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第七章 不等式６５ §７．２ 简单的线性规划对应学生用书起始页码Ｐ１０９考点简单的线性规划 １．在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ａ，Ｂ不同时为０）分成三类：①满足Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的点；②满足Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＞０的点；③满足Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＜０的点．２．在平面直角坐标系中，Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＞０（或Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＜０）表示直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０某一侧的所有点组成的平面区域，且不含边界，作图时边界应画成虚线；在平面直角坐标系中，画Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ≥０（或Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ≤０）表示的平面区域时，边界应画成实线．注意：（１）在画二元一次不等式（组）表示的平面区域时，一定注意边界线的虚实问题以及直线的倾斜程度．（２）对线性目标函数ｚ＝Ａｘ＋Ｂｙ中的Ｂ的符号一定要注意，当Ｂ＞０时，直线ｚ＝Ａｘ＋Ｂｙ过可行域且在ｙ轴上截距最大时，ｚ值最大，在ｙ轴上截距最小时，ｚ值最小；当Ｂ＜０时，直线ｚ＝Ａｘ＋Ｂｙ过可行域且在ｙ轴上截距最大时，ｚ值最小；在ｙ轴上截距最小时，ｚ值最大．对应学生用书起始页码Ｐ１０９一、二元一次方程（组）表示的平面区域及应用 １．二元一次不等式（组）表示的平面区域的判断方法：（１）特殊点判断法：判断Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＞０（或Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＜０）表示的区域时，若Ｃ≠０，一般取原点（０，０）进行检验，当原点坐标使Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＞０（或Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＜０）成立，则Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＞０（或Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＜０）就表示直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的含原点的那一侧区域，否则表示另一侧不含原点的区域；若Ｃ＝０，一般取（０，１）或（１，０）进行检验．（２）系数判断法：对于Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＞０表示的区域，当Ｂ＞０时，区域在直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的上方，当Ｂ＜０时，区域在直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的下方．２．二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平面区域的面积和已知平面区域的相关条件求参数的取值或范围．对于求面积问题，可以先画出平面区域，然后判断其形状，求得相应的交点坐标、相关的线段长度等，利用面积公式进行求解；对于求参问题，一般需根据区域的形状判断动直线的位置，从而确定参数的取值或范围．