搜索
２４ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）§２．６ 函数模型和函数的综合应用对应学生用书起始页码Ｐ３４考点一函数的实际应用 解函数应用题的步骤（四步八字）（１）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（２）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（３）求模：求解数学模型，得出数学结论；（４）还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：考点二函数的综合应用 指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征函数性质ｙ＝ａｘ（ａ＞１）ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞１）ｙ＝ｘα（α＞０）在（０，＋∞）上的增减性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢随α值变化而不同图象的变化随ｘ值的增大，图象与ｙ轴接近平行随ｘ值的增大，图象与ｘ轴接近平行随α值变化而不同对应学生用书起始页码Ｐ３４建立确定性函数模型解决实际问题 １．在现实生活中，有很多问题的两个变量之间的关系是一次函数关系，对这类问题，可以构建一次函数模型，其增长特点是直线上升（自变量的系数大于０）或直线下降（自变量的系数小于０）．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．对这些问题，可以构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决．２．当两变量之间的关系不能用同一个关系式表示，而是由几个不同的关系式构成时，可以构造分段函数模型，先将其作为几个不同问题，将各段的变化规律找出来，再将其合在一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值的取舍．３．指数函数模型常与人口增长、银行利率、细胞分裂等相结合进行考查；而对数函数模型常与价格指数、环境承载力等相结合进行考查．应用指数函数模型或对数函数模型的关键是对模型的判定，从而建立形如ｙ＝ａ·ｂｘ＋ｃ＋ｄ或ｙ＝ａｌｏｇｂ（ｃｘ＋ｄ）（ａ＞０，ｂ＞０且ｂ≠１，ｃ≠０）的函数模型，再利用指数函数或对数函数的性质及函数图象来处理．（２０１７江苏南京、盐城一模，１８）如图所示，某街道居委会拟在ＥＦ地段的居民楼正南方向的空白地段ＡＥ上建一个活动中心，其中ＡＥ＝３０米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下半部分是长方形ＡＢＣＤ，上半部分是以ＤＣ为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长ＧＥ不超过２．５米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足ｔａｎθ＝３４．（１）若设计ＡＢ＝１８米，ＡＤ＝６米，问能否保证题干中的采光要求？（２）在保证题干中的采光要求的前提下，如何设计ＡＢ与ＡＤ的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取３）解析 如图所示，以点Ａ为坐标原点，分别以ＡＢ、ＡＤ所在直线为ｘ轴、ｙ轴，建立平面直角坐标系．（１）因为ＡＢ＝１８，ＡＤ＝６，所以半圆的圆心坐标为Ｈ（９，６），半径ｒ＝９．设太阳光线所在直线方程为ｙ＝－３４ｘ＋ｂ，即３ｘ＋４ｙ－４ｂ＝０，则｜２７＋２４－４ｂ｜３２＋４２＝９，解得ｂ＝２４或ｂ＝３２（舍）．故太阳光线所在直线方程为ｙ＝－３４ｘ＋２４，令ｘ＝３０，得ｙ＝３２，即ＥＧ＝１．５米＜２．５米．第二章 函数２５ 所以此时能保证采光要求．（２）设ＡＤ＝ｈ米，ＡＢ＝２ｒ米，则半圆的圆心为Ｈ（ｒ，ｈ），半径为ｒ，设活动中心的截面面积为Ｓ．解法一：设太阳光线所在直线方程为ｙ＝－３４ｘ＋ｂ，即３ｘ＋４ｙ－４ｂ＝０，由｜３ｒ＋４ｈ－４ｂ｜３２＋４２＝ｒ，解得ｂ＝ｈ＋２ｒ或ｂ＝ｈ－１２ｒ（舍），故太阳光线所在直线方程为ｙ＝－３４ｘ＋ｈ＋２ｒ，令ｘ＝３０，得ｙ＝２ｒ＋ｈ－４５２，由ｙ≤５２，得ｈ≤２５－２ｒ，所以Ｓ＝２ｒｈ＋１２πｒ２＝２ｒｈ＋３２ｒ２≤２ｒ（２５－２ｒ）＋３２ｒ２＝－５２ｒ２＋５０ｒ＝－５２（ｒ－１０）２＋２５０≤２５０，当且仅当ｒ＝１０时取等号．所以当ＡＢ＝２０米且ＡＤ＝５米时，可使得活动中心的截面面积最大．解法二：易知当ＥＧ恰为２．