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第二十一章 选修４系列１５１ §２１．２ 坐标系与参数方程对应学生用书起始页码Ｐ４１５考点一极坐标方程与直角坐标方程的互化高频考点 １．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点Ｐ（ｘ，ｙ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：ｘ′＝λ·ｘ（λ＞０），ｙ′＝μ·ｙ（μ＞０）{的作用下，点Ｐ（ｘ，ｙ）对应到点Ｐ′（ｘ′，ｙ′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．２．极坐标系在平面上取一个定点Ｏ，由Ｏ点出发的一条射线Ｏｘ，一个长度单位、一个角度单位及计算角度的正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．Ｏ点称为极点，Ｏｘ轴称为极轴．平面上任一点Ｍ的位置可以由线段ＯＭ的长度ρ和从Ｏｘ到ＯＭ的角度θ来刻画（如图所示）．这两个数组成的有序数对（ρ，θ）称为点Ｍ的极坐标，ρ称为极径，θ称为极角．３．极坐标与直角坐标的互化设Ｍ是平面内任意一点，它的直角坐标是（ｘ，ｙ），极坐标是（ρ，θ），则它们之间的关系为ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ{或ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ｔａｎθ＝ｙｘ（ｘ≠０）．{４．常见图形的极坐标方程曲线图形极坐标方程过极点，倾斜角为α的直线（１）θ＝α和θ＝π＋α；（２）θ＝α（ρ∈Ｒ）或θ＝π＋α（ρ∈Ｒ）过点（ａ，０）（ａ＞０），且与极轴垂直的直线ρｃｏｓθ＝ａ－π２＜θ＜π２()过点ａ，π２()（ａ＞０），且与极轴平行的直线ρｓｉｎθ＝ａ（０＜θ＜π）圆心在极点，半径为ｒ的圆ρ＝ｒ（０≤θ＜２π）圆心为（ｒ，０），半径为ｒ的圆ρ＝２ｒｃｏｓθ(－π２≤θ＜π２)圆心为ｒ，π２()，半径为ｒ的圆ρ＝２ｒｓｉｎθ（０≤θ＜π）考点二参数方程与普通方程的互化高频考点 １．参数方程和普通方程的互化（１）曲线的参数方程和普通方程是曲线的不同表示形式，曲线上任意一点的坐标都可以用参数来表示．特别地，利用曲线的参数方程对求解圆锥曲线的最值和范围问题有很大的作用．（２）将参数方程化为普通方程主要用消元法消参，常用方法有代入法、加减消元法、乘除消元法、三角恒等式消元法．（３）无论是参数方程、普通方程还是极坐标方程，在进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．（４）普通方程化为参数方程时，参数方程的形式不唯一．如果选用的参数不同，那么所求得的参数方程的形式也不同．２．常见曲线的参数方程与普通方程曲线普通方程参数方程过点Ｍ（ｘ０，ｙ０），倾斜角为α的直线ｙ－ｙ０＝ｔａｎα（ｘ－ｘ０）ｘ＝ｘ０＋ｔｃｏｓαｙ＝ｙ０＋ｔｓｉｎα{（ｔ为参数）圆心在点Ｍ（ｘ０，ｙ０），半径为ｒ的圆（ｘ－ｘ０）２＋（ｙ－ｙ０）２＝ｒ２ｘ＝ｘ０＋ｒｃｏｓθｙ＝ｙ０＋ｒｓｉｎθ{（θ为参数）中心在原点，焦点在ｘ轴上的椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）ｘ＝ａｃｏｓθｙ＝ｂｓｉｎθ{（θ为参数）中心在原点，焦点在ｙ轴上的椭圆ｙ２ａ２＋ｘ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）ｘ＝ｂｃｏｓθｙ＝ａｓｉｎθ{（θ为参数）中心在原点，焦点在ｘ轴上的双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）ｘ＝ａｃｏｓθｙ＝ｂｔａｎθ{（θ为参数）顶点在原点，焦点在ｘ轴正半轴上的抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）ｘ＝２ｐｔ２ｙ＝２ｐｔ{（ｔ为参数）１５２ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）对应学生用书起始页码Ｐ４１６一、极坐标方程与直角坐标方程互化的方法 １．