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第七章不等式真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养２０１９江苏，４５分填空题易一元二次不等式一元二次不等式的解法直接法数学运算２０１９江苏，１０５分填空题易基本不等式及应用基本不等式的应用直接法公式法数学运算２０１８江苏，１３５分填空题易基本不等式及其应用利用基本不等式求最小值面积法解析法三角法直观想象数学抽象数学运算２０１７江苏，７５分填空题易一元二次不等式解一元二次不等式直接法公式法数学运算２０１７江苏，１０５分填空题易基本不等式及其应用基本不等式的实际应用直接法公式法数学运算数学建模２０１７江苏，１１５分填空题中一元二次不等式解一元二次不等式直接法数学运算２０１６江苏，５５分填空题易一元二次不等式解一元二次不等式直接法数学运算２０１６江苏，１２５分填空题易简单的线性规划距离型问题数形结合数学运算２０１６江苏，１４５分填空题中基本不等式及其应用利用基本不等式求最小值直接法数学运算２０１６江苏，１９１６分解答题难基本不等式基本不等式的应用求导法数学运算数学抽象２０１５江苏，７５分填空题易一元二次不等式解一元二次不等式直接法数学运算命题规律与趋势０１考查内容本章为高考必考内容，主要考查不等式的性质与解法，基本不等式，线性规划问题及不等式的综合应用．０２命题特点基本不等式常与其他知识综合考查，有一定难度．不等式解法常在函数的综合解答题中出现，是解决导数综合问题的必选方法．线性规划问题的考查难度不大．０３解题方法特值法、直接法、数形结合法、综合法与分析法．０４关联考点在小题中，不等式可与集合、函数、三角函数、数列、解析几何结合考查；在大题中，常与解析几何、导数、绝对值不等式相结合考查．０５命题趋势高考对本章的考查，有时考简单的线性规划，常考基本不等式，有一定的综合性．０６核心素养本章主要考查的核心素养为数学运算及逻辑推理．０７备考建议高考对线性规划以及不等式的综合应用的考查难度变化不大，建议复习时以基础题为主，同时要注意不等式与其他章节的综合题，关注创新和实际应用题目．第七章 不等式６３ §７．１ 一元二次不等式对应学生用书起始页码Ｐ１０６２０１５—２０１９对应学生用书起始页码Ｐ１０６统一命题、省（区、市）卷题组对应学生用书起始页码Ｐ１０６考点一元二次不等式及其解法高频考点 １．不等式ａｘ＞ｂ的解集：若ａ＞０，解集为ｘｘ＞ｂａ{}；若ａ＜０，解集为ｘｘ＜ｂａ{}；若ａ＝０，当ｂ≥０时，解集为⌀，当ｂ＜０时，解集为Ｒ．２．三个“二次”间的关系判别式Δ＝ｂ２－４ａｃΔ＞０Δ＝０Δ＜０二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０）的图象一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ＞０）的根有两相异实根ｘ１，ｘ２（ｘ１＜ｘ２）有两相等实根ｘ１＝ｘ２＝－ｂ２ａ没有实数根ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０（ａ＞０）的解集｛ｘ｜ｘ＜ｘ１或ｘ＞ｘ２｝ｘｘ≠－ｂ２ａ{}Ｒ ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜０（ａ＞０）的解集｛ｘ｜ｘ１＜ｘ＜ｘ２｝⌀⌀ ３．分式不等式的解法（１）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＞０（＜０）⇔ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）＞０（＜０）；（２）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）≥０（≤０）⇔ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）≥０（≤０），ｇ（ｘ）≠０．{ １．