三角形角平分线的夹角——专题复习)

三角形角平分线的夹角专题复习教学目标1.能够利用三角形角平分线夹角结论快速地去解决实际问题;2.通过逻辑推理理解三角形角平分线的夹角与第三个内角之间的关系.知识梳理:1.三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；2.三角形的外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。例1.如图，PB，PC分别是△ABC的角平分线,PB,PC交点为点P，已知∠A=80°，求∠P的度数。12类型1两个内角平分线的夹角可以从结论入手，利用三角形的内角和等于180o有∠P=180o-(∠1+∠2)ABC21ACB21例1.如图，PB，PC分别是△ABC的角平分线,PB,PC交点为点P，已知∠A=80°，求∠P的度数。12ABC)21ACB21（180Po类型1两个内角平分线的夹角ABC)ACB(21180oA)(18021180ooA2190180oooooo1304090A2190如图，PB，PC分别是△ABC的角平分线,PB,PC交点为P，已知∠A=80°，求∠P的度数。解：∵∠A=80°∴∠ACB+∠ABC=100°，∵PB，PC分别是△ABC的角平分线,∴∠1+∠2=50°∴∠CPB=130°12变化：如图，PB，PC分别是△ABC的角平分线，且PB，PC交点为点P，已知∠A=α，求∠P的度数。12变化：如图，PB，PC分别是△ABC的角平分线，且PB，PC交点为点P，已知∠A=α，求∠P的度数。解：∵∠A=α，∴∠ACB+∠ABC=180°－α，∵PB，PC分别是△ABC的角平分线,∴∠1+∠2=（180°－α）,∴∠P=180°－（∠1+∠2）=180°－（180°－α）=90°＋α12121212归纳：三角形的两条内角平分线所夹的钝角等于：90°加上第三角的一半。练习1.(2018·巴中)如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB.若∠BOC＝110°，则∠A＝()40°A.30°B.35°C.40°D.50°练习1.(2018·巴中)如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB.若∠BOC＝110°，则∠A＝()40°A.30°B.35°C.40°D.50°C解析：90°+∠A=110°∠A=20°∠A=40°1212ACF练习2.如图，在三角形ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=()BDEA.120°B.140°C.145°D.150°ACF练习2.如图，在三角形ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=()BDEA.120°B.140°C.145°D.150°A例2.如图，PB，PC分别是△ABC的外角平分线，且PB，PC交点为点P，已知∠A=60°,求∠P的度数。ED类型2两个外角平分线的夹角12例2.如图，PB，PC分别是△ABC的外角平分线，且PB，PC交点为点P，已知∠A=60°,求∠P的度数。解：∵PB和PC是△ABC的两条外角平分线，∴∠P=180°-（∠1+∠2）=180°-（∠CBD+∠BCE）=180°-（∠A+∠ACB+∠BCE）=180°-（∠A+180°）=90°-∠A=90°-30°=60°ED类型2两个外角平分线的夹角1212121212法2：解：∵CP平分∠BCE，BP平分∠CBD∴∠BCP=∠ECP,∠CBP=∠DBP∴∠P=180°—(∠BCP+∠CBP)=180°—(∠BCE+∠CBD)=180°—〖360°—(∠ACB+∠ABC)〗=180°—〖360°—(180°—∠A)〗=90°—∠A=90°-30°=60°ED12121212变化：如图，PB，PC分别是△ABC的外角平分线，且PB，PC交点为P，已知∠A=α，求∠P的度数。ED变化：如图，PB，PC分别是△ABC的外角平分线，且PB，PC交点为P，已知∠A=α，求∠P的度数。解：∵PB和PC是△ABC的两条外角平分线，∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠CBD+∠BCE）=180°-（∠A+∠ACB+∠BCE）=180°-（∠A+180°）=90°-∠A=90°-αED1212121212归纳：三角形的两条外角平分线所夹的锐角等于：90°减去第三角的一半。