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第十二章立体几何真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养２０１９江苏，９５分填空题易空间几何体的体积求长方体、三棱锥体积公式法数学运算直观想象２０１９江苏，１６１４分解答题易①直线与平面平行②直线与平面垂直①线面平行的判定②利用线面垂直证线线垂直直接法直观想象逻辑推理２０１８江苏，１０５分填空题易空间几何体的体积求组合体的体积直接法直观想象数学运算２０１８江苏，１５１４分解答题易①直线、平面平行的判定与性质②直线、平面垂直的判定与性质①线面平行的判定②面面垂直的判定直接法直观想象逻辑推理２０１７江苏，６５分填空题易空间几何体的体积求圆柱和球的体积直接法直观想象数学运算２０１７江苏，１５１４分解答题易①直线、平面平行的判定与性质②直线、平面垂直的判定与性质①线面平行的判定②线面垂直的判定和性质直接法直观想象逻辑推理２０１６江苏，１６１４分解答题易①直线、平面平行的判定与性质②直线、平面垂直的判定与性质①线面平行的判定②线面垂直、面面垂直的判定直接法直观想象逻辑推理２０１５江苏，９５分填空题易空间几何体的体积求圆柱、圆锥的体积直接法数学运算２０１５江苏，１６１４分解答题易①直线、平面平行的判定与性质②直线、平面垂直的判定与性质①线面平行的判定②线面垂直的判定和性质直接法直观想象逻辑推理命题规律与趋势０１考查内容几何体的表面积和体积，直线与平面、平面与平面平行的判定和性质．直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质．０２考频赋分每年必考，分值为１９分．０３关联考点解三角形、面积和体积、直线和平面平行、垂直的判定和性质、立体几何在生活中的应用．０４解题方法公式法、割补法、排除法、综合法．０５核心素养直观想象、逻辑推理、数学运算．０６备考建议１．直线和平面平行、垂直的判定、面积和体积的计算，考查的方法也都是通性通法，并且试题为中等难度，只要注意基本知识、基本方法，注重空间想象能力和逻辑推理能力的培养，增强数学运算的能力，一定会有很大的收获．２．要特别重视解题规范，平时需加强训练．９０ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）§１２．１ 空间几何体的表面积和体积对应学生用书起始页码Ｐ１５１考点一空间几何体的结构特征高频考点 １．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台结构特征①有两个面平行且全等，其余各个面都是四边形；②每相邻两个四边形的公共边都互相平行有一个面（底面）是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形有两个面平行且相似，其余各面都是梯形侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形 （１）围成多面体的各个面都是平的，没有曲面．（２）多面体是一个“封闭”的几何体．（３）特殊的棱柱和棱锥：①侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．②底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．③特殊的四棱柱：四棱柱底面为平行四边形→平行六面体侧棱垂直于底面→直平行六面体底面为矩形→长方体底面为正方形→正四棱柱侧棱与底面边长相等→正方体（４）用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥，底面和截面之间的部分是棱台． ２．旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球母线平行、相等且垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形大圆侧面展开图矩形扇形扇环 （１）处理旋转体的有关问题一般要作出轴截面．（２）球的截面性质：①球心和不过球心的截面圆的圆心的连线垂直于截面；②球心到不过球心的截面的距离ｄ与球的半径Ｒ以及截面圆的半径ｒ的关系为ｒ＝Ｒ２－ｄ２．（３）处理几何体表面上两点间的最短距离问题时常采用“空间问题平面化”的数学思想解决．