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第十二章 立体几何９３ §１２．２ 直线、平面平行的判定与性质对应学生用书起始页码Ｐ１５７考点直线、平面平行的判定与性质高频考点 １．直线与平面平行的判定和性质类别文字语言图形语言符号语言判定直线与平面平行的定义一条直线与平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行ｌ∩α＝⌀⇒ｌ∥α直线与平面平行的判定定理如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行⇒线面平行”）ｌ∥ａｌ⊄αａ⊂α}⇒ｌ∥α性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”）ａ∥αａ⊂βα∩β＝ｂ}⇒ａ∥ｂ １．在利用线面平行的判定定理时，一定要强调直线不在平面内，否则容易出现错误；２．线面平行的判定定理和性质定理使用的区别：如果结论中有ａ∥α，则要用判定定理，在α内找与ａ平行的直线；若条件中有ａ∥α，则要用性质定理，找（或作）过ａ且与α相交的平面． ２．平面与平面平行的判定与性质类别文字语言图形语言符号语言判定定义如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行α∩β＝⌀⇒α∥β判定定理１如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”）ａ⊂α，ｂ⊂α，ａ∩ｂ＝Ｐ，ａ∥β，ｂ∥β⇒α∥β判定定理２如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行ｌ⊥αｌ⊥β}⇒α∥β判定定理３平行于同一个平面的两个平面平行α∥ββ∥γ}⇒α∥γ续表类别文字语言图形语言符号语言性质性质定理１如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面α∥β且ａ⊂α⇒ａ∥β性质定理２如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简记为“面面平行⇒线线平行”）α∥β且γ∩α＝ａ且γ∩β＝ｂ⇒ａ∥ｂ性质定理３如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线α∥β且ｌ⊥α⇒ｌ⊥β １．与平面平行有关的几个常用结论（１）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等；（２）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；（３）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例；（４）同一条直线与两个平行平面所成的角相等．２．平行问题的转化方向图利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．３．应用判定定理和性质定理的注意事项在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．９４ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）对应学生用书起始页码Ｐ１５８一、判定直线与平面平行的方法 判定直线与平面平行的三种方法：（１）定义法：一般用反证法；（２）判定定理法：关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时要注意用符号语言叙述，证明过程要规范、严谨；（３）用面面平行的性质定理进行证明，即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面．（２０１９苏州１月月考，１５）如图，在直三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，已知ＡＢ⊥ＢＣ，Ｅ，Ｆ分别是Ａ１Ｃ１，ＢＣ的中点．（１）求证：平面ＡＢＥ⊥平面Ｂ１ＢＣＣ１；（２）求证：Ｃ１Ｆ∥平面ＡＢＥ．证明 （１）在直三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，ＢＢ１⊥底面ＡＢＣ．因为ＡＢ⊂平面ＡＢＣ，所以ＢＢ１⊥ＡＢ，（２分）又因为ＡＢ⊥ＢＣ，ＢＢ１∩ＢＣ＝Ｂ，ＢＢ１，ＢＣ⊂平面Ｂ１ＢＣＣ１，所以ＡＢ⊥平面Ｂ１ＢＣＣ１．