基于Matlab的椭圆带阻IIR数字滤波器设计(数字频率变换)讲解

-1-数字信号处理课程设计数字频带变换的椭圆IIR带阻滤波器设计南华大学电气工程学院电子091班苗润武20094470138一手工计算完成椭圆IIR数字带阻滤波器初始设计1、设计要求：滤波器的设计指标要求为⑴通带下截止频率,⑵阻带下截止频率,⑶阻带上截止频率,⑷通带上截止频率,⑸通带最大衰减,⑹阻带最小衰减。其中为我学号的后两位。我的学号：20094470138，所以=38。由此计算性能指标（保留小数点后1位）得：⑴通带下截止频率：=rade2.05038=1.3rad/sample⑵阻带下截止频率=rade3.05038=2.0rad/sample⑶阻带上截止频率：=rade7.05038=4.7rad/sample⑷通带下截止频率：=rade8.05038=5.3rad/sample⑸通带最大衰减：⑹阻带最小衰减：由2f得到性能指标在MATLAB中的常用形式（保留小数点后1位）：⑴2.0plfrad/sample，⑵3.0slfrad/sample，⑶7.0sufrad/sample，-2-⑷8.0pufrad/sample2、数字边界频率转换成模拟边界频率：转变换关系为：21tan2T其中，令T=2s计算模拟边界频率（保留小数点后1位）得：⑴pl0.8rad/s⑵sl1.6rad/s⑶su-1.0rad/s⑷pu-0.5rad/s另外：⑸⑹3、将带阻滤波器的设计要求转换为低通原型滤波器的设计要求⑴p=1⑵plpuslsus=2.0⑶⑷将p和s的几何平均值0作为频率归一化的基准频率，即：sp0=2.0定义频率的选择性因数为两个截止频率之比：5.0sp-3-4、设计低通原型滤波器转移函数H(s)椭圆滤波器的幅频响应函数公式为：)(11)(2SPNEjH其中，为波纹系数，表示波纹情况；s为截止频率，)(SPNE为椭圆函数。这里：11010/p=11010/1=0.5此外，这时通带截止频率的归一化值和阻带截止频率的归一化值分别为：0pp=0.70714142.110ss在以0为归一化基准频率的条件下，通带、阻带阶值归一化频率互为倒数。令：124012411(1)21(1)q，5913000021515qqqqq，11010sb分别计算得：0.0359q0-4-0359.0q9994.999b由入阶数计算公式22(1)16[]11[]lglgbqN计算得最低阶数N=5由N=5，，s=2.0查表可确定归一化转移函数（参数保留小数点后15位）得：48061310.0000163538247590.0004262873132740.0041754204052580.0443756433490930.1480866348061310.0000163528828150.0003047800319670.00119443234524ssssssssH5、将椭圆模拟低通原型滤波器转换得数字滤波器转移函数由转换公式：11)()(112zzTsHHsz（参数保留小数点后15位）得：5-43215-4-3-2-1-9755572z0.62829118-20984513.2149831371690326.80354531-17441567.4484527257428214.22754485-16799345z0.0024407009054720.00263916-96937180.0022256996937180.0022256909054720.00263916-67993450.00244070zzzzzzzzHz）（6、将数字椭圆低通滤波器变换为带阻滤波器利用数字频带转换公式：1)()(112221121zdzddzdzzzHzHBS其中：kd121，kkd112其中：2tan2tanlsussk，2cos2coscos0lsuslsus由数字低通滤波器转换为数字带阻滤波器，其阶数增加为2N，即为-5-10阶的滤波器10-8-6-4-2-10-8-6--4-26646181z0.31230513-101691z1.21306969929732z2.37562859-439205z2.92411213235093z2.12658637-128193616z0.0207958559047958z0.0543457698331069z0.0861892398331069z0.0861892359047958z0.05434576281936160.02079585)(zHBS则初步运算所得滤波器转移函数的系数为：den=[1,0,-2.12658637235093,0,2.92411213439205,0,-2.37562859929732,0,1.21306969101691,0,-0.312305136646181]num=[0.0207958528193616,0,0.0543457659047958,0,0.0861892398331069,0,0.0861892398331069,0,0.0543457659047958,0,0.0207958528193616]二滤波器的不同结构对性能指标的影响在理想状态下，对于同一个传递函数几乎对应着无数种等效结构，然而这些结构却并不一定都能实现。在无限参数字长的情况下，所有能实现传递函数的结构之间，其表现完全相同。然而，在实际中，由于参数字长有限的限制，各实现结构的表现并不相同。下面我们就将对比直接型（包括直接I、II型）和级联型两种结构在本例中对性能指标的影响。在MATLAB中可以利用FDATOOL工具箱构建不同类型的数字滤波器。