点处，这时形成?AGK=600，(图五）0o进一步学生给出推理过程，如下所示连接AK，因为BG=AG=GK，AE=EG，EK?AG，所以AK=GK，所以?AGK为等边三角形，所以?AGK=60o，?KGM=?BGM=60o，所以?BMG=?MGH=30o。也有学生另辟蹊径，利用轴对称及其相关知识，也从直角中折出了600、30o，还能直接折出15o角。如图（图六）所示，具体做法步骤是：第一步将矩形的边AB沿BG折叠使得AB落在BC上，A与H重合，第二步沿折（图六）痕上的G点和H点折出折痕GH,这时四边形ABHG是一个正方形，第三步是将这个正方形ABHG沿EF对折，使得AB与GH重合，第四步将BH沿过B点的直线BL折叠使得H点落在EF上的I点处，得到的?BHI为正三角形，所以这时折出的角?ABK=30o,?KBC=60o?KBG=15o。进一步学生给出推理的过程，这里就不在赘述。这种折纸做法类似于折纸几何学中阐述的在在正方形中折出正多边形中的正三角形。当然在教学过程中，在这里教师可以适当的延伸两等分角易折叠，那么三等分角呢?我们知道三等分任意角是数学史上的一个著名问题，数学家已经证明用尺规不可能“三等分任意角”，但却可以借助折纸任意三等分角。如图在长方形纸条先折出正方形ABCD，?PBC为直角中的任意一个角，将正方形ABCD对折，折痕EF，再将矩形BCFE对折，折痕为GH，再将B点沿TX翻折使得B点落在B’点，G点落在G’点，所以BG是?PBC的三等分线[3]。这里给有兴趣研究这个问题的学生，提供一个探索的空间。这节折纸数学活动课意在面向全体学生，通过活动课意在引发了学生的求知欲,激活了学生的思维,渗透了数学思想方法,有效地实现了数学活动课的价值所在。结束语:折纸不仅可以作为几何教学的辅助工具，而且还能帮助学生形象地认识到较为抽象的空间图形，折纸教学是一种探究创新数学教学的载体。折纸过程中所体现出来的诸多几何的概念，能够弥补学生思维过程中断缺的部分，符合学生认知的习惯。我们现行的教学方式难以给学生创造出动手实验、直觉判断、合情推理这样的认知过程，也不能给学生根据自己的能力得到不同层次结论的机会。相比之下，折纸的活动能有助于激励每一个学生参与到力所能及的探索中，它能提供学生仔细观察，广泛联想，多方向、多角度思考问题的机会，因此它是发展学生高层次思维品质的最有效、最廉价的材料。在折纸过程中去体验数学研究中的一些方法，其研究趣味浓、探索性强，学生能通过观察、尝试、猜测、转移、类推、特殊化等途径去认识到其中的数学原理，同时学生也能培养求解问题的多元化数学观。其次，折纸符合《新课标》倡导“自由、合作、探究”的学习方式,作为新课程四大学习领域之一“空间与图形”，主要表现的内容是：能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状，进行几何体与三视图、展开图之间的转化，能根据条件做出立体模型或画出图形。其中再次强调了学生动手操作在数学几何教学中的重要作用。数学教学活动必须激发学