（４分）又ＡＢ⊂平面ＡＢＥ，所以平面ＡＢＥ⊥平面Ｂ１ＢＣＣ１．（６分）（２）取ＡＢ的中点Ｇ，连接ＥＧ，ＦＧ．因为Ｅ，Ｆ分别是Ａ１Ｃ１，ＢＣ的中点，所以ＦＧ∥ＡＣ，且ＦＧ＝１２ＡＣ．（８分）在直三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，ＡＣ∥Ａ１Ｃ１，且ＡＣ＝Ａ１Ｃ１，所以ＦＧ∥ＥＣ１，且ＦＧ＝ＥＣ１．所以四边形ＦＧＥＣ１为平行四边形．（１１分）所以Ｃ１Ｆ∥ＥＧ．又因为ＥＧ⊂平面ＡＢＥ，Ｃ１Ｆ⊄平面ＡＢＥ，所以Ｃ１Ｆ∥平面ＡＢＥ．（１４分） １－１ 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｏ，Ｅ分别为Ｂ１Ｄ，ＡＢ的中点．求证：ＯＥ∥平面ＢＣＣ１Ｂ１．１－１证明 证法一：连接ＢＣ１，Ｂ１Ｃ，如图．设ＢＣ１∩Ｂ１Ｃ＝Ｆ，连接ＯＦ，因为Ｏ，Ｆ分别是Ｂ１Ｄ与Ｂ１Ｃ的中点，所以ＯＦ∥ＤＣ，且ＯＦ＝１２ＤＣ，又Ｅ为ＡＢ的中点，所以ＥＢ∥ＤＣ，且ＥＢ＝１２ＤＣ，从而ＯＦ∥ＥＢ，ＯＦ＝ＥＢ，所以四边形ＯＥＢＦ是平行四边形，所以ＯＥ∥ＢＦ．又ＯＥ⊄平面ＢＣＣ１Ｂ１，ＢＦ⊂平面ＢＣＣ１Ｂ１，所以ＯＥ∥平面ＢＣＣ１Ｂ１．证法二：连接ＡＣ１，ＢＣ１，则ＡＣ１经过Ｏ点，在△ＡＢＣ１中，Ｏ、Ｅ分别为ＡＣ１、ＡＢ的中点，则ＯＥ为△ＡＢＣ１的中位线，所以ＯＥ∥ＢＣ１，又ＯＥ⊄平面ＢＣＣ１Ｂ１，ＢＣ１⊂平面ＢＣＣ１Ｂ１，所以ＯＥ∥平面ＢＣＣ１Ｂ１．二、判定平面与平面平行的方法 １．判定平面与平面平行的５种方法（１）面面平行的定义，即证两个平面没有公共点（不常用）；（２）面面平行的判定定理（主要方法）；（３）利用垂直于同一条直线的两个平面平行（客观题可用）； （４）利用平面平行的传递性，如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行（客观题可用）；（５）利用向量法，通过证明两个平面的法向量平行证得两平面平行（理科适用，在附加题中出现）．第十二章 立体几何９５ ２．空间平行关系之间的转化如图，在三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是ＡＢ，ＡＣ，Ａ１Ｂ１，Ａ１Ｃ１的中点．求证：（１）Ｂ，Ｃ，Ｈ，Ｇ四点共面；（２）平面ＥＦＡ１∥平面ＢＣＨＧ．证明 （１）∵Ｇ，Ｈ分别为Ａ１Ｂ１，Ａ１Ｃ１的中点，∴ＧＨ是△Ａ１Ｂ１Ｃ１的中位线，∴ＧＨ∥Ｂ１Ｃ１．又∵在三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ，∴ＧＨ∥ＢＣ，∴Ｂ，Ｃ，Ｈ，Ｇ四点共面．（２）∵Ｅ，Ｆ分别为ＡＢ，ＡＣ的中点，∴ＥＦ∥ＢＣ，∵ＥＦ⊄平面ＢＣＨＧ，ＢＣ⊂平面ＢＣＨＧ，∴ＥＦ∥平面ＢＣＨＧ．在三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，Ａ１Ｂ１∥ＡＢ且Ａ１Ｂ１＝ＡＢ，又∵Ｇ，Ｅ分别为Ａ１Ｂ１，ＡＢ的中点，∴Ａ１Ｇ∥ＥＢ且Ａ１Ｇ＝ＥＢ，∴四边形Ａ１ＥＢＧ是平行四边形，∴Ａ１Ｅ∥ＧＢ．∵Ａ１Ｅ⊄平面ＢＣＨＧ，ＧＢ⊂平面ＢＣＨＧ，∴Ａ１Ｅ∥平面ＢＣＨＧ．∵Ａ１Ｅ∩ＥＦ＝Ｅ，Ａ１Ｅ，ＥＦ⊂平面Ａ１ＥＦ，∴平面ＥＦＡ１∥平面ＢＣＨＧ． ２－１ 在本例条件下，若Ｄ１，Ｄ分别为Ｂ１Ｃ１，ＢＣ的中点，求证：平面Ａ１ＢＤ１∥平面ＡＣ１Ｄ．２－１证明 如图所示，连接Ａ１Ｃ，交ＡＣ１于点Ｍ，连接ＤＭ．∵四边形Ａ１ＡＣＣ１是平行四边形，∴Ｍ是Ａ１Ｃ的中点，∵Ｄ为ＢＣ的中点，∴Ａ１Ｂ∥ＤＭ．∵ＤＭ⊄平面Ａ１ＢＤ１，Ａ１Ｂ⊂平面Ａ１ＢＤ１，∴ＤＭ∥平面Ａ１ＢＤ１．由三棱柱的性质知Ｄ１Ｃ１∥ＢＤ，Ｂ１Ｃ１＝ＢＣ，∵Ｄ１，Ｄ分别为Ｂ１Ｃ１，ＢＣ的中点，∴Ｄ１Ｃ１＝ＢＤ，∴四边形ＢＤＣ１Ｄ１为平行四边形，∴ＤＣ１∥ＢＤ１．又ＤＣ１⊄平面Ａ１ＢＤ１，ＢＤ１⊂平面Ａ１ＢＤ１，∴ＤＣ１∥平面Ａ１ＢＤ１，又∵ＤＣ１∩ＤＭ＝Ｄ，ＤＣ１⊂平面ＡＣ１Ｄ，ＤＭ⊂平面ＡＣ１Ｄ，∴平面Ａ１ＢＤ１∥平面ＡＣ１Ｄ． ２－２ 在如图所示的几何体中，Ｄ是ＡＣ的中点，ＥＦ∥ＤＢ，Ｇ，Ｈ分别是ＥＣ和ＦＢ的中点．求证：ＧＨ∥平面ＡＢＣ．２－２证明 取ＦＣ的中点Ｉ，连接ＧＩ，ＨＩ，则有ＧＩ∥ＥＦ，ＨＩ∥ＢＣ．因为ＥＦ∥ＤＢ，所以ＧＩ∥ＢＤ，又因为ＧＩ∩ＨＩ＝Ｉ，ＢＤ∩ＢＣ＝Ｂ，ＧＩ，ＨＩ⊂平面ＧＨＩ，ＢＤ，ＢＣ⊂平面ＡＢＣ，所以平面ＧＨＩ∥平面ＡＢＣ．因为ＧＨ⊂平面ＧＨＩ，所以ＧＨ∥平面ＡＢＣ．