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１４６ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）§２０．２ 条件概率及相互独立事件、ｎ次独立重复试验的模型及二项分布对应学生用书起始页码Ｐ４０３考点一条件概率及相互独立事件的概率 １．条件概率及其性质（１）对于任何两个事件Ａ和Ｂ，在已知事件Ａ发生的条件下，事件Ｂ发生的概率叫做条件概率，用符号Ｐ（Ｂ｜Ａ）来表示，其公式为Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）．（２）条件概率具有的性质①０≤Ｐ（Ｂ｜Ａ）≤１；②如果Ｂ和Ｃ是两个互斥事件，则Ｐ（Ｂ∪Ｃ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ｜Ａ）＋Ｐ（Ｃ｜Ａ）．２．相互独立事件（１）对于事件Ａ、Ｂ，若Ａ的发生与Ｂ的发生互不影响，则称Ａ、Ｂ是相互独立事件．（２）若Ａ与Ｂ相互独立，则Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ），Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ｂ｜Ａ）·Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）．（３）若Ａ与Ｂ相互独立，则Ａ与Ｂ，Ａ与Ｂ，Ａ与Ｂ也都相互独立．（４）若Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ），则Ａ与Ｂ相互独立．考点二ｎ次独立重复试验的模型及二项分布 １．独立重复试验如果在一次试验中，某事件发生的概率为ｐ，那么在ｎ次独立重复试验中，这个事件恰好发生ｋ次的概率为Ｐｎ（ｋ）＝Ｃｋｎｐｋ（１－ｐ）ｎ－ｋ．２．二项分布如果在一次试验中，某事件发生的概率是ｐ，那么在ｎ次独立重复试验中，这个事件恰好发生ｋ次的概率是Ｐ（ξ＝ｋ）＝Ｃｋｎ·ｐｋ·ｑｎ－ｋ，其中ｋ＝０，１，２，３，…，ｎ，ｑ＝１－ｐ．于是得到随机变量ξ的概率分布列如下：ξ０１…ｋ…ｎＰＣ０ｎｐ０ｑｎＣ１ｎ·ｐ１·ｑｎ－１…Ｃｋｎｐｋｑｎ－ｋ…Ｃｎｎｐｎｑ０ 由于Ｃｋｎｐｋｑｎ－ｋ恰好是二项展开式（ｑ＋ｐ）ｎ＝Ｃ０ｎｐ０ｑｎ＋Ｃ１ｎｐ１ｑｎ－１＋…＋Ｃｋｎ·ｐｋ·ｑｎ－ｋ＋…＋Ｃｎｎｐｎｑ０中的第（ｋ＋１）项的值，故称随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～Ｂ（ｎ，ｐ）． １．解决概率问题的步骤第一步，确定事件的性质等可能事件，互斥事件，相互独立事件，ｎ次独立重复试验，ìîíïïïï即将所给的问题归结为四类事件中的某一类．第二步，判断事件概率的运算和事件，积事件，{即判断至少有一个发生，还是同时发生，确定运用加法或乘法原理．第三步，运用公式求得概率．等可能事件：Ｐ（Ａ）＝ｍｎ，互斥事件：Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ），Ｐ（ＡＢ）＝０，相互独立事件：Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ），ｎ次独立重复试验：Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝Ｃｋｎｐｋ（１－ｐ）ｎ－ｋ，条件概率：Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）．ìîíïïïïïïïï２．方程思想在概率运算中的应用在概率运算过程中，会经常遇到求两个或三个事件的概率或确定某参数的值的问题，此时可考虑方程（组）的方法，借助题中条件列出含有该未知量的方程（组），进而求解．对应学生用书起始页码Ｐ４０３二项分布的解法 １．ｎ次独立重复试验中事件Ａ恰好发生ｋ次的概率求法：ｎ次独立重复试验中事件Ａ恰好发生ｋ次可看作Ｃｋｎ个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作ｋ个Ａ事件与（ｎ－ｋ）个Ａ事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是ｐｋ（１－ｐ）ｎ－ｋ（其中ｐ为在一次试验中事件Ａ发生的概率）．因此，ｎ次独立重复试验中事件Ａ恰好发生ｋ次的概率为Ｃｋｎｐｋ（１－ｐ）ｎ－ｋ．２．写二项分布时，首先确定随机变量Ｘ的取值，然后用公式Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝Ｃｋｎｐｋ（１－ｐ）ｎ－ｋ计算概率即可．