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第二章 函数１１ §２．２ 函数的基本性质对应学生用书起始页码Ｐ１６考点一函数的单调性高频考点 １．单调函数的定义设函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｉ，如果对于定义域Ｉ内某个区间Ｄ上的任意两个自变量的值ｘ１，ｘ２，当ｘ１＜ｘ２时，（１）若ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ２），则ｆ（ｘ）在区间Ｄ上是增函数；（２）若ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２），则ｆ（ｘ）在区间Ｄ上是减函数．２．单调区间的定义若函数ｆ（ｘ）在区间Ｄ上是增函数或减函数，则称函数ｆ（ｘ）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间Ｄ叫做ｆ（ｘ）的单调区间．注意：当函数有多个单调递增（减）区间时，区间之间用“，”或“和”隔开，不能用“∪”．３．判断单调性的方法（１）利用定义判断．（２）利用函数的性质判断．若ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）为增函数，则在公共定义域内：①ｙ＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）为增函数；②ｙ＝１ｆ（ｘ）为减函数（ｆ（ｘ）＞０）；③ｙ＝ｆ（ｘ）为增函数（ｆ（ｘ）≥０）；④ｙ＝ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）为增函数（ｆ（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）＞０）；⑤ｙ＝－ｆ（ｘ）为减函数．（３）利用复合函数的关系判断．法则是“同增异减”，即若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．４．函数的最值前提设函数ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域为Ｉ，如果存在实数Ｍ满足条件（１）对于任意的ｘ∈Ｉ，都有ｆ（ｘ）≤Ｍ；（２）存在ｘ０∈Ｉ，使得ｆ（ｘ０）＝Ｍ（１）对于任意的ｘ∈Ｉ，都有ｆ（ｘ）≥Ｍ；（２）存在ｘ０∈Ｉ，使得ｆ（ｘ０）＝Ｍ结论Ｍ为最大值Ｍ为最小值考点二函数的奇偶性与周期性 １．奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数ｆ（ｘ）的定义域内任意一个ｘ，都有ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），那么函数ｆ（ｘ）就叫做偶函数．一般地，如果对于函数ｆ（ｘ）的定义域内任意一个ｘ，都有ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ），那么函数ｆ（ｘ）就叫做奇函数．２．奇、偶函数的性质（１）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（２）在公共定义域内，（ｉ）两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；（ｉｉ）两个偶函数的和、积都是偶函数；（ｉｉｉ）一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数．（３）若ｆ（ｘ）为偶函数，则ｆ（ｘ）＝ｆ（｜ｘ｜）．３．函数的周期性（１）定义：如果存在一个非零常数Ｔ，使得对于函数ｆ（ｘ）定义域内的任意ｘ，都有ｆ（Ｔ＋ｘ）＝ｆ（ｘ），则称ｆ（ｘ）为周期函数．不为零的常数Ｔ叫做这个函数的周期．