在△ABC中，延长AB到E,延长AC到F,点O是∠BCF与∠CBE的角平分线的交点（1）如图1,∠A=40°，则∠BOC=()（2）如图2,∠A=80°，则∠BOC=()（3）如图3,∠A=100°，则∠BOC=()A.60°B.70°C.80°练习A.40°B.50°C.60°A.40°B.50°C.60°BACEFOABCEFABCEFOO图1图2图3在△ABC中，延长AB到E,延长AC到F,点O是∠BCF与∠CBE的角平分线的交点（1）如图1,∠A=40°，则∠BOC=()（2）如图2,∠A=80°，则∠BOC=()（3）如图3,∠A=100°，则∠BOC=()A.60°B.70°C.80°BA练习BA.40°B.50°C.60°A.40°B.50°C.60°BACEFOABCEFABCEFOO图1图2图3拓展延伸三角形两内角平分线夹角与两外角平分线夹角的关系1、如图所示，∆ABC中，PB,PC,OB,OC都是角平分线，探究∠P和∠O的数量关系。拓展延伸三角形两内角平分线夹角与两外角平分线夹角的关系1、如图所示，∆ABC中，PB,PC,OB,OC都是角平分线，探究∠P和∠O的数量关系。方法一：解：∠P＝90°+∠A∠O＝90°—∠A所以∠P＋∠O＝180°方法二：∵PB,OB都是角平分线∴∠PBO＝90°同理∠PCO＝90°所以∠P＋∠O＝360°—90°—90°＝180°2121例3.如图，PC，PB分别是△ABC的角平分线和外角平分线，且PB，PC交点为P，已知∠A=60°，求∠P的度数。E12类型3一个内角平分线和一个外交平分线的夹角例3.如图，PC，PB分别是△ABC的角平分线和外角平分线，且PB，PC交点为P，已知∠A=60°，求∠P的度数。解：∵PC，PB分别是△ABC的角平分线和外角平分线∴∠1=∠ABE,∠2=∠ACB∵∠1=∠2+∠P∴∠P=∠1﹣∠2=∠ABE﹣∠ACB=（∠ABE﹣∠ACB）=∠A=30°E12类型3一个内角平分线和一个外交平分线的夹角121212121212法2：EPBCAααββ解：∵∠PBE是∆PCB的外角∠ABE是∆ABC的外角∴β＝α＋∠P2β＝2α＋∠A∴2β＝2α＋2∠P∴∠A＝2∠P∴∠P＝∠A=30°12变化：如图，PC，PB分别是△ABC的角平分线和外角平分线，且PB，PC交点为P，已知∠A=α，求∠P的度数。E12变化：如图，PC，PB分别是△ABC的角平分线和外角平分线，且PB，PC交点为P，已知∠A=α，求∠P的度数。解：∵PC，PB分别是△ABC的角平分线和外角平分线∴∠1=∠ABE,∠2=∠ACB∵∠1=∠2+∠P∴∠P=∠1﹣∠2=∠ABE﹣∠ACB=（∠ABE﹣∠ACB）=∠A=αE1212121212121212归纳：三角形的一条内角平分线和另一个角的外角平分线所夹的锐角等于第三角的一半。练习.如图,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是△ABC的外角的平分线,如果∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠A+∠P=()A.80°B.90°C.78°D.70°练习.如图,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是△ABC的外角的平分线,如果∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠A+∠P=()A.80°B.90°C.78°D.70°B拓展延伸如图所示，∆ABC中，PB,PC,OB,OC,CE都是角平分线，探究∠E与∠O、∠E与∠BPC的数量关系。拓展延伸如图所示，∆ABC中，PB,PC,OB,OC,CE都是角平分线，探究∠E与∠O、∠E与∠BPC的数量关系。∠E=∠A∠O=90°—∠A所以∠E＋∠O＝90°∠E=∠A∠BPC=90°+∠A所以∠E＝∠BPC—90°12121212拓展延伸．如图，△ABC中，外角∠ACD的平分线与∠ABC的平分线交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，则∠A2与∠A有怎样的数量关系？继续作∠A2BC与∠A2CD的平分线可得∠A3，如此下去可得∠A4，…，∠An，那么猜想∠An与∠A又有怎样的数量关系？并求出∠A＝64°时，∠A4的度数．拓展延伸．如图，△ABC中，外角∠ACD的平分线与∠ABC的平分线交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，则∠A2与∠A有怎样的数量关系？继续作∠A2BC与∠A2CD的平分线可得∠A3，如此下去可得∠A4，…，∠An，那么猜想∠An与∠A又有怎样的数量关系？并求出∠A＝64°时，∠A4的度数．解：由类型3可知∠A1＝12∠A，同理∠A2＝12∠A1＝14∠A，∠An＝12n∠A，当∠A＝64°时，∠A4＝124×64°＝4°小结：1、两内角平分线的夹角：90°+∠A2、两外角平分线的夹角：90°-∠A3、一内角、一外角平分线的夹角：∠A内加外减一内一外，不加不减121212