对于不等式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０（≥０）或ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜０（≤０）的求解，要联系：①函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象与ｘ轴的交点；②方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的根，同时注意ａ是不是零．２．含参数的不等式求解，需要分类讨论，讨论时要做到“不重”“不漏”“最简”三原则．３．不等式组的解集是使各不等式同时成立的解的范围，即各不等式解集的交集．４．要注意体会数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想的应用．对应学生用书起始页码Ｐ１０６一元二次不等式恒成立问题的解法 １．形如ｆ（ｘ）＞０或ｆ（ｘ）＜０（ｘ∈Ｒ）的一元二次不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．２．形如ｆ（ｘ）＞０或ｆ（ｘ）＜０（ｘ∈［ａ，ｂ］）的不等式确定参数的范围时，要根据函数ｆ（ｘ）的单调性，求其最小值（或最大值），使最小值大于０（或最大值小于０），从而求参数的范围．３．形如ｆ（ｘ）＞０或ｆ（ｘ）＜０（参数ｍ∈［ａ，ｂ］）的不等式确定ｘ的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－２ａｘ－１＋ａ，ａ∈Ｒ．（１）若ａ＝２，试求函数ｙ＝ｆ（ｘ）ｘ（ｘ＞０）的最小值；（２）∀ｘ∈［０，２］，不等式ｆ（ｘ）≤ａ成立，试求ａ的取值范围．解析 （１）依题意得ｙ＝ｆ（ｘ）ｘ＝ｘ２－４ｘ＋１ｘ＝ｘ＋１ｘ－４．因为ｘ＞０，所以ｘ＋１ｘ≥２，当且仅当ｘ＝１ｘ，即ｘ＝１时，等号成立．所以ｙ≥－２．所以当ｘ＝１时，ｙ＝ｆ（ｘ）ｘ取最小值，为－２．（２）因为ｆ（ｘ）－ａ＝ｘ２－２ａｘ－１，所以要使“∀ｘ∈［０，２］，不等式ｆ（ｘ）≤ａ成立”，只要“ｘ２－２ａｘ－１≤０在［０，２］上恒成立”．不妨设ｇ（ｘ）＝ｘ２－２ａｘ－１，则只要ｇ（ｘ）≤０在［０，２］上恒成立即可，所以ｇ（０）≤０，ｇ（２）≤０，{即０－０－１≤０，４－４ａ－１≤０，{解得ａ≥３４．则ａ的取值范围是３４，＋∞[)． １－１ 已知不等式ｍｘ２－２ｘ－ｍ＋１＜０，是否存在实数ｍ对所６４ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）有的实数ｘ，不等式恒成立？若存在，求出ｍ的取值范围；若不存在，请说明理由．１－１解析 不存在．理由如下：设ｆ（ｘ）＝ｍｘ２－２ｘ－ｍ＋１．要使不等式ｍｘ２－２ｘ－ｍ＋１＜０恒成立，即函数ｆ（ｘ）＝ｍｘ２－２ｘ－ｍ＋１的图象在ｘ轴下方．当ｍ＝０时，１－２ｘ＜０，则ｘ＞１２，不满足题意；当ｍ≠０时，函数ｆ（ｘ）＝ｍｘ２－２ｘ－ｍ＋１为二次函数，则ｍ＜０，Δ＝４－４ｍ（１－ｍ）＜０，{不等式组的解集为空集，综上，不存在满足题意的实数ｍ使不等式恒成立． １－２ 设函数ｆ（ｘ）＝ｍｘ２－ｍｘ－１（ｍ≠０），若对任意的ｘ∈［１，３］，ｆ（ｘ）＜－ｍ＋５恒成立，求ｍ的取值范围．１－２解析 要使ｆ（ｘ）＜－ｍ＋５在［１，３］上恒成立，则ｍｘ２－ｍｘ＋ｍ－６＜０，即ｍｘ－１２()２＋３４ｍ－６＜０在ｘ∈［１，３］上恒成立．令ｇ（ｘ）＝ｍｘ－１２()２＋３４ｍ－６，ｘ∈［１，３］．当ｍ＞０时，ｇ（ｘ）在［１，３］上是增函数，所以ｇ（ｘ）ｍａｘ＝ｇ（３）＝７ｍ－６＜０，所以ｍ＜６７，则０＜ｍ＜６７；当ｍ＜０时，ｇ（ｘ）在［１，３］上是减函数，所以ｇ（ｘ）ｍａｘ＝ｇ（１）＝ｍ－６＜０，所以ｍ＜６，即ｍ＜０．综上所述，ｍ的取值范围是（－∞，０）∪０，６７()． １－３ 对任意ｍ∈［－１，１］，函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋（ｍ－４）ｘ＋４－２ｍ的值恒大于零，求ｘ的取值范围．１－３解析 ｆ（ｘ）＝ｘ２＋（ｍ－４）ｘ＋４－２ｍ＝（ｘ－２）ｍ＋ｘ２－４ｘ＋４，令ｇ（ｍ）＝（ｘ－２）ｍ＋ｘ２－４ｘ＋４．由题意知在［－１，１］上，ｇ（ｍ）的值恒大于零，若ｘ＝２，则ｇ（ｍ）＝０，不符合题意，∴ｘ≠２，∴ｇ（－１）＝（ｘ－２）×（－１）＋ｘ２－４ｘ＋４＞０，ｇ（１）＝ｘ－２＋ｘ２－４ｘ＋４＞０，{解得ｘ＜１或ｘ＞３．故当ｘ＜１或ｘ＞３时，对任意的ｍ∈［－１，１］，函数ｆ（ｘ）的值恒大于零．