极坐标方程与直角坐标方程的互化（１）将极坐标或极坐标方程化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ即可．常用方法有代入法、平方法，还经常用到同乘（或除以）ρ等技巧．（２）将直角坐标或直角坐标方程化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ以及ρ＝ｘ２＋ｙ２，ｔａｎθ＝ｙｘ（ｘ≠０），同时要掌握必要的技巧，通常情况下，由ｔａｎθ确定角θ时，应根据点Ｐ所在象限取最小正角．在这里要注意：当ｘ≠０时，θ角才能由ｔａｎθ＝ｙｘ按上述方法确定．当ｘ＝０时，ｔａｎθ没有意义，这时又分三种情况：当ｘ＝０，ｙ＝０时，θ可取任何值；当ｘ＝０，ｙ＞０时，可取θ＝π２；当ｘ＝０，ｙ＜０时，可取θ＝３π２．２．求简单曲线的极坐标方程的方法（１）设点Ｍ（ρ，θ）为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用正弦定理求解ＯＭ与θ的关系；（２）先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．（２０１８宿迁期中，２１Ｃ）在极坐标系中，已知直线ρｃｏｓθ＋π３()＝２与圆ρ＝ａｃｏｓθ（ａ＞０）相切，求ａ的值．解析 将ρｃｏｓθ＋π３()＝２化为直角坐标方程为ｘ－３ｙ－４＝０．将ρ＝ａｃｏｓθ化为直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２＝ａｘ，即ｘ－ａ２()２＋ｙ２＝ａ２４．因为直线与圆相切，所以ａ２－４２＝ａ２（ａ＞０），解得ａ＝８３． １－１ （２０１７南通中学期中）已知曲线Ｃ的极坐标方程为ρ＝２ｃｏｓθ，直线ｌ的极坐标方程为ρｓｉｎθ＋π６()＝ｍ．若直线ｌ与曲线Ｃ有且只有一个公共点，求实数ｍ的值．１－１解析 将曲线Ｃ的极坐标方程ρ＝２ｃｏｓθ化为直角坐标方程为ｘ２＋ｙ２＝２ｘ，即（ｘ－１）２＋ｙ２＝１，表示以（１，０）为圆心，１为半径的圆．直线ｌ的极坐标方程是ρｓｉｎθ＋π６()＝ｍ，即１２ρｃｏｓθ＋３２ρｓｉｎθ＝ｍ，化为直角坐标方程为ｘ＋３ｙ－２ｍ＝０．因为直线ｌ与曲线Ｃ有且只有一个公共点，所以｜１－２ｍ｜１２＋（３）２＝１，解得ｍ＝－１２或ｍ＝３２．所以，所求实数ｍ的值为－１２或３２． １－２ （２０１８南通第二次调研，２１Ｃ）在极坐标系中，求以点Ｐ２，π３()为圆心且与直线ｌ：ρｓｉｎθ－π３()＝２相切的圆的极坐标方程．１－２解析 以极点为原点，极轴为ｘ轴的正半轴，建立平面直角坐标系ｘＯｙ．则点Ｐ的直角坐标为（１，３）．将直线ｌ：ρｓｉｎθ－π３()＝２变形为ρｓｉｎθｃｏｓπ３－ρｃｏｓθｓｉｎπ３＝２，化为直角坐标方程为３ｘ－ｙ＋４＝０．所以Ｐ（１，３）到直线ｌ：３ｘ－ｙ＋４＝０的距离为４（３）２＋（－１）２＝２．故所求圆的普通方程为（ｘ－１）２＋（ｙ－３）２＝４．化为极坐标方程为ρ＝４ｓｉｎθ＋π６()．易错警示 本题求解不难，但要注意将结果化为极坐标方程． １－３ （２０１７南通、扬州、泰州模拟，２１Ｃ）在极坐标系中，圆Ｃ的圆心在极轴上，且过极点和点３２，π４()，求圆Ｃ的极坐标方程．１－３解析 解法一：因为圆Ｃ的圆心在极轴上且过极点，所以可设圆Ｃ的极坐标方程为ρ＝ａｃｏｓθ．又点３２，π４()在圆Ｃ上，所以３２＝ａｃｏｓπ４，解得ａ＝６．所以圆Ｃ的极坐标方程为ρ＝６ｃｏｓθ．解法二：点３２，π４()的直角坐标为（３，３）．因为圆Ｃ过点（０，０），（３，３），所以圆心在直线ｘ＋ｙ－３＝０上．又圆心Ｃ在极轴上，所以圆心Ｃ的直角坐标为（３，０），半径为３，所以圆Ｃ的直角坐标方程为（ｘ－３）２＋ｙ２＝９．