《等边三角形》

回顾我们曾经见过什么特殊三角形？一般三角形一般三角形两条边相等等腰三角形等腰三角形底≠腰底＝腰等边三角形等边三角形特殊的等腰三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.又叫做正三角形.猜想一：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.已知：AB＝AC＝BC.求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°.ABC证明：∵AB＝AC∴∠B＝∠C同理∠A＝∠B∴∠A＝∠B＝∠C又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°∴∠A＝∠B＝∠C＝60°猜想一：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.已知：AB＝AC＝BC.求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°.ABC∵AB＝AC＝BC∴∠A＝∠B＝∠C＝60°性质1探究：等边三角形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴.等边三角形是轴对称图形.等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线所在的所有直线都是它的对称轴.性质2：等边三角形每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都三线合一.（可以简写为：三线合一）ABCDEF填空（提示：等边三角形三线合一）：∵AB＝AC，BD＝DC∴∠＝∠,⊥；∵AB＝BC，AE＝EC∴∠＝∠,⊥；∵AC＝BC，AF＝FB∴∠＝∠,⊥.BADCADADBCABECBEBEACACFBCFCFAB猜想二：三个角都相等的三角形是等边三角形.已知：∠A＝∠B＝∠C.求证：AB＝BC＝AC.ABC证明：∵∠A＝∠B∴AC＝BC同理AB＝AC∴AB＝BC＝AC猜想二：三个角都相等的三角形是等边三角形.已知：∠A＝∠B＝∠C.求证：AB＝BC＝AC.ABC判定1∵∠A＝∠B＝∠C∴AB＝BC＝AC猜想三：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.（1）已知：AB＝AC，∠A＝60°.求证：AB＝BC＝AC.ABC证明：∵AB＝AC∴∠B＝∠C∵∠B＋∠C＝180°－∠A∴∠B＝∠C＝1/2（180°－60°）＝60°∴∠A＝∠B＝∠C∴AB＝BC＝AC猜想三：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.（2）已知：AB＝AC，∠B＝60°.求证：AB＝BC＝AC.ABC证明：∵AB＝AC∴∠B＝∠C＝60°∵∠A＝180°－∠B－∠C∴∠A＝180°－60°－60°＝60°∴∠A＝∠B＝∠C∴AB＝BC＝AC猜想三：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.（2）已知：AB＝AC，∠B＝60°.求证：AB＝BC＝AC.ABC判定2①∵AB＝AC，∠A＝60°∴AB＝BC＝AC②∵AB＝AC，∠B＝60°∴AB＝BC＝AC等边三角形定义性质1性质2判定1判定2三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形.等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.等边三角形每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都三线合一.三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.问题：你能区别等边三角形的两个判定方法吗？判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形.判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.我们已经学习了等边三角形和等腰三角形，你能通过填下列表格区分它们的定义、性质与判定吗？等腰三角形等边三角形定义性质判定有两条边相等有三条边相等1.两个底角相等（等边对等角）2.三线合一3.对称轴一条1.三个角都相等2.三线合一3.对称轴三条1.定义2.等角对等边1.定义2.三个角都相等3.等腰三角形有一个角是60°例4：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E.求证：△ADE是等边三角形.ABCDE证明：∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠B＝∠C又∵DE∥BC∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C∴∠A＝∠ADE＝∠AED∴△ABC是等边三角形ABCDE变式训练：如图，△ABC是等边三角形，在AB和AC边上截取AD＝AE，并连接DE.求证：△ADE是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形∴∠A＝60°又∵AD＝AE∴△ABC是等边三角形练习1：如图，△ABC是等边三角形，AD⊥AB于A，DC⊥BC于C.求证：△DAC是等腰三角形.ABCD证明：∵△ABC是等边三角形∴∠BAC＝∠ACB又∵AD⊥AB，DC⊥BC∴∠BAD＝∠BCD＝90°∴∠BAD－∠BAC＝∠BCD－∠ACB∴△DAC是等腰三角形练习2：如图，在等边△ABC中，BD是高，延长BC到点E且CE＝1/2BC，连接DE.（1）求证：CD＝CE；（2）判断△BDE是什么特殊三角形并说明理由.ABCDE练习2：如图，在等边△ABC中，BD是高，延长BC到点E且CE＝1/2BC，连接DE.（1）求证：CD＝CE；ABCDE证明：∵△ABC是等边三角形∴AB＝BC＝AC又∵BD是高∴CD＝1/2AC∵BC＝AC∴CD＝1/2BC∴CD＝CE练习2：如图，在等边△ABC中，BD是高，延长BC到点E且CE＝1/2BC，连接DE.（2）判断△BDE是什么特殊三角形并说明理由.ABCDE答：△BDE是等腰三角形证明：∵△ABC是等边三角形∴AB＝BC又∵BD是高∴∠CBD＝30°，∠BDC＝90°∴∠DCE＝∠CBD＋∠BDC＝120°又∵CD＝CE∴∠E＝1/2（180°－120°）＝30°∴∠CBD＝∠E∴△BDE是等腰三角形练习3：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，连接BD、AE，且BD交AC于F、AE交CD于H，连接FH.（1）求证：BD＝AE；（2）求证：CF＝CH；（3）判断△CFH是什么特殊三角形并说明理由.FHABCDE提示：（1）可证△BCD≌△ACE；（2）定理：全等三角形的对应角的平分线相等.