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１４４ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）第二十章概率统计§２０．１ 离散型随机变量及其分布列、均值和方差对应学生用书起始页码Ｐ３９７考点一随机变量及其分布列、超几何分布 １．离散型随机变量的分布列若离散型随机变量Ｘ可能取的不同值为ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ，Ｘ取每一个值ｘｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）的概率Ｐ（Ｘ＝ｘｉ）＝ｐｉ，则称表Ｘｘ１ｘ２…ｘｉ…ｘｎＰｐ１ｐ２…ｐｉ…ｐｎ为离散型随机变量Ｘ的概率分布列，简称Ｘ的分布列，具有性质：①ｐｉ≥０，ｉ＝１，２，…，ｎ；②ｐ１＋ｐ２＋…＋ｐｉ＋…＋ｐｎ＝１．离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．２．两点分布如果随机变量Ｘ的分布列为Ｘ１０Ｐｐｑ 其中０＜ｐ＜１，ｑ＝１－ｐ，则称离散型随机变量Ｘ服从参数为ｐ的两点分布．３．超几何分布列在含有Ｍ件次品的Ｎ件产品中，任取ｎ件，其中含有Ｘ件次品，则事件｛Ｘ＝ｋ｝发生的概率为Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝ＣｋＭ·Ｃｎ－ｋＮ－ＭＣｎＮ（ｋ＝０，１，２，…，ｍ），其中ｍ＝ｍｉｎ｛Ｍ，ｎ｝，且ｎ≤Ｎ，Ｍ≤Ｎ，ｎ、Ｍ、Ｎ∈Ｎ∗，称分布列Ｘ０１…ｍＰＣ０ＭＣｎ－０Ｎ－ＭＣｎＮＣ１ＭＣｎ－１Ｎ－ＭＣｎＮ…ＣｍＭＣｎ－ｍＮ－ＭＣｎＮ为超几何分布列．考点二离散型随机变量的均值与方差 １．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量Ｘ的分布列为Ｘｘ１ｘ２…ｘｉ…ｘｎＰｐ１ｐ２…ｐｉ…ｐｎ （ｉ＝１，２，…，ｎ）（１）均值称ＥＸ＝ｘ１ｐ１＋ｘ２ｐ２＋…＋ｘｉｐｉ＋…＋ｘｎｐｎ为随机变量Ｘ的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．（２）方差称ＤＸ＝∑ｎｉ＝１（ｘｉ－ＥＸ）２ｐｉ为随机变量Ｘ的方差，它刻画了随机变量Ｘ与其均值ＥＸ的平均偏离程度，其算术平方根ＤＸ为随机变量Ｘ的标准差，记作σＸ．注：Ｄ（ξ）＝Ｅξ２－（Ｅξ）２，由ξ的分布列唯一确定．２．均值与方差的性质（１）Ｅ（ａＸ＋ｂ）＝ａＥＸ＋ｂ（ａ，ｂ为实数）．（２）Ｄ（ａＸ＋ｂ）＝ａ２ＤＸ（ａ，ｂ为实数）．３．两点分布与二项分布的均值、方差（１）若Ｘ服从两点分布，则ＥＸ＝ｐ，ＤＸ＝ｐ（１－ｐ）．（２）若Ｘ～Ｂ（ｎ，ｐ），则ＥＸ＝ｎｐ，ＤＸ＝ｎｐ（１－ｐ）．对应学生用书起始页码Ｐ３９７求离散型随机变量的分布列和均值 求离散型随机变量ξ的分布列与均值的方法：（１）理解离散型随机变量ξ的意义，写出ξ的所有可能取值；（２）求ξ取每个值的概率；（３）写出ξ的分布列；（４）根据均值的定义求Ｅξ．注意：如果ξ～Ｂ（ｎ，ｐ），可用公式Ｅξ＝ｎｐ求解均值．（２０１８南菁高级中学最后一卷，２２）一种抛硬币游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得１分，反面向上得２分．（１）设抛掷５次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望Ｅξ；（２）求恰好得到ｎ（ｎ∈Ｎ∗）分的概率．解析 （１）易知，ξ的所有可能取值为５，６，７，８，９，１０，且Ｐ（ξ＝ｉ）＝Ｃｉ－５５１２()５（ｉ＝５，６，７，８，９，１０），所以ξ的分布列为第二十章 概率统计１４５ ξ５６７８９１０Ｐ１３２５３２５１６５１６５３２１３２ Ｅξ＝∑１０ｉ＝５ｉ·Ｃｉ－５５１２()５＝１５２（分）．