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９６ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）§１２．３ 直线、平面垂直的判定与性质对应学生用书起始页码Ｐ１６５考点一线面垂直的判定与性质高频考点 １．直线和平面垂直的定义：直线ｌ与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线ｌ与平面α互相垂直．２．直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面ａ，ｂ⊂αａ∩ｂ＝Ｏｌ⊥ａｌ⊥ｂüþýïïïï⇒ｌ⊥α性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行ａ⊥αｂ⊥α}⇒ａ∥ｂ ３．直线与平面所成的角（１）直线与平面所成的角的取值范围是０，π２[]．（２）求斜线与平面所成的角的关键是找到斜线在平面内的射影，斜线与其射影所成的锐角即为斜线与平面所成的角． （１）最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角．（２）三余弦公式：ｃｏｓθ＝ｃｏｓθ１·ｃｏｓθ２（如图所示，其中θ１是斜线ＯＡ与平面α所成的角，θ２是斜线ＯＡ的射影ＡＢ与平面内的直线ＡＣ的夹角，θ是斜线ＯＡ与平面内的直线ＡＣ的夹角）．（３）点Ｃ是∠ＡＰＢ所在平面外的一点，若∠ＣＰＡ＝∠ＣＰＢ≠９０°，则斜线ＣＰ在平面ＡＰＢ内的射影落在∠ＡＰＢ的平分线上．考点二面面垂直的判定与性质高频考点 １．两平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直．２．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直ｌ⊂βｌ⊥α}⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面α⊥βｌ⊂βα∩β＝ａｌ⊥ａüþýïïïï⇒ｌ⊥α ３．二面角（１）二面角与二面角的平面角的区别和联系：二面角是一个立体图形，我们常用二面角的平面角来刻画二面角的大小，二面角的平面角是一个平面图形，其大小是多少度，就说该二面角是多少度．（２）二面角的取值范围：［０，π］．（３）求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，要紧扣它的三个条件，即这个角的顶点在棱上，角的两边分别在两个半平面内，这两边都与棱垂直，只有满足这三个条件，才能称该角为二面角的平面角，否则就不是二面角的平面角．４．垂直问题的转化方向图线线垂直线面垂直的判定定理线面垂直的性质定理线面垂直面面垂直的判定定理面面垂直的性质定理面面垂直在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．第十二章 立体几何９７ 对应学生用书起始页码Ｐ１６６一、判定直线与平面垂直的方法 证明线面垂直的４种方法（１）线面垂直的判定定理：ｌ⊥ａ，ｌ⊥ｂ，ａ⊂α，ｂ⊂α，ａ∩ｂ＝Ｐ⇒ｌ⊥α．（２）面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝ｌ，ａ⊂α，ａ⊥ｌ⇒ａ⊥β．（３）①ａ∥ｂ，ｂ⊥α⇒ａ⊥α，②α∥β，ａ⊥β⇒ａ⊥α．（４）α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝ｌ⇒ｌ⊥γ．（客观题可用）如图所示，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，ＡＢ∥ＣＤ，ＰＤ＝ＡＤ，Ｅ是ＰＢ的中点，Ｆ是ＤＣ上的点，且ＤＦ＝１２ＡＢ，ＰＨ为△ＰＡＤ的边ＡＤ上的高．求证：（１）ＰＨ⊥平面ＡＢＣＤ；（２）ＥＦ⊥平面ＰＡＢ．证明 （１）因为ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，ＰＨ⊂平面ＰＡＤ，所以ＰＨ⊥ＡＢ．因为ＰＨ为△ＰＡＤ的边ＡＤ上的高，所以ＰＨ⊥ＡＤ．因为ＡＢ∩ＡＤ＝Ａ，ＡＢ⊂平面ＡＢＣＤ，ＡＤ⊂平面ＡＢＣＤ，所以ＰＨ⊥平面ＡＢＣＤ．（２）如图，取ＰＡ的中点Ｍ，连接ＭＤ，ＭＥ．因为Ｅ是ＰＢ的中点，所以ＭＥ∥ＡＢ且ＭＥ＝１２ＡＢ．又因为ＤＦ∥ＡＢ且ＤＦ＝１２ＡＢ，所以ＭＥ∥ＤＦ且ＭＥ＝ＤＦ，所以四边形ＭＤＦＥ是平行四边形，所以ＥＦ∥ＭＤ．