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第二章 函数２１ §２．５ 函数与方程对应学生用书起始页码Ｐ３０考点函数的零点与方程的根高频考点 １．函数的零点（１）函数零点的定义对于函数ｙ＝ｆ（ｘ）（ｘ∈Ｄ），把使ｆ（ｘ）＝０的实数ｘ叫做函数ｙ＝ｆ（ｘ）（ｘ∈Ｄ）的零点．（２）几个等价关系方程ｆ（ｘ）＝０有实数根⇔函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象与ｘ轴有交点⇔函数ｙ＝ｆ（ｘ）有零点．（３）函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有ｆ（ａ）·ｆ（ｂ）＜０，那么，函数ｙ＝ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）内有零点，即存在ｃ∈（ａ，ｂ），使得ｆ（ｃ）＝０，这个ｃ也就是方程ｆ（ｘ）＝０的根． ２．二分法（１）二分法的定义对于在区间［ａ，ｂ］上图象连续不断且ｆ（ａ）·ｆ（ｂ）＜０的函数ｙ＝ｆ（ｘ），通过不断地把函数ｆ（ｘ）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．（２）用二分法求函数ｆ（ｘ）零点近似值的步骤如下：①确定区间［ａ，ｂ］，验证ｆ（ａ）·ｆ（ｂ）＜０，给定精确度ε．②求区间（ａ，ｂ）的中点ｃ．③计算ｆ（ｃ）：若ｆ（ｃ）＝０，则ｃ就是函数的零点；若ｆ（ａ）·ｆ（ｃ）＜０，则令ｂ＝ｃ（此时零点ｘ０∈（ａ，ｃ））；若ｆ（ｃ）·ｆ（ｂ）＜０，则令ａ＝ｃ（此时零点ｘ０∈（ｃ，ｂ））．④判断是否达到精确度ε，若｜ａ－ｂ｜＜ε，则得到零点近似值ａ（或ｂ）；否则，重复②③④．对应学生用书起始页码Ｐ３０一、函数零点个数及所在区间的判断方法 １．判断函数零点所在区间的常用方法（１）利用零点存在性定理，使用该定理的首要条件是函数在某一闭区间上的图象是连续的．（２）数形结合法：画出函数的图象，用估算法确定区间．２．判断函数零点个数的常用方法（１）解方程法：令ｆ（ｘ）＝０，如果有解，则有几个解就有几个零点．（２）利用零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在［ａ，ｂ］上的图象是连续的曲线，且ｆ（ａ）·ｆ（ｂ）＜０，还必须结合函数的图象和性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点．（３）数形结合法：转化为两个相应函数图象的交点的个数问题，有几个交点就有几个零点．（１）（２０１８天一中学调研，７）若函数ｙ＝ｌｎｘ＋２ｘ－６的零点为ｘ０，则满足ｋ≤ｘ０的最大整数ｋ＝ ．（２）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ有两个极值点ｘ１，ｘ２，若ｆ（ｘ１）＝ｘ１＜ｘ２，则关于ｘ的方程３（ｆ（ｘ））２＋２ａｆ（ｘ）＋ｂ＝０的不同实根个数是 ．解析 （１）令ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋２ｘ－６，则ｆ（２）＝ｌｎ２－２＝ｌｎ２ｅ２＜ｌｎ１＝０，ｆ（３）＝ｌｎ３＞０，∴由零点存在性定理可知ｆ（ｘ）在（２，３）上至少有一个零点，由ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上单调递增可知零点是唯一的，∴ｘ０∈（２，３），∴满足不等式ｋ≤ｘ０的最大整数ｋ＝２．（２）令ｔ＝ｆ（ｘ），ｇ（ｔ）＝３ｔ２＋２ａｔ＋ｂ．由于ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋２ａｘ＋ｂ，且函数ｆ（ｘ）有两个极值点ｘ１，ｘ２，故ｘ１，ｘ２是方程ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋２ａｘ＋ｂ＝０的两个根，也是方程ｇ（ｔ）＝３ｔ２＋２ａｔ＋ｂ＝０的两个根．