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１０４ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）§１３．２ 直线与圆、圆与圆的位置关系对应学生用书起始页码Ｐ１７９考点直线与圆、圆与圆的位置关系高频考点 一、直线与圆的位置关系１．直线与圆的位置关系的判定设直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ａ２＋Ｂ２≠０），圆Ｃ：（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝ｒ２（ｒ＞０），ｄ为圆心（ａ，ｂ）到直线ｌ的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ．位置关系判断方法代数法几何法公共点个数相交Δ＞０ｄ＜ｒ２相切Δ＝０ｄ＝ｒ１相离Δ＜０ｄ＞ｒ０ ２．与圆的切线有关的结论（１）过圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２（ｒ＞０）上一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程为ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２；（２）过圆（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝ｒ２（ｒ＞０）上一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程为（ｘ０－ａ）（ｘ－ａ）＋（ｙ０－ｂ）（ｙ－ｂ）＝ｒ２；（３）过圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２（ｒ＞０）外一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）作圆的两条切线，切点为Ａ，Ｂ，则过Ａ、Ｂ两点的直线方程为ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２；（４）过圆ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０（Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ＞０）外一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）引圆的切线，切点为Ｔ，则切线长为｜ＰＴ｜＝ｘ２０＋ｙ２０＋Ｄｘ０＋Ｅｙ０＋Ｆ．３．与圆的弦长有关的计算直线与圆相交时，若ｌ为弦长，ｄ为弦心距，ｒ为半径，则有ｒ２＝ｄ２＋ｌ２()２，即ｌ＝２ｒ２－ｄ２，求弦长或已知弦长求半径或弦心距时，一般用上述公式求解． 二、圆与圆的位置关系１．两圆的位置关系的判定设圆Ｏ１的方程为（ｘ－ａ１）２＋（ｙ－ｂ１）２＝Ｒ２（Ｒ＞０），圆Ｏ２的方程为（ｘ－ａ２）２＋（ｙ－ｂ２）２＝ｒ２（ｒ＞０），其中Ｒ＞ｒ．位置关系判断方法几何法（判断圆心距｜Ｏ１Ｏ２｜与Ｒ，ｒ的关系）代数法（联立两圆方程，判断解的个数）公共点个数公切线条数外离｜Ｏ１Ｏ２｜＞Ｒ＋ｒ无解０４外切｜Ｏ１Ｏ２｜＝Ｒ＋ｒ一解１３相交Ｒ－ｒ＜｜Ｏ１Ｏ２｜＜Ｒ＋ｒ两解２２内切｜Ｏ１Ｏ２｜＝Ｒ－ｒ一解１１内含０≤｜Ｏ１Ｏ２｜＜Ｒ－ｒ无解００ ２．