如果在周期函数ｆ（ｘ）的所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数就叫做ｆ（ｘ）的最小正周期．（２）由周期函数的定义得：①若函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋ａ）＝ｆ（ｘ－ａ）（ａ≠０），则ｆ（ｘ）为周期函数，Ｔ＝２｜ａ｜；②若函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋ａ）＝ｆ（ａ－ｘ）（ａ≠０）且ｆ（ｘ）为奇函数，则ｆ（ｘ）为周期函数，Ｔ＝４｜ａ｜；③若函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋ａ）＝－ｆ（ｘ）（ａ≠０），则ｆ（ｘ）为周期函数，Ｔ＝２｜ａ｜；④若函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋ａ）＝±１ｆ（ｘ）（ａ≠０），则ｆ（ｘ）为周期函数，Ｔ＝２｜ａ｜．（３）①若函数ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝ａ和直线ｘ＝ｂ对称，则函数ｆ（ｘ）为周期函数，２｜ａ－ｂ｜是它的一个周期；②若函数ｆ（ｘ）的图象关于点（ａ，０）和点（ｂ，０）对称，则函数ｆ（ｘ）为周期函数，２｜ａ－ｂ｜是它的一个周期．对应学生用书起始页码Ｐ１７一、函数单调性的判定与应用 １．求函数的单调性或单调区间的方法：（１）利用已知函数的单调性求解．（２）先求定义域，再利用单调性的定义求解．（３）如果ｆ（ｘ）是以图象形式给出的，或者ｆ（ｘ）的图象易作出，则可由图象判断函数ｆ（ｘ）的单调性．（４）复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］的单调性根据“同增异减”判断．（５）利用导数判断单调性．２．函数的单调性有如下几个方面的基本应用：（１）确定函数的单调区间；（２）利用函数的单调性解不等式；（３）在已知函数单调性的条件下，求参数的取值范围；（４）求值域（最值）．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋１－ａｘ，其中ａ＞０．（１）若２ｆ（１）＝ｆ（－１），求ａ的值；（２）证明：当ａ≥１时，函数ｆ（ｘ）在区间［０，＋∞）上为单调减函数；（３）若函数ｆ（ｘ）在区间［１，＋∞）上是增函数，求ａ的取值范围．１２ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）解析 （１）由２ｆ（１）＝ｆ（－１），可得２２－２ａ＝２＋ａ，即３ａ＝２，∴ａ＝２３．（２）证明：当ａ≥１时，任取ｘ１，ｘ２∈［０，＋∞），且０≤ｘ１＜ｘ２，则ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＝ｘ２１＋１－ａｘ１－ｘ２２＋１＋ａｘ２＝ｘ２１＋１－ｘ２２＋１－ａ（ｘ１－ｘ２）＝ｘ２１－ｘ２２ｘ２１＋１＋ｘ２２＋１－ａ（ｘ１－ｘ２）＝（ｘ１－ｘ２）ｘ１＋ｘ２ｘ２１＋１＋ｘ２２＋１－ａæèçöø÷，因为０≤ｘ１＜ｘ２１＋１，０＜ｘ２＜ｘ２２＋１，所以０＜ｘ１＋ｘ２ｘ２１＋１＋ｘ２２＋１＜１．因为ａ≥１，ｘ１－ｘ２＜０，所以ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＞０，故ｆ（ｘ）在［０，＋∞）上单调递减．（３）任取ｘ１，ｘ２∈［１，＋∞），且１≤ｘ１＜ｘ２，由（２）知ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＝（ｘ１－ｘ２）ｘ１＋ｘ２ｘ２１＋１＋ｘ２２＋１－ａæèçöø÷，因为ｆ（ｘ）在［１，＋∞）上单调递增，所以ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＜０，又ｘ１－ｘ２＜０，所以ｘ１＋ｘ２ｘ２１＋１＋ｘ２２＋１－ａ＞０恒成立，因为１≤ｘ１＜ｘ２⇒２ｘ２１≥ｘ２１＋１，２ｘ２２＞ｘ２２＋１，所以２ｘ１≥ｘ２１＋１，２ｘ２＞ｘ２２＋１，两式相加得２（ｘ１＋ｘ２）＞ｘ２２＋１＋ｘ２１＋１，则２２＜ｘ１＋ｘ２ｘ２１＋１＋ｘ２２＋１＜１，所以０＜ａ≤２２． （１）（２０１９姜堰中学、淮阴中学期中，８）若奇函数ｆ（ｘ）是Ｒ上的增函数，ｆ（１）＝２，则不等式－２≤ｆ（ｘ－１）≤０的解集为 ．