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第十三章平面解析几何初步真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养２０１９江苏，１７１４分解答题易①直线与圆的方程②直线与椭圆的位置关系直接法直观想象数学运算２０１９江苏，１８１６分解答题中直线与圆的位置关系①直线的方程、②圆的方程③直线与圆的位置关系直接法数学建模数学运算数学抽象２０１８江苏，１２５分填空题中①直线的方程②圆的方程③直线与圆的位置关系①求圆的方程②直线与圆相交直接法数学运算２０１７江苏，１３５分填空题中①圆的方程②圆与圆的位置关系①与圆有关的范围问题②圆与圆相交直接法数学运算２０１６江苏，１８１６分解答题中①直线的方程②圆的方程③直线与圆的位置关系①求直线方程、圆的方程②直线与圆、圆与圆的位置关系直接法数学运算２０１５江苏，１０５分填空题易圆的方程①求圆的方程②直线与圆相切直接法数学运算命题规律与趋势０１考查内容直线的倾斜角、斜率、直线和圆的方程、直线与圆的位置关系，弦长和切线问题等．０２命题特点将直线的斜率、直线方程、圆的方程与圆锥曲线综合考查，有关直线、圆的知识考查难度属中等．０３解题方法公式法、待定系数法、数形结合法和转化法．０４核心素养数学运算、直观想象．０５关联考点平面向量、方程、不等式、解三角形、圆锥曲线．０５命题趋势从近五年考题分析，本章主要考查圆的方程及性质．主要以填空题的形式出现，解答题中，单独考查直线与圆的试题不多，与圆锥曲线相结合的应用题型综合考查较多．０５备考建议１．“直线的方程”和“圆的方程”是高考的Ｃ级考点，考查频率高．２．要理清相关知识和基本处理方法，如点到直线的距离，直线与直线的位置关系，直线与圆的位置关系（相切问题，弦长问题）．３．要在解题中注意数形结合，特别是直线与圆的几何性质的应用，同时体会代数与几何相互转化的方法等．１００ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）§１３．１ 直线与圆的方程对应学生用书起始页码Ｐ１７２考点一直线方程高频考点 １．直线的倾斜角和斜率的区别和联系直线ｌ的斜率直线ｌ的倾斜角区别直线ｌ垂直于ｘ轴时，直线ｌ的斜率不存在；斜率ｋ的取值范围为Ｒ直线ｌ垂直于ｘ轴时，直线ｌ的倾斜角是π２；倾斜角的取值范围为［０，π）联系①当直线不垂直于ｘ轴时，直线的斜率和直线的倾斜角是一一对应关系；②当直线ｌ的倾斜角α∈０，π２[)时，α越大，直线ｌ的斜率越大；当α∈π２，π()时，α越大，直线ｌ的斜率也越大；③所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率 ２．经过两点Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ１，ｙ２）（ｘ１≠ｘ２）的直线的斜率公式为ｋ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝ｙ２－ｙ１ｘ２－ｘ１，当ｘ１＝ｘ２时，直线的斜率不存在．３．直线方程名称几何条件方程局限性点斜式过点（ｘ０，ｙ０），斜率为ｋｙ－ｙ０＝ｋ（ｘ－ｘ０）不含垂直于ｘ轴的直线斜截式斜率为ｋ，在ｙ轴上的截距为ｂｙ＝ｋｘ＋ｂ不含垂直于ｘ轴的直线两点式过两点（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２）（ｘ１≠ｘ２，ｙ１≠ｙ２）ｙ－ｙ１ｙ２－ｙ１＝ｘ－ｘ１ｘ２－ｘ１不包括垂直于坐标轴的直线截距式在ｘ轴，ｙ轴上的截距分别为ａ，ｂ（ａ≠０，ｂ≠０）ｘａ＋ｙｂ＝１不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ａ２＋Ｂ２≠０） ４．两直线平行与垂直（１）若直线ｌ１的方程为ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１，直线ｌ２的方程为ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２，则ｌ１∥ｌ２的充要条件是ｋ１＝ｋ２且ｂ１≠ｂ２，ｌ１⊥ｌ２的充要条件是ｋ１ｋ２＝－１．（２）若直线ｌ１的方程为Ａ１ｘ＋Ｂ１ｙ＋Ｃ１＝０，直线ｌ２的方程为Ａ２ｘ＋Ｂ２ｙ＋Ｃ２＝０， 则ｌ１∥ｌ２的充要条件是Ａ１Ｂ２－Ａ２Ｂ１＝０且Ｂ１Ｃ２－Ｂ２Ｃ１≠０或Ａ１Ｃ２－Ａ２Ｃ１≠０；ｌ１⊥ｌ２的充要条件是Ａ１Ａ２＋Ｂ１Ｂ２＝０．５．距离公式平面上的两点Ｐ１（ｘ１，ｙ１）、Ｐ２（ｘ２，ｙ２）间的距离｜Ｐ１Ｐ２｜＝（ｘ１－ｘ２）２＋（ｙ１－ｙ２）２点Ｐ０（ｘ０，ｙ０）到直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的距离ｄ＝｜Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ｜Ａ２＋Ｂ２两条平行线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ１＝０与Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ２＝０间的距离ｄ＝｜Ｃ１－Ｃ２｜Ａ２＋Ｂ２考点二圆的方程高频考点 １．