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第十九章 计数原理１３７ 第十九章计数原理§１９．１ 计数原理与排列组合对应学生用书起始页码Ｐ３８６考点计数原理与排列组合 １．计数原理（１）分类计数原理：如果完成一件事，有ｎ类方式，在第１类方式中有ｍ１种不同的方法，在第２类方式中有ｍ２种不同的方法，……，在第ｎ类方式中有ｍｎ种不同的方法，那么完成这件事共有Ｎ＝ｍ１＋ｍ２＋…＋ｍｎ种不同的方法．（２）分步计数原理：如果完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第１步有ｍ１种不同的方法，做第２步有ｍ２种不同的方法，……，做第ｎ步有ｍｎ种不同的方法，那么完成这件事共有Ｎ＝ｍ１·ｍ２·…·ｍｎ种不同的方法．（３）分类和分步的区别，关键是看事件能否一步完成，事件一步完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步．分类要用分类计数原理，将种数相加；分步要用分步计数原理，将种数相乘．２．排列（１）排列的定义：从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列．（２）排列数的定义：从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有排列的个数，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数，用符号Ａｍｎ表示．（３）排列数公式①当ｍ＜ｎ时，排列称为选排列，排列数为Ａｍｎ＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）…（ｎ－ｍ＋１）；②当ｍ＝ｎ时，排列称为全排列，排列数为Ａｎｎ＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）…２·１．上式右边是自然数１到ｎ的连乘积，把它叫做ｎ的阶乘，并用ｎ！表示，于是Ａｎｎ＝ｎ！．进一步规定０！＝１，于是，Ａｍｎ＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）…（ｎ－ｍ＋１）＝［ｎ（ｎ－１）…（ｎ－ｍ＋１）］［（ｎ－ｍ）（ｎ－ｍ－１）…３·２·１］（ｎ－ｍ）（ｎ－ｍ－１）…３·２·１＝ｎ！（ｎ－ｍ）！，即Ａｍｎ＝ｎ！（ｎ－ｍ）！．３．组合（１）组合的定义：从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素并成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合．（２）组合数的定义：从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有组合的个数，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组合数，用符号Ｃｍｎ表示．（３）组合数公式Ｃｍｎ＝ＡｍｎＡｍｍ＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）…（ｎ－ｍ＋１）ｍ！＝ｎ！ｍ！（ｎ－ｍ）！．规定Ｃ０ｎ＝１．（４）组合数的两个性质：①Ｃｍｎ＝Ｃｎ－ｍｎ；②Ｃｍｎ＋１＝Ｃｍｎ＋Ｃｍ－１ｎ．（５）区别排列与组合排列与组合的共同点，就是都要“从ｎ个不同元素中，任取ｍ个元素”，而不同点就是前者要“顺序”，而后者却是“并成一组”．因此，“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志．对应学生用书起始页码Ｐ３８６一、用计数原理解决问题的常用方法 １．建模法：建立数学模型，将所给的问题转化为数学问题，这是计数问题中的基本方法．２．枚举法：利用枚举法（如树状图，表格）可以使问题的分析更直观、清楚，便于发现规律，从而形成恰当的分类或分步的设计思想．３．直接法或间接法：在实施计算中，可考虑用直接法或间接法（排除法），用不同的方法，不同的思路来验证结果的正误．４．分类计数原理和分步计数原理多数情形下是结合使用的，根据问题特点，一般是先分类再分步，某些复杂情形下，也可先分步再分类．分类要“不重不漏”，分步要“连续完整”．