（２）（２０１９无锡期中）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ｘ，ｘ≥２，ａｘ－１，ｘ＜２{在Ｒ上单调递增，则实数ａ的取值范围为 ．解析 （１）根据题意，ｆ（ｘ）为Ｒ上的奇函数，且ｆ（１）＝２，则ｆ（－１）＝－２，则ｆ（０）＝０，又ｆ（ｘ）是Ｒ上的增函数，－２≤ｆ（ｘ－１）≤０，则有ｆ（－１）≤ｆ（ｘ－１）≤ｆ（０），则有－１≤ｘ－１≤０，解得０≤ｘ≤１，即不等式的解集为［０，１］．（２）画出函数图象如图所示．当ｘ＝２时，ｌｏｇ２ｘ＝１，ａｘ－１＝２ａ－１，因为函数ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增，所以ａ＞０，２ａ－１≤１，{解得０＜ａ≤１．故ａ的取值范围为（０，１］．答案 （１）［０，１］ （２）（０，１］ １－１ 已知函数ｆ（ｘ）＝（ａ２－１）ｌｏｇ２（ｘ＋２），－２＜ｘ≤０，ａｘ２＋１，ｘ＞０{在（－２，＋∞）上是单调函数，则实数ａ的取值范围是 ．１－１答案 １＜ａ≤２解析 当函数ｆ（ｘ）在（－２，＋∞）上是增函数时，有ａ２－１＞０，ａ＞０，ａ２－１≤１，{解得１＜ａ≤２．当函数ｆ（ｘ）在（－２，＋∞）上是减函数时，有ａ２－１＜０，ａ＜０，ａ２－１≥１，{无解．综上可得，１＜ａ≤２． １－２ 已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ｌｎｘ＋２，则不等式ｆ［ｘ（ｘ－１）］＜ｆ（２）的解集是 ．１－２答案 ｛ｘ｜１＜ｘ＜２｝解析 函数ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋∞），因为ｙ＝ｘ３与ｙ＝ｌｎｘ在（０，＋∞）上均为增函数，所以ｆ（ｘ）是增函数，所以０＜ｘ（ｘ－１）＜２，解得１＜ｘ＜２．故所求解集为｛ｘ｜１＜ｘ＜２｝．解题关键 抽象函数的定义域、奇偶性、单调性等性质一般都会在条件中给出，对于给出具体解析式的函数，需要通过计算来确定函数的单调性、奇偶性等． １－３ 已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋ａｌｎｘ（ａ＞０），对于１２，１()内的任意两个相异实数ｘ１，ｘ２，恒有｜ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）｜＞１ｘ１－１ｘ２，则ａ的取值范围是 ．１－３答案 ３２，＋∞[)解析 因为ｙ＝ｘ与ｙ＝ａｌｎｘ（ａ＞０）在（０，＋∞）上均为增函数，所以函数ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上单调递增，设ｘ１＜ｘ２，则ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ２），所以ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）＞１ｘ１－１ｘ２，可得ｆ（ｘ２）＋１ｘ２＞ｆ（ｘ１）＋１ｘ１．令ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋１ｘ，则问题转化为函数ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋１ｘ在１２，１()上单调递增，即ｈ′（ｘ）＝ｘ２＋ａｘ－１ｘ２≥０，即ｘ２＋ａｘ－１≥０在１２，１()上恒成立，则ａ≥１－ｘ２ｘ()ｍａｘ＝３２，故ａ的取值范围是３２，＋∞[)．