在同一坐标系内分别作出ｙ＝ｆ（ｘ）、ｙ＝ｔ（其中ｔ＝ｘ１或ｘ２）的图象，如图所示．由于ｆ（ｘ１）＝ｘ１＜ｘ２，观察图象可知：ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ＝ｘ１有２个交点，而与ｙ＝ｘ２只有１个交点，所以共有３个交点，即有３个不同实根．答案 （１）２ （２）３ １－１ 已知ｆ（ｘ）＝ｘ＋３， ｘ≤１，－ｘ２＋２ｘ＋３，ｘ＞１，{则函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｅｘ的零点有 个．１－１答案 ２解析 函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｅｘ的零点个数，即为函数ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ＝ｅｘ的图象交点的个数，如图所示，作出函数ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ＝ｅｘ的图象，由图象可知有两个交点，所以函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｅｘ有两个零点． １－２ 已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）和ｙ＝ｇ（ｘ）的定义域及值域均为［－ａ，ａ］（ａ＞０），其图象如图所示，则方程ｆ（ｇ（ｘ））＝０的根的个数为 ．２２ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）１－２答案 ６解析 由ｆ（ｘ）的图象可知方程ｆ（ｘ）＝０有三个根，从左到右依次设为ｘ１，ｘ２，ｘ３．因为ｆ（ｇ（ｘ））＝０，所以ｇ（ｘ）＝ｘ１，ｇ（ｘ）＝ｘ２或ｇ（ｘ）＝ｘ３，因为－ａ＜ｘ１＜０，所以ｇ（ｘ）∈（－ａ，０），由ｇ（ｘ）的图象可知ｙ＝ｘ１与ｙ＝ｇ（ｘ）的图象有两个交点，即方程ｇ（ｘ）＝ｘ１有两个根．同理ｇ（ｘ）＝ｘ２，ｇ（ｘ）＝ｘ３各有两个根，所以方程ｆ（ｇ（ｘ））＝０有６个根． １－３ （２０１９苏州中学期初，８）已知方程ｘ３＝４－ｘ的解在区间ｋ，ｋ＋１２()内，ｋ是１２的整数倍，则实数ｋ＝ ．１－３答案 １解析 作出ｙ＝ｘ３与ｙ＝４－ｘ的图象．观察发现：两函数有１个图象交点，且在（１，１）右侧．设ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ｘ－４，则ｆ（１）＝－２＜０，ｆ３２()＝７８＞０，ｆ（２）＝６＞０，∴ｆ（ｘ）的零点在１，３２()内．∴ｋ＝１．二、由函数的零点求参数的取值范围 已知函数有零点（方程有根）求参数的值或取值范围的常用方法：（１）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（２）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（３）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．设ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的偶函数，对任意ｘ∈Ｒ，都有ｆ（ｘ－２）＝ｆ（ｘ＋２），且当ｘ∈［－２，０］时，ｆ（ｘ）＝１２()ｘ－１．若函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｌｏｇａ（ｘ＋２）（ａ＞１）在区间（－２，６］上恰有３个不同的零点，则ａ的取值范围是 ．