考点二空间几何体的表面积和体积高频考点几何体侧面积表面积体积圆柱Ｓ侧＝２πｒｌＳ表＝２πｒ（ｒ＋ｌ）Ｖ＝Ｓ底ｈ＝πｒ２ｈ圆锥Ｓ侧＝πｒｌＳ表＝πｒ（ｒ＋ｌ）Ｖ＝１３Ｓ底ｈ＝１３πｒ２ｈ圆台Ｓ侧＝π（ｒ＋ｒ′）ｌＳ表＝π（ｒ２＋ｒ′２＋ｒｌ＋ｒ′ｌ）Ｖ＝１３（Ｓ上＋Ｓ下＋Ｓ上Ｓ下）ｈ＝１３π（ｒ２＋ｒ′２＋ｒｒ′）ｈ直棱柱Ｓ侧＝Ｃｈ（Ｃ为底面周长）正棱锥Ｓ侧＝１２Ｃｈ′（ｈ′指斜高）正棱台Ｓ侧＝１２（Ｃ＋Ｃ′）ｈ′（ｈ′指斜高）Ｓ表＝Ｓ侧＋Ｓ上＋Ｓ下（棱锥的Ｓ上＝０）Ｖ＝Ｓ底ｈＶ＝１３Ｓ底ｈＶ＝１３（Ｓ上＋Ｓ下＋Ｓ上Ｓ下）ｈ球Ｓ＝４πＲ２Ｖ＝４３πＲ３ 要注意领会和掌握两种数学思想方法：割补法和等积法．（１）割补法：割补法是割法和补法的总称．补法是把不规则的（不熟悉的或复杂的）几何体延伸或补成规则的（熟悉的或简单的）几何体；割法是把复杂的（不规则的）几何体切割成简单的（规则的）几何体．割与补是对立统一的．（２）等积法：等积法包括等面积法和等体积法．利用等积法的前提是平面图形（或立体图形）的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以求解几何图形的高，特别是在求三角形的高（点到线的距离）或三棱锥的高（点到面的距离）时，通常采用此法解决问题．第十二章 立体几何９１ 对应学生用书起始页码Ｐ１５２一、空间几何体表面积与体积的求解方法 １．求空间几何体表面积的方法（１）多面体的表面积是各个面的面积之和；旋转体的表面积代入公式直接求解．（２）组合体的表面积注意重合部分的处理．２．求空间几何体体积的方法（１）求简单几何体的体积，若所给的几何体为柱体、锥体、台体或球，则可以直接利用公式求解．（２）求组合体的体积，若所给的几何体是组合体，则不能直接利用公式求解，常用转换法、分割法、补形法等进行求解．（３）三棱锥的体积常用等体积法求解．（１）（２０１９如皋期末，９）如图，在正三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＡ１＝３，ＡＢ＝２，点Ｄ是棱ＣＣ１的中点，点Ｅ在棱ＡＡ１上，则三棱锥Ｂ１－ＥＢＤ的体积为 ．（２）（２０１９苏北三市（徐州、连云港、淮安）期末，８）已知正四棱锥的底面边长为２３，高为１，则该正四棱锥的侧面积为 ．（３）已知Ｅ、Ｆ分别是棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱ＡＡ１，ＣＣ１的中点，则四棱锥Ｃ１－Ｂ１ＥＤＦ的体积为 ．解析 （１）取ＢＣ的中点Ｈ，连接ＡＨ．在正三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，△ＡＢＣ为正三角形，所以ＡＨ⊥ＢＣ，又ＢＢ１⊥平面ＡＢＣ，ＡＨ⊂平面ＡＢＣ，所以ＢＢ１⊥ＡＨ，而ＢＢ１∩ＢＣ＝Ｂ，所以ＡＨ⊥平面ＢＣＣ１Ｂ１，即ＡＨ⊥平面ＤＢＢ１，所以点Ａ到平面ＤＢＢ１的距离就是ＡＨ长．在正三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝２，所以ＡＨ＝３，又ＡＡ１＝３，点Ｄ是ＣＣ１的中点，所以Ｓ△ＢＢ１Ｄ＝１２Ｓ矩形ＢＢ１Ｃ１Ｃ＝１２×２×３＝３，所以ＶＢ１－ＥＢＤ＝ＶＥ－ＢＤＢ１＝１３Ｓ△ＢＢ１Ｄ·ＡＨ＝１３×３×３＝３．（２）正四棱锥的侧面三角形的高为ｈ＝１２＋（３）２＝２，所以侧面积为Ｓ＝４×１２×２３×２＝８３．（３）解法一：如图所示，连接Ａ１Ｃ１，Ｂ１Ｄ１交于点Ｏ１，连接Ｂ１Ｄ，ＥＦ，过Ｏ１作Ｏ１Ｈ⊥Ｂ１Ｄ于Ｈ．因为ＥＦ∥Ａ１Ｃ１，且Ａ１Ｃ１⊄平面Ｂ１ＥＤＦ，ＥＦ⊂平面Ｂ１ＥＤＦ，所以Ａ１Ｃ１∥平面Ｂ１ＥＤＦ．所以Ｃ１到平面Ｂ１ＥＤＦ的距离就是Ａ１Ｃ１到平面Ｂ１ＥＤＦ的距离．易知平面Ｂ１Ｄ１Ｄ⊥平面Ｂ１ＥＤＦ，又平面Ｂ１Ｄ１Ｄ∩平面Ｂ１ＥＤＦ＝Ｂ１Ｄ，所以Ｏ１Ｈ⊥平面Ｂ１ＥＤＦ，所以Ｏ１Ｈ的长等于四棱锥Ｃ１－Ｂ１ＥＤＦ的高．易得△Ｂ１Ｏ１Ｈ∽△Ｂ１ＤＤ１，所以Ｏ１Ｈ＝Ｂ１Ｏ１·ＤＤ１Ｂ１Ｄ＝６６ａ．所以ＶＣ１－Ｂ１ＥＤＦ＝１３Ｓ四边形Ｂ１ＥＤＦ·Ｏ１Ｈ＝１３×１２·ＥＦ·Ｂ１Ｄ·Ｏ１Ｈ＝１３×１２·２ａ·３ａ·６６ａ＝１６ａ３．解法二：连接ＥＦ，Ｂ１Ｄ．设Ｂ１到平面Ｃ１ＥＦ的距离为ｈ１，Ｄ到平面Ｃ１ＥＦ的距离为ｈ２，则ｈ１＋ｈ２＝Ｂ１Ｄ１＝２ａ．由题意得，ＶＣ１－Ｂ１ＥＤＦ＝ＶＢ１－Ｃ１ＥＦ＋ＶＤ－Ｃ１ＥＦ＝１３·Ｓ△Ｃ１ＥＦ·（ｈ１＋ｈ２）＝１６ａ３．答案 （１）３ （２）８３ （３）１６ａ３ １－１ （２０１９宿迁期末，６）设圆锥的轴截面是一个边长为２ｃｍ的正三角形，则该圆锥的体积为 ｃｍ３．