因为ＰＤ＝ＡＤ，所以ＭＤ⊥ＰＡ．因为ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，ＭＤ⊂平面ＰＡＤ，所以ＭＤ⊥ＡＢ．因为ＰＡ∩ＡＢ＝Ａ，所以ＭＤ⊥平面ＰＡＢ，所以ＥＦ⊥平面ＰＡＢ． １－１ 已知Ｓ是Ｒｔ△ＡＢＣ所在平面外一点，且ＳＡ＝ＳＢ＝ＳＣ，Ｄ为斜边ＡＣ的中点．（１）求证：ＳＤ⊥平面ＡＢＣ；（２）若ＡＢ＝ＢＣ，求证：ＢＤ⊥平面ＳＡＣ．１－１证明 （１）如图所示，取ＡＢ的中点Ｅ，连接ＳＥ，ＤＥ，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，Ｄ、Ｅ分别为ＡＣ、ＡＢ的中点，∴ＤＥ∥ＢＣ，∴ＤＥ⊥ＡＢ，∵ＳＡ＝ＳＢ，∴ＳＥ⊥ＡＢ．∵ＳＥ∩ＤＥ＝Ｅ，∴ＡＢ⊥平面ＳＤＥ．又∵ＳＤ⊂平面ＳＤＥ，∴ＡＢ⊥ＳＤ．在△ＳＡＣ中，ＳＡ＝ＳＣ，Ｄ为ＡＣ的中点，∴ＳＤ⊥ＡＣ．又ＡＣ∩ＡＢ＝Ａ，∴ＳＤ⊥平面ＡＢＣ．（２）由于ＡＢ＝ＢＣ，所以ＢＤ⊥ＡＣ，由（１）可知，ＳＤ⊥平面ＡＢＣ，又ＢＤ⊂平面ＡＢＣ，∴ＳＤ⊥ＢＤ，又ＳＤ∩ＡＣ＝Ｄ，∴ＢＤ⊥平面ＳＡＣ． １－２ （２０１９苏州期初考试，１６）如图，已知矩形ＣＤＥＦ和直角梯形ＡＢＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，∠ＡＤＣ＝９０°，ＤＥ＝ＤＡ，Ｍ为ＡＥ的中点．（１）求证：ＡＣ∥平面ＤＭＦ；（２）求证：ＢＥ⊥ＤＭ．１－２证明 （１）连接ＣＥ，交ＤＦ于点Ｇ，连接ＭＧ．在矩形ＣＤＥＦ中，ＤＦ∩ＥＣ＝Ｇ，∴Ｇ为ＥＣ的中点，又∵Ｍ为ＡＥ的中点，∴ＭＧ为△ＥＡＣ的中位线，∴ＭＧ∥ＡＣ，∵ＡＣ⊄平面ＤＭＦ，ＭＧ⊂平面ＤＭＦ，∴ＡＣ∥平面ＤＭＦ．（２）在矩形ＣＤＥＦ中，ＣＤ⊥ＥＤ，∵∠ＡＤＣ＝９０°，∴ＣＤ⊥ＡＤ，∵ＡＢ∥ＣＤ，∴ＡＢ⊥ＥＤ，ＡＢ⊥ＡＤ．∵ＡＤ∩ＥＤ＝Ｄ，ＡＤ⊂平面ＡＤＥ，ＥＤ⊂平面ＡＤＥ，∴ＡＢ⊥平面ＡＤＥ，∵ＭＤ⊂平面ＡＤＥ，∴ＭＤ⊥ＡＢ，∵ＤＥ＝ＤＡ，Ｍ为ＡＥ的中点，∴ＭＤ⊥ＡＥ，∵ＡＢ∩ＡＥ＝Ａ，ＡＢ⊂平面ＡＢＥ，ＡＥ⊂平面ＡＢＥ，∴ＭＤ⊥平面ＡＢＥ，∵ＢＥ⊂平面ＡＢＥ，∴ＢＥ⊥ＤＭ．９８ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）二、判定平面与平面垂直的方法 证明面面垂直的常用方法（１）面面垂直的判定定理；（２）α∥β，β⊥γ⇒α⊥γ；（判断题常用）（３）两个平面构成的二面角为直角．（２０１９无锡期末，１６）在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，锐角三角形ＰＡＤ所在平面垂直平分ＰＡＢ，ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＢ⊥ＢＣ．求证：（１）ＢＣ∥平面ＰＡＤ；（２）平面ＰＡＤ⊥平面ＡＢＣＤ．证明 （１）在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＢ⊥ＢＣ，∴ＡＤ∥ＢＣ，∵ＡＤ⊂平面ＰＡＤ，ＢＣ⊄平面ＰＡＤ，∴ＢＣ∥平面ＰＡＤ．（２）作ＤＥ⊥ＰＡ于点Ｅ．∵平面ＰＡＤ⊥平面ＰＡＢ，平面ＰＡＤ∩平面ＰＡＢ＝ＰＡ，ＤＥ⊂平面ＰＡＤ，∴ＤＥ⊥平面ＰＡＢ，∵ＡＢ⊂平面ＰＡＢ，∴ＤＥ⊥ＡＢ．∵ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＤ∩ＤＥ＝Ｄ，∴ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，∵ＡＢ⊂平面ＡＢＣＤ，∴平面ＰＡＤ⊥平面ＡＢＣＤ． ２－１ （２０１９南京金陵中学检测，１６）如图，在三棱锥Ａ－ＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别为棱ＢＣ，ＣＤ上的点，且ＢＤ∥平面ＡＥＦ．（１）求证：ＥＦ∥平面ＡＢＤ；（２）若ＢＤ⊥ＣＤ，ＡＥ⊥平面ＢＣＤ，求证：平面ＡＥＦ⊥平面ＡＣＤ．２－１证明 （１）因为ＢＤ∥平面ＡＥＦ，且ＢＤ⊂平面ＢＣＤ，平面ＡＥＦ∩平面ＢＣＤ＝ＥＦ，所以ＢＤ∥ＥＦ．因为ＢＤ⊂平面ＡＢＤ，ＥＦ⊄平面ＡＢＤ，所以ＥＦ∥平面ＡＢＤ．（２）因为ＡＥ⊥平面ＢＣＤ，ＣＤ⊂平面ＢＣＤ，所以ＡＥ⊥ＣＤ．因为ＢＤ⊥ＣＤ，ＢＤ∥ＥＦ，所以ＣＤ⊥ＥＦ，又ＡＥ∩ＥＦ＝Ｅ，ＡＥ⊂平面ＡＥＦ，ＥＦ⊂平面ＡＥＦ，所以ＣＤ⊥平面ＡＥＦ．又ＣＤ⊂平面ＡＣＤ，所以平面ＡＥＦ⊥平面ＡＣＤ．