３．若Ｘ～Ｂ（ｎ，ｐ），则Ｅ（Ｘ）＝ｎｐ．（２０１９如皋期末，２２）有甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们对Ａ，Ｂ，Ｃ三种书籍有购买意向．已知甲同学购买Ａ，Ｂ，Ｃ三种书籍的概率分别为３４，１２，１３，乙同学购买Ａ，Ｂ，Ｃ三种书籍的概率分别为２３，１２，１２，设甲、乙是否购买Ａ，Ｂ，Ｃ三种书籍相互独立．（１）求甲同学至少购买２种书籍的概率；（２）设甲、乙同学购买２种书籍的人数为Ｘ，求Ｘ的概率分布和数学期望．解析 （１）记“甲同学至少购买２种书籍”为事件Ａ，则Ｐ（Ａ）＝３４×１２×２３＋１４×１２×１３＋３４×１２×１３＋３４×１２×１３第二十章 概率统计１４７ ＝１３２４．所以甲同学至少购买２种书籍的概率为１３２４．（４分）（２）设甲、乙同学购买２种书籍的概率分别为ｐ１，ｐ２．则ｐ１＝３４×１２×２３＋３４×１２×１３＋１４×１２×１３＝５１２，ｐ２＝２３×１２×１２＋２３×１２×１２＋１３×１２×１２＝５１２，所以ｐ１＝ｐ２．（６分）所以Ｘ～Ｂ２，５１２()．Ｐ（Ｘ＝０）＝Ｃ０２·５１２()０·７１２()２＝４９１４４，Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ１２·５１２()１·７１２()１＝７０１４４，Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ２２·５１２()２·７１２()０＝２５１４４．所以Ｘ的概率分布列为Ｘ０１２Ｐ４９１４４７０１４４２５１４４ Ｅ（Ｘ）＝０×４９１４４＋１×７０１４４＋２×２５１４４＝５６．所以随机变量Ｘ的数学期望为５６．（１０分） １－１ （２０１８无锡期末，２３）某公司有Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四辆汽车，其中Ａ车的车牌尾号为０，Ｂ，Ｃ两车的车牌尾号都为６，Ｄ车的车牌尾号为５，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车．已知Ａ，Ｄ两辆汽车每天出车的概率为３４，Ｂ，Ｃ两辆汽车每天出车的概率为１２，且四辆汽车是否出车是相互独立的．该公司所在地区汽车限行规定如下：汽车车牌尾号车辆限行日０和５星期一１和６星期二２和７星期三３和８星期四４和９星期五 （１）求该公司在星期四至少有２辆汽车出车的概率；（２）设ξ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求ξ的分布列和数学期望．１－１解析 （１）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件Ａ，则Ａ为该公司在星期四最多有一辆汽车出车，Ｐ（Ａ）＝１４()２１２()２＋Ｃ１２３４()１４()１２()２＋Ｃ１２１２()１２()１４()２＝９６４，∴Ｐ（Ａ）＝１－Ｐ（Ａ）＝５５６４．答：该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率为５５６４．（２）由题意知ξ的可能取值为０，１，２，３，４，Ｐ（ξ＝０）＝１２()２１４()２＝１６４；Ｐ（ξ＝１）＝Ｃ１２１２()１２()１４()２＋Ｃ１２３４()１４()１２()２＝１８；Ｐ（ξ＝２）＝１２()２１４()２＋３４()２１２()２＋Ｃ１２１２()２Ｃ１２·(３４)(１４)＝１１３２；Ｐ（ξ＝３）＝１２()２Ｃ１２３４()１４()＋３４()２Ｃ１２１２()２＝３８；Ｐ（ξ＝４）＝３４()２１２()２＝９６４．故ξ的分布列为ξ０１２３４Ｐ１６４１８１１３２３８９６４ 故Ｅξ＝０×１６４＋１×１８＋２×１１３２＋３×３８＋４×９６４＝５２． １－２ （２０１９溧水中学调研，２２）盒子中装有四张大小、形状均相同的卡片，卡片上分别标有数－ｉ，ｉ，－２，２其中ｉ是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（１）求事件Ａ“在一次试验中，得到的数为虚数”的概率Ｐ（Ａ）与事件Ｂ“在四次试验中，至少有两次得到虚数”的概率Ｐ（Ｂ）；（２）在两次试验中，记两次得到的数分别为ａ，ｂ，求随机变量ξ＝｜ａ·ｂ｜的分布列与数学期望Ｅξ．１－２解析 （１）Ｐ（Ａ）＝１２．（２分）Ｐ（Ｂ）＝１－Ｐ（Ｂ）＝１－[Ｃ０４１２()０１２()４＋Ｃ１４１２()×１２()３]＝１－５１６＝１１１６．（５分）（２）ξ的可能取值为１，２，４．（６分）Ｐ（ξ＝１）＝４１６＝１４，Ｐ（ξ＝２）＝８１６＝１２，Ｐ（ξ＝４）＝４１６＝１４．（８分）故ξ的分布列为ξ１２４Ｐ１４１２１４ Ｅξ＝１×１４＋２×１２＋４×１４＝９４．（１０分）