（１）在平面直角坐标系中，已知平面区域Ａ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ＋ｙ≤１，且ｘ≥０，ｙ≥０｝，则平面区域Ｂ＝｛（ｘ＋ｙ，ｘ－ｙ）｜（ｘ，ｙ）∈Ａ｝的面积为 ．（２）若不等式组ｘ－ｙ≥０，２ｘ＋ｙ≤２，ｙ≥０，ｘ＋ｙ≤ａìîíïïïï表示的平面区域的形状是三角形，则ａ的取值范围是 ． 解题导引（１）令ｍ＝ｘ＋ｙ，ｎ＝ｘ－ｙ→得ｘ＝ｍ＋ｎ２，ｙ＝ｍ－ｎ２→利用ｘ，ｙ所满足的条件得出ｍ，ｎ满足的条件→画出相应的平面区域→得面积（２）画出不含ａ的不等式所组成的不等式组表示的平面区域→画出动直线ｘ＋ｙ＝ａ，并判断原不等式组所表示的区域的形状→结论解析 （１）对于集合Ｂ，令ｍ＝ｘ＋ｙ，ｎ＝ｘ－ｙ，则ｘ＝ｍ＋ｎ２，ｙ＝ｍ－ｎ２，由于（ｘ，ｙ）∈Ａ，所以有ｍ＋ｎ２＋ｍ－ｎ２≤１，ｍ＋ｎ２≥０，ｍ－ｎ２≥０，ìîíïïïïïï即ｍ≤１，ｍ＋ｎ≥０，ｍ－ｎ≥０，{因此平面区域Ｂ的面积即为不等式组ｍ≤１，ｍ＋ｎ≥０，ｍ－ｎ≥０{所对应的平面区域的面积，画出图形可知该平面区域的面积为２×１２×１×１()＝１．６６ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书） （２）作出不等式组ｘ－ｙ≥０，２ｘ＋ｙ≤２，ｙ≥０{表示的平面区域（如图中阴影部分）．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线ｌ：ｘ＋ｙ＝ａ在ｌ１、ｌ２之间（包含ｌ２，不包含ｌ１）或在ｌ３上方（包含ｌ３）．故０＜ａ≤１或ａ≥４３．答案 （１）１ （２）０＜ａ≤１或ａ≥４３ １－１ 不等式组ｘ＋ｙ≥２，２ｘ－ｙ≤４，ｘ－ｙ≥０{所围成的平面区域的面积为 ．１－１答案 ３解析 如图，不等式组所围成的平面区域为图中阴影部分，其中Ａ（２，０），Ｂ（４，４），Ｃ（１，１），则所求平面区域的面积为Ｓ△ＡＢＯ－Ｓ△ＡＣＯ＝１２×（２×４－２×１）＝３． １－２ 若不等式组ｘ＋ｙ－２≤０，ｘ＋２ｙ－２≥０，ｘ－ｙ＋２ｍ≥０{表示的平面区域为三角形，且其面积等于４３，则ｍ的值为 ．１－２答案 １解析 如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－２ｍ＜２，即ｍ＞－１，所围成的区域为△ＡＢＣ，Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＤＣ－Ｓ△ＢＤＣ．点Ａ的纵坐标为１＋ｍ，点Ｂ的纵坐标为２３（１＋ｍ），Ｃ，Ｄ两点的横坐标分别为２，－２ｍ，所以Ｓ△ＡＢＣ＝１２（２＋２ｍ）（１＋ｍ）－１２（２＋２ｍ）·２３（１＋ｍ）＝１３（１＋ｍ）２＝４３，解得ｍ＝－３（舍去）或ｍ＝１． １－３ 设动点Ｐ（ｘ，ｙ）在区域Ω：ｘ≥０，ｙ≥ｘ，ｘ＋ｙ≤４{上，过点Ｐ任作直线ｌ，设直线ｌ与区域Ω的公共部分为线段ＡＢ，则以ＡＢ为直径的圆的面积的最大值为 ．１－３答案 ４π解析 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以ＡＢ为直径的圆的面积最大，最大值为π×４２()２＝４π．二、目标函数最值（范围）问题的求解方法 １．求线性目标函数的最值的步骤（１）作图———画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；（２）平移———将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位置；（３）求值———解方程组求出对应点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．２．常见的目标函数（１）截距型：形如ｚ＝ａｘ＋ｂｙ，可以转化为ｙ＝－ａｂｘ＋ｚｂ，利用直线在ｙ轴上的截距大小确定目标函数的最值；（２）点到点的距离型：形如ｚ＝（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２，表示区域内的动点（ｘ，ｙ）与定点（ａ，ｂ）的距离的平方；（３）斜率型：形如ｚ＝ｙ－ｂｘ－ａ，表示区域内的动点（ｘ，ｙ）与定点（ａ，ｂ）连线的斜率；（４）点到直线的距离型：形如ｚ＝｜Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ｜，表示区域内的动点（ｘ，ｙ）到直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的距离的Ａ２＋Ｂ２倍．