５米时，活动中心的截面面积最大，此时点Ｇ的坐标为（３０，２．５），设过点Ｇ的太阳光线所在直线为ｌ１，则ｌ１的方程为ｙ－５２＝－３４（ｘ－３０），即３ｘ＋４ｙ－１００＝０．由直线ｌ１与半圆Ｈ相切，得ｒ＝｜３ｒ＋４ｈ－１００｜５．而点Ｈ（ｒ，ｈ）在直线ｌ１的下方，则３ｒ＋４ｈ－１００＜０，即ｒ＝－３ｒ＋４ｈ－１００５，从而ｈ＝２５－２ｒ．Ｓ＝２ｒｈ＋１２πｒ２＝２ｒ（２５－２ｒ）＋３２ｒ２＝－５２ｒ２＋５０ｒ＝－５２（ｒ－１０）２＋２５０≤２５０，当且仅当ｒ＝１０时取等号，所以当ＡＢ＝２０米且ＡＤ＝５米时，可使得活动中心的截面面积最大． １－１ （２０１８溧阳上学期阶段测试，１８）已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料２００千克，配料的价格为１．８元／千克，每次购买配料需支付运费２３６元，每次购买的配料还需支付保管费用，其标准如下：７天以内（含７天），无论质量多少，均按１０元／天支付，超出７天以外的天数，根据实际剩余配料的质量，以每天０．０３元／千克支付．（１）当９天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用Ｐ是多少元；（２）设该厂ｘ天购买一次配料，求该厂在这ｘ天中用于配料的总费用ｙ（元）关于ｘ的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少．１－１解析 （１）当９天购买一次配料时，该厂用于配料的保管费用Ｐ＝７０＋０．０３×２００×（１＋２）＝８８（元）．（２）①当０＜ｘ≤７（ｘ∈Ｎ∗）时，ｙ＝３６０ｘ＋１０ｘ＋２３６＝３７０ｘ＋２３６，②当ｘ＞７（ｘ∈Ｎ∗）时，ｙ＝３６０ｘ＋２３６＋７０＋６［（ｘ－７）＋…＋２＋１］＝３ｘ２＋３２１ｘ＋４３２，∴ｙ＝３７０ｘ＋２３６，ｘ≤７，３ｘ２＋３２１ｘ＋４３２，ｘ＞７{（ｘ∈Ｎ∗）．设平均每天支付的费用为ｆ（ｘ）元．则ｆ（ｘ）＝３７０ｘ＋２３６ｘ，ｘ≤７，３ｘ２＋３２１ｘ＋４３２ｘ，ｘ＞７ìîíïïïï（ｘ∈Ｎ∗）．当ｘ≤７时，ｆ（ｘ）＝３７０＋２３６ｘ，当且仅当ｘ＝７时ｆ（ｘ）有最小值２８２６７≈４０４．当ｘ＞７时，ｆ（ｘ）＝３ｘ２＋３２１ｘ＋４３２ｘ＝３ｘ＋１４４ｘ()＋３２１≥３９３．当且仅当ｘ＝１２时取等号．∵３９３＜４０４，∴该厂１２天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少，为３９３元． １－２ （２０１７南通、徐州第一次学情调研，１８）在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量ｈ（ｘ）（单位：千套）与销售价格ｘ（单位：元／套）满足关系式ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）（３＜ｘ＜７，ｘ为常数），其中ｆ（ｘ）与（ｘ－３）成反比，ｇ（ｘ）与（ｘ－７）的平方成正比，已知销售价格为５元／套时，每日可售出套题２１千套，销售价格为３．５元／套时，每日可售出套题６９千套．（１）求ｈ（ｘ）的表达式；（２）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题３元（只考虑售出的套数），试确定销售价格为多少时，才能使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留１位小数）１－２解析 （１）因为ｆ（ｘ）与（ｘ－３）成反比，ｇ（ｘ）与（ｘ－７）的平方成正比，所以可设ｆ（ｘ）＝ｋ１ｘ－３，ｋ１≠０，ｇ（ｘ）＝ｋ２（ｘ－７）２，ｋ２≠０，则ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＝ｋ１ｘ－３＋ｋ２（ｘ－７）２，将（５，２１），（３．５，６９）代入，得ｋ１２＋４ｋ２＝２１，２ｋ１＋４９４ｋ２＝６９，ìîíïïïï解得ｋ１＝１０，ｋ２＝４，{所以ｈ（ｘ）＝１０ｘ－３＋４（ｘ－７）２（３＜ｘ＜７）．（２）设每日销售套题所获得的利润为Ｆ（ｘ）元，则Ｆ（ｘ）＝（ｘ－３）１０ｘ－３＋４（ｘ－７）２[]＝１０＋４（ｘ－７）２（ｘ－３）＝４ｘ３－６８ｘ２＋３６４ｘ－５７８（３＜ｘ＜７）．从而Ｆ′（ｘ）＝１２ｘ２－１３６ｘ＋３６４＝４（３ｘ－１３）（ｘ－７）（３＜ｘ＜７），当ｘ∈３，１３３()时，Ｆ′（ｘ）＞０，所以函数Ｆ（ｘ）在３，１３３()上单调递增，当ｘ∈１３３，７()时，Ｆ′（ｘ）＜０，所以函数Ｆ（ｘ）在１３３，７()上单调递减，所以当ｘ＝１３３≈４．３时，函数Ｆ（ｘ）取得最大值．答：当销售价格为４．３元／套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．