解析 函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｌｏｇａ（ｘ＋２）（ａ＞１）在区间（－２，６］上恰有３个不同的零点等价于曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与曲线ｙ＝ｌｏｇａ（ｘ＋２）在区间（－２，６］上恰有３个不同的交点．因为对任意ｘ∈Ｒ，都有ｆ（ｘ－２）＝ｆ（ｘ＋２），所以对任意ｘ∈Ｒ，都有ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋４），所以ｆ（ｘ）的周期为４．ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的偶函数，且当ｘ∈［－２，０］时，ｆ（ｘ）＝１２()ｘ－１，作出ｙ＝ｆ（ｘ）以及ｙ＝ｌｏｇａ（ｘ＋２）在区间（－２，６］上的图象，如图，从而有ｌｏｇａ４＜３，ｌｏｇａ８＞３，{解得ａ∈（３４，２）．答案 （３４，２） ２－１ （２０１９苏州３月检测，１０）若函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋２ｘ，ｘ≤０，ａｘ－ｌｎｘ，ｘ＞０{在其定义域上恰有两个零点，则正实数ａ的值为 ．２－１答案 １ｅ解析 当ｘ≤０时，ｆ（ｘ）＝ｘ＋２ｘ，ｆ（ｘ）在（－∞，０］上单调递增，ｆ（－１）＝－１＋２－１＜０，ｆ（０）＝１＞０，由零点存在性定理，可得ｆ（ｘ）在（－１，０）上有且只有一个零点；则由题意可得ｘ＞０时，ｆ（ｘ）＝ａｘ－ｌｎｘ有且只有一个零点，即ａ＝ｌｎｘｘ在（０，＋∞）上有且只有一个实根．令ｇ（ｘ）＝ｌｎｘｘ（ｘ＞０），则ｇ′（ｘ）＝１－ｌｎｘｘ２，当ｘ＞ｅ时，ｇ′（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）单调递减；当０＜ｘ＜ｅ时，ｇ′（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调递增．所以ｇ（ｘ）在ｘ＝ｅ处取得极大值，也为最大值，且ｇ（ｅ）＝１ｅ，当直线ｙ＝ａ（ａ＞０）与ｇ（ｘ）的图象只有一个交点时，ａ＝１ｅ．故ａ＝１ｅ． ２－２ 已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）是定义域为Ｒ的偶函数，当ｘ≥０时，ｆ（ｘ）＝－１４ｘ２，０≤ｘ≤２－１２()ｘ－３４，ｘ＞２，ìîíïïïï若关于ｘ的方程［ｆ（ｘ）］２＋ａｆ（ｘ）＋７ａ１６＝０，ａ∈Ｒ有且仅有８个不同的实数根，则实数ａ的取值范围是 ．２－２答案 ７４，１６９()解析 当０≤ｘ≤２时，ｆ（ｘ）∈［－１，０］；当ｘ＞２时，ｆ（ｘ）∈－１，－３４()．又函数ｙ＝ｆ（ｘ）是定义域为Ｒ的偶函数，所以当－２≤ｘ≤０时，ｆ（ｘ）∈［－１，０］；当ｘ＜－２时，ｆ（ｘ）∈－１，－３４()．第二章 函数２３ 令ｔ＝ｆ（ｘ），则ｔ２＋ａｔ＋７ａ１６＝０在－１，－３４()上有两个不同的实根，则１－ａ＋７ａ１６＞０，９１６－３４ａ＋７ａ１６＞０，ａ２－７ａ４＞０，－１＜－ａ２＜－３４，ìîíïïïïïïïïï解之得７４＜ａ＜１６９，所以实数ａ的取值范围为７４，１６９()． ２－３ （２０１８江苏百校联考，１１）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋２ｍｘ－ｍ２－１，０＜ｘ≤１，ｘｌｎｘ－２ｍ，ｘ＞１{在区间（０，＋∞）上有且只有三个不同的零点，则实数ｍ的取值范围是 ．２－３答案 ｅ２，２(]解析 当ｘ＞１时，ｆ（ｘ）＝ｘｌｎｘ－２ｍ，ｆ′（ｘ）＝ｌｎｘ－１（ｌｎｘ）２，由ｆ′（ｘ）＝０，得ｘ＝ｅ，当ｘ∈（１，ｅ）时，ｆ（ｘ）递减，当ｘ∈（ｅ，＋∞）时，ｆ（ｘ）递增，当０＜ｘ≤１时，ｆ（ｘ）＝（ｘ＋ｍ）２－２ｍ２－１，且ｆ（０）＝－ｍ２－１＜０，故当０＜ｘ≤１时必有一个零点，所以ｘ＞１时有２个零点，从而ｆ（１）≥０，ｆ（ｅ）＜０{⇒ｅ２＜ｍ≤２．