圆的方程名称方程圆心半径标准方程（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝ｒ２（ｒ＞０）（ａ，ｂ）ｒ一般方程ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０（Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ＞０）(－Ｄ２，－Ｅ２)１２Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ （１）方程（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝ｒ２中，若没有给出ｒ＞０，则圆的半径为｜ｒ｜，实数ｒ可以取负值．（２）方程ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０中，若Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ＝０，方程表示点－Ｄ２，－Ｅ２()；若Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ＜０，方程不表示任何图形．（３）圆的一般方程的形式特点：①ｘ２和ｙ２的系数相等且大于０；②没有含ｘｙ的二次项；③Ａ＝Ｃ≠０且Ｂ＝０是二元二次方程Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０表示圆的必要不充分条件．（４）已知Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２），则以ＰＱ为直径的圆的方程为（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＋（ｙ－ｙ１）（ｙ－ｙ２）＝０．２．点Ｐ（ｘ０，ｙ０）与圆（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝ｒ２的位置关系（１）若（ｘ０－ａ）２＋（ｙ０－ｂ）２＞ｒ２，则点Ｐ在圆外；（２）若（ｘ０－ａ）２＋（ｙ０－ｂ）２＝ｒ２，则点Ｐ在圆上；（３）若（ｘ０－ａ）２＋（ｙ０－ｂ）２＜ｒ２，则点Ｐ在圆内．平面上定点Ａ与圆Ｐ上动点Ｂ之间距离的最大值为｜ＰＡ｜＋ｒ；最小值为｜｜ＰＡ｜－ｒ｜（其中ｒ为圆Ｐ的半径）．对应学生用书起始页码Ｐ１７３一、求直线方程的方法 １．要确定直线方程，只需找到直线上的两个定点坐标或一个点及直线的斜率即可．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．２．点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是不是零）．３．当所求直线经过两条已知直线的交点时，常用直线系方程求解．４．与直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０平行的直线方程可设为Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｍ＝０（Ｍ≠Ｃ），与直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０垂直的直线方程可设为Ｂｘ－Ａｙ＋Ｎ第十三章 平面解析几何初步１０１ ＝０，这是经常用的解题技巧．（２０１９镇江期中，１７）如图，已知点Ａ（１，１），Ｂ（－１，１），过点Ａ作直线ｌ，使得直线ｌ与ｙ轴正半轴交于点Ｃ，与射线ＢＯ交于点Ｄ．（１）若直线ｌ的斜率为－３．①求ＯＡ→·ＢＣ→的值；②若ＯＤ→＝λＯＡ→＋μＯＣ→，求实数λ－μ的值；（２）求△ＯＣＤ面积的最小值及此时直线ｌ的方程．解析 （１）因为直线ｌ过Ａ（１，１），且斜率为－３，所以直线ｌ：ｙ－１＝－３（ｘ－１），即ｙ＝－３ｘ＋４．（１分）令ｘ＝０，得Ｃ（０，４）；令ｙ＝－ｘ，得Ｄ（２，－２）．（２分）①因为ＯＡ→＝（１，１），ＢＣ→＝（１，３），所以ＯＡ→·ＢＣ→＝１×１＋１×３＝４．（４分）②因为ＯＤ→＝λＯＡ→＋μＯＣ→，所以（２，－２）＝λ（１，１）＋μ（０，４），（５分）所以２＝λ，－２＝λ＋４μ，则λ＝２，μ＝－１，（６分）所以λ－μ＝３．（７分）（２）由题意得直线ｌ的斜率存在，设为ｋ，ｋ＜－１，（８分）则直线ｌ：ｙ－１＝ｋ（ｘ－１）．令ｘ＝０，得Ｃ（０，１－ｋ）；令ｙ＝－ｘ，得Ｄｋ－１ｋ＋１，１－ｋｋ＋１()．