在此为了使对比效果明显，我们不妨先将将上述初步设计的椭圆数字IIR带阻滤波器的设计参数的字长（即转移函数中分子、分母各项前的系数）进行保留小数点后3位的进一步的缩减。缩减后的参数如下：den=[1,0,-2.126,0,2.924,0,-2.375,0,1.213,0,-0.312]num=[0.020,0,0.0543,0,0.086,0,0.0861,0,0.054,0,0.021]将上述参数输入FDATOOL中的filtercoefficients工具中如图1-6-所示。图1filtercoefficients工具工作界面1、利用直接型结构构建数字滤波器直接型结构滤波器的典型频率响应表达式为：10-8-6-4-2--10-8-6-4-20.312z-1.213z2.376z-2.924z2.127z-10.020z0.054z0.086z0.086z0.054z0.020)(zHBS对应的差分方程表达式为：)]10(312.0)8(213.1)6(376.2)4(924.2)2(127.2[)]10(020.0)8(054.0)6(086.0)4(086.0)2(054.0)(020.0[)(nynynynynynxnxnxnxnxnxny直接型的结构流图如图2所示：图2直接型I型结构流图选择filterstructure选项框中的Direct-FormI选项，点击窗口下0.0200.0540.0860.0860.0540.0202z2z2z2z2z2z2z2z2z2z-2.1272.924-2.3761.213-0.312X(n)y(n)-7-方的ImportFilter按钮，构建直接1型结构的椭圆数字IIR带阻滤波器，结果如图3所示。图3Direct-FormI型结构的滤波器幅频响应图读图可以得Direct-FormI结构的滤波器技术指标（plf，slf，suf，puf，单位为rad/sample；s,p,单位为dB）如表1所示：表1Direct-FormI结构滤波器对性能指标的影响性能指标）初始设计指标Direct-FormI△plf0.20.20332510.0033251slf0.30.2816907-0.0183093suf0.70.71830930.0183093puf0.80.7966749-0.0033251s6058.42311-1.57689p11.7523150.752315由图3和表1可以看出：⑴滤波器幅频曲线在通带和阻带内波动幅度不均匀。⑵出现了阻带最小衰减s下降了-1.57689dB，通带最大衰减p上升了0.752315dB的误差。⑶plf和suf分别较初始设计增大了0.0033251和0.0183093rad/sample，slf-8-和suf分别较初始设计减小了0.0033251和.0183093rad/samplerad/sample，截止频率坡度较初始设计更加陡峭。由于Direct-FormII和Direct-FormI均属于直接型结构滤波器，因此均具有直接型所共有的上述误差。2、利用级联结构构建数字滤波器级联型结构滤波器的典型幅频响应表达式为对10-8-6-4-2--10-8-6-4-20.312z-1.213z2.376z-2.924z2.127z-10.020z0.054z0.086z0.086z0.054z0.020)(zHBS进行因式分解，得到级联型的典型幅频响应表达式：)9339.05659.11)(9339.05659.11()7621.05653.11)(7621.05653.01)(6.01()2247.11)(2247.11)(8944.01)(02.011.6(2121212122121212115zzzzzzzzzzzzzzzzzeHBS直接型的结构流图如图4所示：图4直接型结构流图选择Edit下拉菜单中点击ConverttoSecond-orderSections选项，0.61z1z1z1z1z1z1z1z1z1z0.020.026.11e-15-0.89441.5653-0.76210.8944-1.5653-0.76211.2247-1.2247-1.56531.5653-0.9339-0.9339-9-将构建好的Direct-FormI结构的椭圆数字IIR带阻滤波器转换为级联滤波器，结果如图5所示。图5Direct-FormI型结构的滤波器幅频响应图读图5可以得级联结构的滤波器技术指标（plf，slf，suf，puf，单位为rad/sample；s,p,单位为dB）如表2所示：表2级联结构滤波器对性能指标的影响性能指标）初始设计指标级联型△plf0.20.20436110.0043611slf0.30.2833496-0.0166504suf0.70.71665040.0166504puf0.80.7956399-0.043601s6060.76630.7663p11．056780.05678从表2中可以看出，采用级联结构组成的滤波器：⑴滤波器幅频曲线在通带和阻带内波动较均匀。⑵出现了阻带最小衰减s上升了0.7663dB，通带最大衰减p上升了0.05678dB的误差。-10-⑶plf和suf分别较初始设计增大了0.0043611和0.0166504rad/sample；slf和suf分别较初始设计减小了0.0166504和0.043601rad/sample，滤波器的截止频率坡度较初始设计更加陡峭。3、两种结构滤波器对指标影响比较与原因分析比较表1和表2发现：在参数字长仅保留了小数点后3位的情况下，两种结构的滤波器较初始设计在性能指标方面均有误差。但是直接型误差比级联型更大，受有限参数字长影响更大，主要表现在：直接型p