将红、黄、绿、黑４种不同的颜色分别涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？解析 解法一：Ａ区域有４种不同的涂色方法，Ｂ区域有３种，Ｃ区域有２种，Ｄ区域有２种，但Ｅ区域的涂色依赖于Ｂ与Ｄ涂的颜色，如果Ｂ与Ｄ颜色相同有２种涂色方法，不相同，则只有１种，因此应先分类后分步．①当Ｂ与Ｄ同色时，有４×３×２×１×２＝４８（种）；②当Ｂ与Ｄ不同色时，有４×３×２×１×１＝２４（种）．１３８ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）故不同的涂色方法共有４８＋２４＝７２（种）．解法二：先涂中间Ｃ区有４种方法，剩下３种颜色涂４周４块区域，即有一种颜色涂两个相对的区域，另一相对区域也有同色或不同色３种涂法，共有４×３×２×３＝７２（种）．解法三：按用３种或用４种颜色分两类，第一类用３种，此时Ａ与Ｅ，Ｂ与Ｄ分别同色，于是涂法种数为Ａ３４＝２４（种）；第二类用４种，此时Ａ与Ｅ，Ｂ与Ｄ有且只有一组同色，涂法种数为２Ａ４４＝４８（种）．由分类计数原理知涂法总数为２４＋４８＝７２（种）． １－１ 甲、乙、丙３位志愿者安排在周一至周五的５天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有 种．１－１答案 ２０解析 安排方法可以分为三类：若甲安排在周一，则乙、丙有４×３＝１２（种）安排方法；若甲安排在周二，则乙、丙有３×２＝６（种）安排方法；若甲安排在周三，则乙、丙有２×１＝２（种）安排方法．所以不同的安排方法共有１２＋６＋２＝２０（种）． １－２ 如图所示的阴影部分由方格纸上３个小方格组成，我们称这样的图案为Ｌ型（每次旋转９０°仍为Ｌ型图案），那么在由４×５个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的Ｌ型图案的个数是 ．１－２答案 ４８解析 每四个小方格（２×２型）中有“Ｌ”型图案４个，共有２×２型小方格１２个，所以共有“Ｌ”型图案４×１２＝４８（个）． １－３ 现要安排一份５天值班表，每天有一个人值班．共有５个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不能由同一个人值班，则此值班表有 种不同的排法．１－３答案 １２８０解析 分５步进行：第一步，先排第一天，可排５人中的任一个，有５种排法；第二步，再排第二天，此时不能排第一天的人，有４种排法；第三步，第三天，此时不能排第二天的人，有４种排法；第四步，第四天，此时不能排第三天的人，有４种排法；第五步，第五天，此时不能排第四天的人，有４种排法．由分步计数原理可得不同的排法有５×４×４×４×４＝１２８０（种）． １－４ 若集合Ａ１，Ａ２满足Ａ１∪Ａ２＝Ａ，则称（Ａ１，Ａ２）为集合Ａ的一个分拆，并规定：当且仅当Ａ１＝Ａ２时，（Ａ１，Ａ２）与（Ａ２，Ａ１）为集合Ａ的同一种分拆，则集合Ａ＝｛ａ１，ａ２，ａ３｝的不同分拆种数是 ．１－４答案 ２７解析 由题意Ａ１∪Ａ２＝Ａ，对Ａ１分以下几种情况讨论：①若Ａ１＝⌀，必有Ａ２＝｛ａ１，ａ２，ａ３｝，共１种分拆；②若Ａ１＝｛ａ１｝，则Ａ２＝｛ａ２，ａ３｝或｛ａ１，ａ２，ａ３｝，共２种分拆；同理Ａ１＝｛ａ２｝，｛ａ３｝时，各有２种分拆；③若Ａ１＝｛ａ１，ａ２｝，则Ａ２＝｛ａ３｝、｛ａ１，ａ３｝、｛ａ２，ａ３｝或｛ａ１，ａ２，ａ３｝，共４种分拆；同理Ａ１＝｛ａ１，ａ３｝、｛ａ２，ａ３｝时，各有４种分拆；④若Ａ１＝｛ａ１，ａ２，ａ３｝，则Ａ２＝⌀、｛ａ１｝、｛ａ２｝、｛ａ３｝、｛ａ１，ａ２｝、｛ａ１，ａ３｝、｛ａ２，ａ３｝或｛ａ１，ａ２，ａ３｝，共８种分拆．综上，共有１＋２×３＋４×３＋８＝２７（种）不同的分拆．二、解决排列应用题的常用方法 解决排列应用问题最常用、最基本的方法是特殊位置（元素）优先法、捆绑法、插空法等等．（１）特殊位置（元素）优先法：若以位置（元素）为主，需先满足特殊位置（元素）的要求，再处理其他位置（元素）；若有两个特殊位置（元素），则以其中一个位置（元素）为主进行分类讨论，注意做到层次分明．（２）相邻问题捆绑法：对于几个元素要求相邻的排列问题，可先将这几个相邻元素“捆绑”起来，看作一个整体（元素），与其他元素排列，然后再考虑这个整体内部元素的排列．（３）不相邻问题插空法：对于几个元素不能相邻的排列问题，可以先考虑其他元素的排列，然后将这些元素安排在先前排列好的元素“空当”中，这样达到使目标元素不能相邻的目的．