所以圆Ｃ的极坐标方程为ρ＝６ｃｏｓθ．二、参数方程与普通方程互化的方法 （１）将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数基本关系消参，如ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝１．（２）将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响，注意两种方程的等价性，避免产生增解的情况．（３）将普通方程化为参数方程时，应选择适当的参数，把点（ｘ，ｙ）的横、纵坐标分别用参数表示，同时注意参数的意义和取值范围．（２０１８南京、盐城二模，２１Ｃ）已知直线ｌ的参数方程为第二十一章 选修４系列１５３ ｘ＝ｔ，ｙ＝３ｔ＋２{（ｔ为参数），圆Ｃ的参数方程为ｘ＝ａｃｏｓθ，ｙ＝ａｓｉｎθ{（ａ＞０，θ为参数），点Ｐ是圆Ｃ上的任意一点．若点Ｐ到直线ｌ距离的最大值为３，求ａ的值．解析 因为直线ｌ的参数方程为ｘ＝ｔ，ｙ＝３ｔ＋２{（ｔ为参数），所以直线ｌ的普通方程为ｙ＝３ｘ＋２．因为圆Ｃ的参数方程为ｘ＝ａｃｏｓθ，ｙ＝ａｓｉｎθ{（ａ＞０，θ为参数），所以圆Ｃ的普通方程为ｘ２＋ｙ２＝ａ２．因为圆Ｃ的圆心到直线ｌ的距离为１，所以１＋ａ＝３，解得ａ＝２． ２－１ （２０１７南京、盐城期末，２１Ｃ）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已知直线ｌ：ｘ＝３５ｔ，ｙ＝４５ｔìîíïïïï（ｔ为参数）．现以坐标原点Ｏ为极点，以ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系．设圆Ｃ的极坐标方程为ρ＝２ｃｏｓθ，直线ｌ与圆Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，求弦ＡＢ的长．２－１解析 直线ｌ：ｘ＝３５ｔ，ｙ＝４５ｔìîíïïïï（ｔ为参数）化成普通方程为４ｘ－３ｙ＝０，圆Ｃ的极坐标方程ρ＝２ｃｏｓθ化成直角坐标方程为（ｘ－１）２＋ｙ２＝１，则圆Ｃ的圆心到直线ｌ的距离ｄ＝｜４｜４２＋（－３）２＝４５，所以｜ＡＢ｜＝２１－ｄ２＝６５． ２－２ （２０１７苏锡常镇四市二模，２１Ｃ）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，以Ｏ为极点，ｘ轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．已知曲线Ｃ１的参数方程为ｘ＝３＋２ｃｏｓα，ｙ＝３＋２ｓｉｎα{（α∈［０，２π），α为参数），曲线Ｃ２的极坐标方程为ρｓｉｎθ＋π３()＝ａ（ａ∈Ｒ），若曲线Ｃ１与曲线Ｃ２有且仅有一个公共点，求实数ａ的值．２－２解析 曲线Ｃ１的普通方程为（ｘ－３）２＋（ｙ－３）２＝４，圆心坐标为（３，３），半径为２．∵曲线Ｃ２的极坐标方程为ρｓｉｎθ＋π３()＝ａ（ａ∈Ｒ），∴曲线Ｃ２的直角坐标方程为３ｘ＋ｙ－２ａ＝０．∵曲线Ｃ１与曲线Ｃ２有且仅有一个公共点，∴｜３＋３－２ａ｜２＝２，解得ａ＝１或ａ＝５． ２－３ （２０１７苏州期末，２１Ｃ）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，直线ｌ的参数方程为ｘ＝１－２２ｔ，ｙ＝２＋２２ｔìîíïïïï（ｔ为参数），以坐标原点Ｏ为极点，ｘ轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线Ｃ的极坐标方程为ρｓｉｎ２θ－４ｃｏｓθ＝０，已知直线ｌ与曲线Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，求线段ＡＢ的长．２－３解析 曲线Ｃ的直角坐标方程为ｙ２－４ｘ＝０．把直线ｌ的参数方程代入，得ｔ２＋８２ｔ＝０，解得ｔ１＝０，ｔ２＝－８２．所以｜ＡＢ｜＝｜ｔ２－ｔ１｜＝８２．