圆系方程（１）同心圆系方程：（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝ｒ２（ｒ＞０），其中ａ，ｂ是定值，ｒ是参数；（２）过直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０与圆ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０（Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ＞０）交点的圆系方程：ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＋λ（Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ）；（３）过圆Ｃ１：ｘ２＋ｙ２＋Ｄ１ｘ＋Ｅ１ｙ＋Ｆ１＝０（Ｄ２１＋Ｅ２１－４Ｆ１＞０）和圆Ｃ２：ｘ２＋ｙ２＋Ｄ２ｘ＋Ｅ２ｙ＋Ｆ２＝０（Ｄ２２＋Ｅ２２－４Ｆ２＞０）交点的圆系方程：ｘ２＋ｙ２＋Ｄ１ｘ＋Ｅ１ｙ＋Ｆ１＋λ（ｘ２＋ｙ２＋Ｄ２ｘ＋Ｅ２ｙ＋Ｆ２）＝０（λ≠－１）．该圆系不含圆Ｃ２，解题时，注意检验圆Ｃ２是否满足题意，以防丢解．３．求两圆公共弦所在直线的方程的方法（１）联立两圆方程，通过解方程组求出两交点坐标，再利用两点式求出直线方程；（２）将两圆的方程相减得到的方程就是所求的直线的方程．注意应用上述两种方法的前提是两圆必须相交．对应学生用书起始页码Ｐ１８０一、有关圆的切线问题的解法 １．求过圆上的一点（ｘ０，ｙ０）的切线方程先求切点与圆心连线所在直线的斜率，当斜率不存在时，切线方程为ｙ＝ｙ０；当斜率存在时，设为ｋ，①ｋ≠０时由垂直关系知切线斜率为－１ｋ，由点斜式求切线方程；②ｋ＝０时切线方程为ｘ＝ｘ０．２．求过圆外一点（ｘ０，ｙ０）的圆的切线方程（１）几何法：当切线斜率存在时，设为ｋ，切线方程为ｙ－ｙ０＝ｋ（ｘ－ｘ０），即ｋｘ－ｙ＋ｙ０－ｋｘ０＝０．由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程：ｘ＝ｘ０．（２）代数法：当斜率存在时，设为ｋ，则切线方程为ｙ－ｙ０＝ｋ（ｘ－ｘ０），即ｙ＝ｋｘ－ｋｘ０＋ｙ０，代入圆的方程，得到一个关于ｘ的一元二次方程，由Δ＝０，求得ｋ，切线方程即可求出．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程：ｘ＝ｘ０．已知点Ｐ（２＋１，２－２），Ｍ（３，１），圆Ｃ：（ｘ－１）２＋（ｙ－２）２＝４．（１）求过点Ｐ的圆Ｃ的切线方程；（２）求过点Ｍ的圆Ｃ的切线方程，并求出切线长．解题导引 （１）判断点Ｐ与圆Ｃ的位置关系→利用切线性质求切线斜率→写出切线方程（２）判断点Ｍ与圆Ｃ的位置关系→分类讨论切线的斜率→写出切线方程，利用勾股定理求得切线长解析 由题意得圆心为Ｃ（１，２），半径ｒ＝２．（１）∵（２＋１－１）２＋（２－２－２）２＝４，第十三章 平面解析几何初步１０５ ∴点Ｐ在圆Ｃ上．又ｋＰＣ＝２－２－２２＋１－１＝－１，∴切线的斜率ｋ＝－１ｋＰＣ＝１．∴过点Ｐ的圆Ｃ的切线方程是ｙ－（２－２）＝ｘ－（２＋１），即ｘ－ｙ＋１－２２＝０．（２）∵（３－１）２＋（１－２）２＝５＞４，∴点Ｍ在圆Ｃ外部．当过点Ｍ的直线的斜率不存在时，直线方程为ｘ＝３，即ｘ－３＝０．又点Ｃ（１，２）到直线ｘ－３＝０的距离ｄ＝３－１＝２＝ｒ，所以直线ｘ－３＝０是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为ｙ－１＝ｋ（ｘ－３），即ｋｘ－ｙ＋１－３ｋ＝０，则圆心Ｃ到切线的距离ｄ＝｜ｋ－２＋１－３ｋ｜ｋ２＋１＝ｒ＝２，解得ｋ＝３４．