１－１答案 ３３π解析 根据题意，得圆锥的轴截面是边长为２ｃｍ的正三角形，所以圆锥的底面半径为１ｃｍ，圆锥的高为３ｃｍ，故圆锥的体积为１３π·１２·３＝３３πｃｍ３． １－２ （２０１８无锡期末，６）在直三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，已知ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，ＡＡ１＝５，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．１－２答案 ５０π解析 解法一：由ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，可知ＡＣ＝５，设Ｄ为线段ＡＣ的中点，球的球心为Ｏ，半径为Ｒ，连接ＯＤ，ＯＣ，则Ｒ２＝ＯＣ２＝ＣＤ２＋ＯＤ２＝１２ＡＣ()２＋１２ＡＡ１()２＝５２()２＋５２()２＝５０４，由球的表面积公式，得Ｓ＝４πＲ２＝４×π×５０４＝５０π．解法二：可以把直三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１补成长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，在长方体中，球心在长方体体对角线的交点处，则２Ｒ＝ＢＡ２＋ＢＣ２＋ＡＡ２１＝５０（Ｒ为球的半径），所以球的表面积为４πＲ２＝５０π． １－３ （２０１８南通调研，１１）如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为４ｃｍ，圆柱的底面面积为９３ｃｍ２．若将该螺帽熔化后铸成一个高为６ｃｍ的正三棱柱零件，则该正三棱柱零件的底面边长为 ｃｍ．（不计损耗）１－３答案 ２１０解析 ∵Ｖ正六棱柱＝２４３×４＝９６３ｃｍ３，Ｖ圆柱＝９３×４＝３６３ｃｍ３，∴Ｖ正三棱柱＝９６３－３６３＝６０３ｃｍ３．设正三棱柱零件的底面边长为ａｃｍ，则１２·ａ·３２ａ·６＝６０３，解得ａ＝２１０．故正三棱柱零件的底面边长为２１０ｃｍ．９２ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）二、与球有关的切、接问题的求解方法 与球有关的组合体问题常涉及内切和外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体时，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体时，正方体的各个顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与其他旋转体组合时，通常作它们的轴截面解题；球与多面体组合时，通常过多面体的一条侧棱和球心及“切点”或“接点”作截面图进行解题．（１）如图所示，平面四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ＝ＣＤ＝１，ＢＤ＝２，ＢＤ⊥ＣＤ，将其沿对角线ＢＤ折成四面体ＡＢＣＤ，使平面ＡＢＤ⊥平面ＢＣＤ，若四面体ＡＢＣＤ的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 ．（２）（２０１８苏州调研，９）鲁班锁是中国传统的益智玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经９０°榫卯起来．若正四棱柱的高为５，底面正方形的边长为１，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为 ．（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）解析 （１）如图，取ＢＤ的中点Ｅ，ＢＣ的中点Ｏ，连接ＡＥ，ＯＤ，ＥＯ，ＡＯ．因为ＡＢ＝ＡＤ，所以ＡＥ⊥ＢＤ．由于平面ＡＢＤ⊥平面ＢＣＤ，平面ＡＢＤ∩平面ＢＣＤ＝ＢＤ，所以ＡＥ⊥平面ＢＣＤ．因为ＡＢ＝ＡＤ＝ＣＤ＝１，ＢＤ＝２，所以ＡＥ＝２２，ＥＯ＝１２．所以ＯＡ＝３２．在Ｒｔ△ＢＣＤ中，由勾股定理得ＢＣ＝３，在Ｒｔ△ＢＤＣ中，ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝１２ＢＣ＝３２，所以四面体ＡＢＣＤ的外接球的球心为Ｏ，半径为３２．所以该球的体积Ｖ＝４３π３２æèçöø÷３＝３π２．（２）该球形容器最小时，两个正四棱柱组成的四棱柱内接于球，此