（４）分排问题直排处理法：若有ｎ个元素要分成ｍ排排列，可把每排首尾相接排成一排，对于每排的特殊要求，只要分段考虑特殊元素，然后对其余元素进行统一排列．（５）定序问题先排后除法：对于某些固定顺序的元素在排列时，可先不考虑顺序，对全体元素作全排列，然后再除以这些固定顺序的元素的全排列．（６）正难则反排异法：有些问题，正面考虑情况复杂，可以反面入手把不符合条件的所有情况从总体中去掉．（７）复杂问题分类分步法：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理解决或分成若干步，再由分步计数原理解决．在解题过程中，常常既要分类，也要分步，其原则一般是先分类，再分步．７位同学站成一排照相．（１）甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？（２）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（３）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？（４）甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？解析 （１）解法一（直接法）：分两种情况：①甲站在排尾，则有Ａ６６种排法；②甲不站排尾，先排甲、乙，再排其他，则有Ａ１５·Ａ１５·Ａ５５种排法．综上，共有Ａ６６＋Ａ１５·Ａ１５·Ａ５５＝３７２０（种）排法．解法二（间接法）：总的排法数减去甲站在排头的和乙站在排尾的情况，但是这就把甲站在排头且乙站在排尾的情况减了两次，故后面要加回来，即Ａ７７－Ａ６６－Ａ６６＋Ａ５５＝３７２０（种）排法．（２）采用“捆绑”法，将甲、乙看成一个整体进行排列（甲、乙之间也有排列），故有Ａ２２·Ａ６６＝１４４０（种）排法．（３）采用“插空”法，先排其他５个人，然后将甲、乙插入到由这５个人形成的６个空中，故有Ａ５５·Ａ２６＝３６００（种）排法．（４）甲站在乙的左边的排法种数等于乙站在甲的左边的排法种数，故有１２Ａ７７＝２５２０（种）排法． 现有男运动员６名，女运动员４名，其中男、女队长各１人．选派５人外出比赛．在下列情形中各有多少种选法？（１）男运动员３名，女运动员２名；（２）至少有１名女运动员；（３）队长中至少有１人参加；第十九章 计数原理１３９ （４）既要有队长，又要有女运动员．解析 （１）第一步：选３名男运动员，有Ｃ３６种选法．第二步：选２名女运动员，有Ｃ２４种选法．共有Ｃ３６·Ｃ２４＝１２０（种）选法．（２）解法一：至少有１名女运动员包括以下几种情况：１女４男，２女３男，３女２男，４女１男．由分类加法计数原理可得共有Ｃ１４Ｃ４６＋Ｃ２４Ｃ３６＋Ｃ３４Ｃ２６＋Ｃ４４Ｃ１６＝２４６（种）选法．解法二：“至少有１名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．从１０人中任选５人有Ｃ５１０种选法，其中“全是男运动员”的选法有Ｃ５６种．所以“至少有１名女运动员”的选法为Ｃ５１０－Ｃ５６＝２４６（种）．（３）解法一：可分类求解：“只有男队长”的选法有Ｃ４８种；“只有女队长”的选法有Ｃ４８种；“男、女队长都入选”的选法有Ｃ３８种；所以共有２Ｃ４８＋Ｃ３８＝１９６（种）选法．解法二：间接法：从１０人中任选５人有Ｃ５１０种选法，其中不选队长的选法有Ｃ５８种，所以“至少有１名队长”的选法有Ｃ５１０－Ｃ５８＝１９６（种）．（４）当有女队长时，其他人任意选，共有Ｃ４９种选法．不选女队长时，必选男队长，共有Ｃ４８种选法．其中不含女运动员的选法有Ｃ４５种，所以不选女队长，且有女运动员的选法共有Ｃ４８－Ｃ４５种．所以既有队长又有女运动员的选法共有Ｃ４９＋Ｃ４８－Ｃ４５＝１９１（种）． ２－１ 某天连续有７节课，其中语文、英语、物理、化学、生物５科各１节，数学２节．在排课时，要求生物课不排第１节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同的排法有 种．２－１答案 ４０８解析 数学在第（１，２）节，从除英语的４门课中选１门安排在第３节，剩下的任意排，故有Ｃ１４Ａ４４＝９６（种）；数学在第（２，３）节，从除英语、生物外的３门课中选１门安排在第１节，从除英语外剩下的３门课中再选１门安排在第４节，剩下的任意排，故有Ｃ１３Ｃ１３Ａ３３＝５４（种）