第二章 函数１３ 二、函数奇偶性的判定与应用 １．函数奇偶性的判断方法（１）根据定义判断：首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称，若不对称，则其既不是奇函数也不是偶函数；若对称，则由ｆ（－ｘ）与ｆ（ｘ）的关系来确定函数的奇偶性．（２）利用函数的图象特征判断：函数ｆ（ｘ）是奇函数⇔ｆ（ｘ）的图象关于原点对称；函数ｆ（ｘ）是偶函数⇔ｆ（ｘ）的图象关于ｙ轴对称．（３）根据性质判断（在公共定义域内）：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶；奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．（４）两点需要注意的地方：①对于解析式比较复杂的函数，有时需要将函数进行化简后再判断它的奇偶性，但一定要先考虑它的定义域；②当ｆ（ｘ）≠０时，奇偶函数定义中的判断式ｆ（－ｘ）＝±ｆ（ｘ）常被ｆ（－ｘ）ｆ（ｘ）＝±１所替代．２．函数奇偶性的应用（１）求函数的值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（２）求解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解；（３）求解析式中的参数，利用待定系数法求解；（４）画函数图象，利用奇偶性可以画出对称区间上函数的图象．判断下列函数的奇偶性：（１）ｆ（ｘ）＝ｘｌｇ（ｘ＋ｘ２＋１）；（２）ｆ（ｘ）＝（１－ｘ）１＋ｘ１－ｘ；（３）ｆ（ｘ）＝－ｘ２＋２ｘ＋１（ｘ＞０），ｘ２＋２ｘ－１（ｘ＜０）；{（４）ｆ（ｘ）＝４－ｘ２｜ｘ＋３｜－３．解析 （１）∵ｘ２＋１＞｜ｘ｜≥０，∴函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，关于原点对称，又ｆ（－ｘ）＝（－ｘ）ｌｇ［－ｘ＋（－ｘ）２＋１］＝－ｘｌｇ（ｘ２＋１－ｘ）＝ｘｌｇ（ｘ２＋１＋ｘ）＝ｆ（ｘ），即ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），∴ｆ（ｘ）是偶函数．（２）当且仅当１＋ｘ１－ｘ≥０时函数有意义，∴－１≤ｘ＜１，由于定义域关于原点不对称，∴函数ｆ（ｘ）是非奇非偶函数．（３）函数的定义域为｛ｘ｜ｘ≠０｝，关于原点对称，当ｘ＞０时，－ｘ＜０，ｆ（－ｘ）＝ｘ２－２ｘ－１＝－ｆ（ｘ），当ｘ＜０时，－ｘ＞０，ｆ（－ｘ）＝－ｘ２－２ｘ＋１＝－ｆ（ｘ），∴ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ），∴函数ｆ（ｘ）是奇函数．（４）∵４－ｘ２≥０，｜ｘ＋３｜≠３{⇒－２≤ｘ≤２且ｘ≠０，∴函数的定义域关于原点对称．ｆ（ｘ）＝４－ｘ２ｘ＋３－３＝４－ｘ２ｘ，∵ｆ（－ｘ）＝４－（－ｘ）２－ｘ＝－４－ｘ２ｘ，∴ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ），∴函数ｆ（ｘ）是奇函数． （１）已知ｆ（ｘ）是奇函数，ｇ（ｘ）是偶函数，且ｆ（－１）＋ｇ（１）＝２，ｆ（１）＋ｇ（－１）＝４，则ｇ（１）＝ ．（２）若函数ｆ（ｘ）＝２ｘ＋１２ｘ－ａ是奇函数，则使ｆ（ｘ）＞３成立的ｘ的取值范围为 ．解析 （１）∵ｆ（ｘ）是奇函数，∴ｆ（－１）＝－ｆ（１）．∵ｇ（ｘ）是偶函数，∴ｇ（－１）＝ｇ（１）．∵ｆ（－１）＋ｇ（１）＝２，∴ｇ（１）－ｆ（１）＝２．①∵ｆ（１）＋ｇ（－１）＝４，∴ｆ（１）＋ｇ（１）＝４．②由①②得ｇ（１）＝３．（２）因为ｆ（ｘ）＝２ｘ＋１２ｘ－ａ是奇函数，所以对定义域内的任意ｘ，ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ）恒成立，即２－ｘ＋１２－ｘ－ａ＝－２ｘ＋１２ｘ－ａ，即１＋２ｘ１－ａ·２ｘ＝２ｘ＋１ａ－２ｘ，所以１－ａ·２ｘ＝ａ