（９分）则Ｓ△ＯＣＤ＝１２ＯＣ·｜ｘＤ｜＝１２·（１－ｋ）２－１－ｋ＝１２（－ｋ－１）＋４－ｋ－１＋４[]≥１２２（－ｋ－１）·４（－ｋ－１）＋４éëêêùûúú＝４，（１３分）当且仅当－ｋ－１＝４－ｋ－１，即ｋ＝－３时取等号，故（Ｓ△ＯＣＤ）ｍｉｎ＝４．此时直线ｌ：ｙ＝－３ｘ＋４．（１４分） １－１ 已知直线ｌ经过直线ｌ１：３ｘ＋２ｙ－１＝０和ｌ２：５ｘ＋２ｙ＋１＝０的交点，且垂直于直线ｌ３：３ｘ－５ｙ＋６＝０，则直线ｌ的方程是 ．１－１答案 ５ｘ＋３ｙ－１＝０解析 解法一：解方程组３ｘ＋２ｙ－１＝０，５ｘ＋２ｙ＋１＝０{得ｘ＝－１，ｙ＝２，{故ｌ１，ｌ２的交点坐标为（－１，２）．由ｌ３的斜率为３５得出ｌ的斜率为－５３，故直线ｌ的方程为ｙ－２＝－５３（ｘ＋１），整理得５ｘ＋３ｙ－１＝０．解法二：由于ｌ⊥ｌ３，故ｌ是直线系５ｘ＋３ｙ＋Ｃ＝０中的一条，同解法一知直线ｌ１，ｌ２的交点坐标为（－１，２），由ｌ过ｌ１，ｌ２的交点，得５×（－１）＋３×２＋Ｃ＝０，可得Ｃ＝－１，故直线ｌ的方程为５ｘ＋３ｙ－１＝０．解法三：由于ｌ过ｌ１，ｌ２的交点，故ｌ是直线系３ｘ＋２ｙ－１＋λ（５ｘ＋２ｙ＋１）＝０中的一条，将其整理得（３＋５λ）ｘ＋（２＋２λ）ｙ＋（－１＋λ）＝０．又ｌ与ｌ３垂直，故－３＋５λ２＋２λ＝－５３，解得λ＝１５，故ｌ的方程为５ｘ＋３ｙ－１＝０．思路点拨 可先求出两条直线的交点坐标，再用点斜式求解；也可用与直线垂直的直线系方程或过两条直线交点的直线系方程求解． １－２ 已知直线ｌ经过点Ａ（－５，２），且在ｘ轴上的截距等于在ｙ轴上截距的２倍，则直线ｌ的方程是 ．１－２答案 ２ｘ＋５ｙ＝０或ｘ＋２ｙ＋１＝０解析 当直线不过原点时，设所求直线方程为ｘ２ａ＋ｙａ＝１（ａ≠０），将（－５，２）代入所设方程，解得ａ＝－１２，所以直线方程为ｘ＋２ｙ＋１＝０；当直线过原点时，设直线方程为ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０），将（－５，２）代入，得－５ｋ＝２，解得ｋ＝－２５，所以直线方程为ｙ＝－２５ｘ，即２ｘ＋５ｙ＝０．故所求直线方程为２ｘ＋５ｙ＝０或ｘ＋２ｙ＋１＝０． １－３ 已知Ａ（４，－３），Ｂ（２，－１）和直线ｌ：４ｘ＋３ｙ－２＝０，在坐标平面内求一点Ｐ，使ＰＡ＝ＰＢ，且点Ｐ到直线ｌ的距离为２．１－３解析 设点Ｐ的坐标为（ａ，ｂ），线段ＡＢ的中点为Ｍ，∵Ａ（４，－３），Ｂ（２，－１），∴Ｍ的坐标为（３，－２）．而直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ＝－３＋１４－２＝－１，∴线段ＡＢ的垂直平分线方程为ｙ＋２＝ｘ－３，即ｘ－ｙ－５＝０．由题意知点Ｐ（ａ，ｂ）在直线ｘ－ｙ－５＝０上，∴ａ－ｂ－５＝０．①又点Ｐ（ａ，ｂ）到直线ｌ：４ｘ＋３ｙ－２＝０的距离为２，∴｜４ａ＋３ｂ－２｜５＝２，即４ａ＋３ｂ－２＝±１０，②由①②联立可得ａ＝１，ｂ＝－４{或ａ＝２７７，ｂ＝－８７．ìîíïïïï∴所求点Ｐ的坐标为（１，－４）或２７７，－８７()．二、求圆的方程的方法 １．方程选择的原则（１）已知条件多与圆心、半径有关，或与切线、弦长、弧长、圆心角、距离等有关，则设圆的标准方程：（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝ｒ２（ｒ＞０）；（２）已知圆上的三个点的坐标，则设圆的一般方程：ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０（Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ＞０）．２．求圆的方程的方法（１）待定系数法：①根据题意，选择方程形式（标准方程或一般方程）；②根据条件列出关于ａ，ｂ，ｒ或Ｄ、Ｅ、Ｆ的方程组；③解出ａ，ｂ，ｒ或Ｄ、Ｅ、Ｆ，代入所选的方程中即可．（２）几何法：在求圆的方程过程中，常利用圆的一些性质或定理直接求出圆心和半径，进而可写出标准方程．常用的几何性１０２ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）质有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心在一条直线上．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，若二次函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋２ｘ＋ｂ（ｘ∈Ｒ）的图象与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为Ｃ．（１）求实数ｂ的取值范围；（２）求圆Ｃ的方程；（３）问圆Ｃ是否经过定点（其坐标与ｂ的值无关）？请证明你的结论．解析 （１）令ｘ＝０，得抛物线与ｙ轴的交点坐标是（０，ｂ）；令ｆ（ｘ）＝ｘ２＋２ｘ＋ｂ＝０，由题意知ｂ≠０且Δ＝４－４ｂ＞０，解得ｂ＜１且ｂ≠０．故实数ｂ的取值范围为ｂ＜１且ｂ≠０．（２）解法一：设二次函数ｆ