∴切线方程为ｙ－１＝３４（ｘ－３），即３ｘ－４ｙ－５＝０．综上可得，过点Ｍ的圆Ｃ的切线方程为ｘ－３＝０或３ｘ－４ｙ－５＝０．∵｜ＭＣ｜＝（３－１）２＋（１－２）２＝５，∴过点Ｍ的圆Ｃ的切线长为｜ＭＣ｜２－ｒ２＝５－４＝１． １－１ （２０１７常州一中质量检测，１０）已知点Ｐ为圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２－２ｘ－４ｙ＋１＝０上的动点，点Ｐ到直线ｌ的最大距离为６．若点Ａ在直线ｌ上，过Ａ作圆Ｃ的切线ＡＢ，切点为Ｂ，则｜ＡＢ｜的最小值是 ．１－１答案 ２３解析 圆Ｃ的方程可化为（ｘ－１）２＋（ｙ－２）２＝４，画出示意图，可以得出当点Ａ到圆心Ｃ的距离最小时，｜ＡＢ｜最小，此时Ａ、Ｃ、Ｐ三点共线．由已知得｜ＣＡ｜ｍｉｎ＝４，又｜ＣＢ｜＝２，所以｜ＡＢ｜ｍｉｎ＝４２－２２＝２３． １－２ 已知点Ｐ（１，２）和圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２＋ｋｘ＋２ｙ＋ｋ２＝０，过点Ｐ作圆Ｃ的切线有两条，则ｋ的取值范围是 ．１－２答案 －２３３，２３３æèçöø÷解析 ∵方程ｘ２＋ｙ２＋ｋｘ＋２ｙ＋ｋ２＝０表示圆，∴ｋ２＋４－４ｋ２＞０，即ｋ２＜４３，∴－２３３＜ｋ＜２３３．①又∵过点Ｐ可以作圆Ｃ的两条切线，∴点Ｐ应落在圆Ｃ外部．∴１２＋２２＋ｋ＋４＋ｋ２＞０，即ｋ２＋ｋ＋９＞０．解得ｋ∈Ｒ．②综上所述，ｋ的取值范围为－２３３，２３３æèçöø÷． １－３ （２０１９泰州期末，１１）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，过圆Ｃ１：（ｘ－ｋ）２＋（ｙ＋ｋ－４）２＝１上任一点Ｐ作圆Ｃ２：ｘ２＋ｙ２＝１的一条切线，切点为Ｑ，则当线段ＰＱ长最小时，ｋ＝ ．１－３答案 ２解析 如图，因为ＰＱ为圆Ｃ２的切线，所以ＰＱ⊥Ｃ２Ｑ，由勾股定理，得｜ＰＱ｜＝｜ＰＣ２｜２－１，要使｜ＰＱ｜最小，则｜ＰＣ２｜最小，显然当点Ｐ为Ｃ１Ｃ２与圆Ｃ１的交点时，｜ＰＣ２｜最小，此时，｜ＰＣ２｜＝｜Ｃ１Ｃ２｜－１，｜Ｃ１Ｃ２｜＝ｋ２＋（－ｋ＋４）２＝２（ｋ－２）２＋８≥２２．当ｋ＝２时，｜Ｃ１Ｃ２｜最小，同时｜ＰＱ｜最小．二、有关圆的弦长问题的解法 （１）几何法：设圆的半径为ｒ，弦心距为ｄ，弦长为Ｌ，则Ｌ２()２＝ｒ２－ｄ２．（２）代数法：设直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与圆（ｘ－ｘ０）２＋（ｙ－ｙ０）２＝ｒ２相交于Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）两点，列方程组ｙ＝ｋｘ＋ｂ，（ｘ－ｘ０）２＋（ｙ－ｙ０）２＝ｒ２，{消ｙ后得关于ｘ的一元二次方程，从而求得ｘ１＋ｘ２，ｘ１ｘ２，则弦长｜ＡＢ｜＝（１＋ｋ２）［（ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２］．已知圆心为Ｃ的圆，满足下列条件：圆心Ｃ位于ｘ轴正半轴上，与直线３ｘ－４ｙ＋７＝０相切，且被ｙ轴截得的弦长为２３，圆Ｃ的面积小于１３．（１）求圆Ｃ的标准方程；（２）设过点Ｍ（０，３）的直线ｌ与圆Ｃ交于不同的两点Ａ，Ｂ，以ＯＡ，ＯＢ为邻边作平行四边形ＯＡＤＢ．是否存在这样的直线ｌ，使得直线ＯＤ与ＭＣ恰好平行？如果存在，求出ｌ的方程；如果不存在，请说明理由．