若ｘ，ｙ满足约束条件ｘ＋ｙ≥１，ｘ－ｙ≥－１，２ｘ－ｙ≤２．{（１）求目标函数ｚ＝１２ｘ－ｙ＋１２的最值；（２）若目标函数ｚ＝ａｘ＋２ｙ仅在点（１，０）处取得最小值，求ａ的取值范围．解析 （１）作出可行域如图中阴影部分，可求得Ａ（３，４），第七章 不等式６７ Ｂ（０，１），Ｃ（１，０）．由图可知当目标函数线经过Ａ（３，４）时ｚ取最小值－２，经过Ｃ（１，０）时ｚ取最大值１．所以ｚ的最大值为１，最小值为－２．（２）由图可知－１＜－ａ２＜２，解得－４＜ａ＜２．故所求ａ的取值范围为（－４，２）． ２－１ 已知实数ｘ，ｙ满足２ｘ－ｙ－６≥０，ｙ≥１２ｘ－３，ｘ＋４ｙ≤１２，ìîíïïïï则ｚ＝ｙ－３ｘ－２的取值范围为 ．２－１答案 －∞，－１３(]解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，ｚ＝ｙ－３ｘ－２表示点Ｄ（２，３）与可行域内的点（ｘ，ｙ）之间连线的斜率．易得Ｂ（８，１），Ｃ（２，－２），因点Ｄ（２，３）与Ｂ（８，１）连线的斜率为－１３，Ｃ的坐标为（２，－２），故由图知ｚ＝ｙ－３ｘ－２的取值范围为－∞，－１３(]． ２－２ （２０１８泰州中学二模，９）设不等式组２ｘ－ｙ－２≤０，ｘ＋ｙ－１≥０，ｘ－ｙ＋１≥０{表示的平面区域为Ｄ，Ｐ（ｘ，ｙ）是区域Ｄ上任意一点，则｜ｘ－２｜－｜２ｙ｜的最小值是 ．２－２答案 －７解析 作出不等式组表示的平面区域如图，设ｚ＝｜ｘ－２｜－｜２ｙ｜，由图知ｙ≥０，则ｚ＝｜ｘ－２｜－２ｙ，即ｙ＝１２｜ｘ－２｜－１２ｚ，作出ｙ＝１２｜ｘ－２｜的图象，平移ｙ＝１２｜ｘ－２｜的图象，由图知当ｙ＝１２｜ｘ－２｜－１２ｚ的图象经过点Ａ时，－１２ｚ最大，由２ｘ－ｙ－２＝０，ｘ－ｙ＋１＝０{得ｘ＝３，ｙ＝４，{∴Ａ（３，４），故ｚｍｉｎ＝｜３－２｜－２×４＝１－８＝－７． 本题主要考查线性规划的应用，正确作出可行域是解决本题的关键． ２－３ 已知ｘ，ｙ满足２ｘ－ｙ≤０，ｘ－３ｙ＋５≥０，ｘ≥０，ｙ≥０，ìîíïïïï则ｚ＝８－ｘ·１２()ｙ的最小值为 ．２－３答案 １３２解析 根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示．而ｚ＝８－ｘ·１２()ｙ＝２－３ｘ－ｙ，设ｚ′＝－３ｘ－ｙ，欲使ｚ最小，只需使ｚ′＝－３ｘ－ｙ最小即可．由图知当ｘ＝１，ｙ＝２时，ｚ′＝－３ｘ－ｙ的值最小，且最小值为－３×１－２＝－５，此时２－３ｘ－ｙ＝１３２． ２－４ 变量ｘ，ｙ满足约束条件ｙ≥－１，ｘ－ｙ≥２，３ｘ＋ｙ≤１４，{若使ｚ＝ａｘ＋ｙ取得最大值的最优解有无穷多个，则实数ａ的取值集合是 ．２－４答案 ｛－１，３｝解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．易知直线ｚ＝ａｘ＋ｙ与ｘ－ｙ＝２或３ｘ＋ｙ＝１４平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－ａ＝１或－ａ＝－３，∴ａ＝－１或ａ＝３．则实数ａ的取值集合是｛－１，３｝． ２－５ 已知实数ｘ，ｙ满足３ｘ＋２ｙ－１２≤０，ｘ≥２，ｙ≥３２，ìîíïïïï则ｘｙｘ２＋ｙ２的取值范围是 ．２－５答案 ２５，１２[]６８ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）解析 作出不等式组表示的平面区域，如图：由图可知ｙｘ的最小值为ｋＯＢ，最大值为ｋＯＡ，由ｘ＝２，３ｘ＋２ｙ－１２＝０，{可得Ａ（２，３），由ｙ＝３２，３ｘ＋２ｙ－１２＝０，{可得Ｂ３，３２()，∴ｋＯＢ＝１２，ｋＯＡ＝３２．ｘｙｘ２＋ｙ２＝１ｘｙ＋ｙｘ，令ｔ＝ｙｘ，则ｔ∈１２，３２[]，令ｇ（ｔ）＝１ｔ＋ｔ，则ｇ（ｔ）＝１ｔ＋ｔ≥２，等号成立的条件是ｔ＝１，１∈１２，３２[]，当ｔ＝１２时，ｇ１２()＝５２，当ｔ＝３２时，ｇ３２()＝１３６，∴ｇ（ｔ）∈２，５２[]．∴ｘｙｘ２＋ｙ２＝１ｘｙ＋ｙｘ＝１ｇ（ｔ）∈２５，１２[]． 线性规划问题多与函数、平面向量、数列、概率、解析几何等问题综合在一起考查，使数学问题的解答变得更加新颖别致．常见的命题角度有：（１）求线性目标函数的最值（范围）；（２）求非线性目标函数的最值（范围）；（３）线性规划中的参数问题．