（２）令ｐｎ表示恰好得到ｎ分的概率．显然ｐ１＝１２，当ｎ≥２时，不出现ｎ分的唯一情况是得到（ｎ－１）分以后再掷出一次反面．因为“不出现ｎ分”的概率是１－ｐｎ，“恰好得到（ｎ－１）分”的概率是ｐｎ－１，“掷一次出现反面”的概率是１２，所以有１－ｐｎ＝１２ｐｎ－１，即ｐｎ－２３＝－１２ｐｎ－１－２３()（ｎ≥２）．于是ｐｎ－２３{}是以ｐ１－２３＝１２－２３＝－１６为首项，－１２为公比的等比数列．所以ｐｎ－２３＝－１６－１２()ｎ－１，即ｐｎ＝１３２＋－１２()ｎ[]．答：恰好得到ｎ分的概率是１３２＋－１２()ｎ[]． １－１ （２０１９扬州中学阶段检测，２３）某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球．若摸中甲箱中的红球，则可获奖金ｍ元；若摸中乙箱中的红球，则可获奖金ｎ元．活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止．（１）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金ｎ元的概率；（２）若要使得该参与者获奖金额的期望较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由．１－１解析 （１）设“参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金ｎ元”为事件Ｍ，则Ｐ（Ｍ）＝１３×３４＝１４．故参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金ｎ元的概率为１４．（２）参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：①先在甲箱中摸球，参与者获奖金额ξ（单位：元）的所有可能取值为０，ｍ，ｍ＋ｎ，则Ｐ（ξ＝０）＝３４，Ｐ（ξ＝ｍ）＝１４×２３＝１６，Ｐ（ξ＝ｍ＋ｎ）＝１４×１３＝１１２，∴Ｅξ＝０×３４＋ｍ·１６＋（ｍ＋ｎ）·１１２＝ｍ４＋ｎ１２．②先在乙箱中摸球，参与者获奖金额η（单位：元）的所有可能取值为０，ｎ，ｍ＋ｎ，则Ｐ（η＝０）＝２３，Ｐ（η＝ｎ）＝１３×３４＝１４，Ｐ（η＝ｍ＋ｎ）＝１３×１４＝１１２，∴Ｅη＝０×２３＋ｎ·１４＋（ｍ＋ｎ）·１１２＝ｍ１２＋ｎ３，∴Ｅξ－Ｅη＝２ｍ－３ｎ１２．当ｍｎ＞３２时，Ｅξ＞Ｅη，故先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金额的期望较大；当ｍｎ＝３２时，Ｅξ＝Ｅη，故按两种顺序摸球，参与者获奖金额的期望相等；当ｍｎ＜３２时，Ｅξ＜Ｅη，故先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金额的期望较大． １－２ （２０１８扬州考前调研测试，２２）在正四棱柱ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＢ＝２，ＡＡ１＝２２，从正四棱柱的８个顶点中任取３个点构成三角形，记三角形的面积为Ｘ．（１）求Ｐ（Ｘ＝４）的值；（２）求Ｘ的分布列和数学期望．１－２解析 （１）共有Ｃ３８种等可能基本事件，其中满足Ｘ＝４的有２Ｃ３４＝８种，记“Ｘ＝４”为事件Ａ，则Ｐ（Ａ）＝２Ｃ３４Ｃ３８＝１７．（２）Ｘ的可能取值为２，２２，２３，４，２５，Ｐ（Ｘ＝２）＝２Ｃ３４Ｃ３８＝１７，Ｐ（Ｘ＝２２）＝４Ｃ３４Ｃ３８＝２７，Ｐ（Ｘ＝２３）＝４Ｃ３４Ｃ３８＝２７，Ｐ（Ｘ＝４）＝２Ｃ３４Ｃ３８＝１７，Ｐ（Ｘ＝２５）＝２Ｃ３４Ｃ３８＝１７，则Ｘ的分布列为Ｘ２２２２３４２５Ｐ１７２７２７１７１７ 所以Ｅ（Ｘ）＝１×２＋２×２２＋２×２３＋４×１＋１×２５７＝６＋４２＋４３＋２５７．