１０６ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）解析 （１）设圆Ｃ：（ｘ－ａ）２＋ｙ２＝ｒ２（ａ＞０，ｒ＞０），由题意知｜３ａ＋７｜３２＋（－４）２＝ｒ，ａ２＋３＝ｒ，ìîíïïïï解得ａ＝１或ａ＝１３８，又Ｓ＝πｒ２＜１３，∴ａ＝１，ｒ＝２，∴圆Ｃ的标准方程为（ｘ－１）２＋ｙ２＝４．（２）不存在．理由如下：当直线ｌ的斜率不存在时，直线ｌ的方程为ｘ＝０，不满足题意．当直线ｌ的斜率存在时，设直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋３（ｋ≠０），Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），联立得ｙ＝ｋｘ＋３，（ｘ－１）２＋ｙ２＝４，{消去ｙ得（１＋ｋ２）ｘ２＋（６ｋ－２）ｘ＋６＝０，∴Δ＝（６ｋ－２）２－２４（１＋ｋ２）＝１２ｋ２－２４ｋ－２０＞０，解得ｋ＜１－２６３或ｋ＞１＋２６３．则ｘ１＋ｘ２＝－６ｋ－２１＋ｋ２，则ｙ１＋ｙ２＝ｋ（ｘ１＋ｘ２）＋６＝２ｋ＋６１＋ｋ２，ＯＤ→＝ＯＡ→＋ＯＢ→＝（ｘ１＋ｘ２，ｙ１＋ｙ２），ＭＣ→＝（１，－３），假设ＯＤ→∥ＭＣ→，则－３（ｘ１＋ｘ２）＝ｙ１＋ｙ２，∴３·６ｋ－２１＋ｋ２＝２ｋ＋６１＋ｋ２，解得ｋ＝３４∉－∞，１－２６３æèçöø÷∪１＋２６３，＋∞æèçöø÷，假设不成立，∴不存在这样的直线ｌ． ２－１ （２０１７淮阴中学第一学期期中，１３）如图，已知点Ａ为圆Ｏ：ｘ２＋ｙ２＝９与圆Ｃ：（ｘ－５）２＋ｙ２＝１６在第一象限内的交点，过点Ａ的直线ｌ被圆Ｏ和圆Ｃ所截得的弦分别为ＮＡ，ＭＡ（Ｍ，Ｎ不重合），若｜ＮＡ｜＝｜ＭＡ｜，则直线ｌ的斜率是 ．２－１答案 ７２４解析 联立ｘ２＋ｙ２＝９，（ｘ－５）２＋ｙ２＝１６，{解得ｘ＝９５，ｙ＝±１２５，ìîíïïïï则Ａ９５，１２５()，经验证，直线ｌ的斜率存在，设斜率为ｋ，则直线ｌ的方程为ｙ－１２５＝ｋｘ－９５()，即５ｋｘ－５ｙ＋１２－９ｋ＝０，由于｜ＮＡ｜＝｜ＭＡ｜，所以９－（１２－９ｋ）２２５ｋ２＋２５＝１６－（１６ｋ＋１２）２２５ｋ２＋２５，解得ｋ＝７２４．思路分析 联立两圆的方程可求得Ａ的坐标，经验证直线ｌ的斜率存在，设为ｋ，可求得直线ｌ的方程，结合｜ＮＡ｜＝｜ＭＡ｜可得结果． ２－２ （２０１９扬州期末，１０）已知直线ｌ：ｙ＝－ｘ＋４与圆Ｃ：（ｘ－２）２＋（ｙ－１）２＝１相交于Ｐ，Ｑ两点，则ＣＰ→·ＣＱ→＝ ．２－２答案 ０解析 由题意知Ｃ（２，１），联立得ｙ＝－ｘ＋４，（ｘ－２）２＋（ｙ－１）２＝１，{解得ｘ＝２，ｙ＝２{或ｘ＝３，ｙ＝１，{即Ｐ（２，２），Ｑ（３，１），∴ＣＰ→·ＣＱ→＝（０，１）·（１，０）＝０．三、“隐形圆”问题的求解方法 １．有些题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化，发现圆（或圆的方程），从而利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．２．常见解题策略（１）利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆；（２）动点Ｐ与两定点Ａ，Ｂ连线的张角是９０°（ｋＰＡ·ｋＰＢ＝－１或ＰＡ→·ＰＢ→＝０）确定隐形圆；（３）两定点Ａ，Ｂ与动点Ｐ满足ＰＡ→·ＰＢ→＝λ（λ∈Ｒ）确定隐形圆；（４）两定点Ａ，Ｂ与动点Ｐ满足ＰＡ２＋ＰＢ２是定值确定隐形圆；（５）两定点Ａ、Ｂ与动点Ｐ满足ＰＡＰＢ＝λ（λ＞０，λ≠１）确定隐形圆．（６）由圆周角的性质确定隐形圆．（１）（２０１８南京、盐城一模，１２）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，若直