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１１６ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）§１４．２ 双曲线及其性质对应学生用书起始页码Ｐ１９９考点一双曲线的定义和标准方程高频考点 １．双曲线的基本知识定义（１）定义：平面上，到两定点的距离之差的绝对值为正常数（小于两定点间距离）的动点轨迹叫做双曲线．（２）双曲线的定义用式子表示为｜｜ＭＦ１｜－｜ＭＦ２｜｜＝２ａ，其中２ａ＜｜Ｆ１Ｆ２｜．（３）当｜ＭＦ１｜－｜ＭＦ２｜＝２ａ时，曲线仅表示焦点Ｆ２所对应的双曲线的一支；当｜ＭＦ１｜－｜ＭＦ２｜＝－２ａ时，曲线仅表示焦点Ｆ１所对应的双曲线的一支；当２ａ＝｜Ｆ１Ｆ２｜时，轨迹为分别以Ｆ１、Ｆ２为端点的两条射线；当２ａ＞｜Ｆ１Ｆ２｜时，动点轨迹不存在图形标准方程ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０） ２．（１）等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．（２）等轴双曲线⇔离心率ｅ＝２⇔两条渐近线互相垂直（位置关系）．３．双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的共轭双曲线的方程为ｙ２ｂ２－ｘ２ａ２＝１，它们有共同的渐近线ｙ＝±ｂａｘ，它们的离心率ｅ１、ｅ２满足的关系式为１ｅ２１＋１ｅ２２＝１．考点二双曲线的几何性质高频考点 １．双曲线的简单几何性质标准方程ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）几何性质范围｜ｘ｜≥ａ｜ｙ｜≥ａ焦点Ｆ１（－ｃ，０）、Ｆ２（ｃ，０）Ｆ１（０，－ｃ）、Ｆ２（０，ｃ）顶点Ａ１（－ａ，０）、Ａ２（ａ，０）Ａ１（０，－ａ）、Ａ２（０，ａ）对称性关于ｘ轴、ｙ轴对称，关于原点对称实、虚轴长实轴长为２ａ，虚轴长为２ｂ离心率双曲线的焦距与实轴长的比ｅ＝ｃａ渐近线方程ｙ＝±ｂａｘｙ＝±ａｂｘ准线方程ｘ＝±ａ２ｃｙ＝±ａ２ｃ２．ＡＢ为双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的弦．设直线ＡＢ的斜率存在，为ｋ（ｋ≠０），Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），弦中点Ｍ（ｘ０，ｙ０）．（１）弦长ｌ＝｜ｘ１－ｘ２｜１＋ｋ２＝｜ｙ１－ｙ２｜１＋１ｋ２（ｋ≠０）；（２）ｋ＝ｂ２ｘ０ａ２ｙ０；（３）直线ＡＢ的方程为ｙ－ｙ０＝ｂ２ｘ０ａ２ｙ０（ｘ－ｘ０）；（４）线段ＡＢ的垂直平分线方程为ｙ－ｙ０＝－ａ２ｙ０ｂ２ｘ０（ｘ－ｘ０）．３．与双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）有共同渐近线的双曲线方程为ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝ｋ（ｋ≠０）．４．以直线ｘａ±ｙｂ＝０（ａ＞０，ｂ＞０）为渐近线的双曲线方程为ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝ｋ（ｋ≠０）．第十四章 圆锥曲线与方程１１７ 对应学生用书起始页码Ｐ２００一、双曲线定义和标准方程有关问题的解题策略 １．涉及双曲线上的点到焦点的距离问题（可能到一个焦点的距离）常常用到定义，主动联想定义．２．双曲线的标准方程是根据双曲线的定义，通过建立恰当的坐标系求出的．若已知所求曲线是双曲线，也可利用待定系数法求方程．参数ｂ是根据进一步化简方程的需要而引入的，但它同样具有明确的几何意义，即ｂ表示双曲线虚半轴的长．由双曲线的标准方程可确定双曲线实半轴长ａ和虚半轴长ｂ，再结合ｃ２＝ａ２＋ｂ２就可得到双曲线的焦点坐标，实轴、虚轴长，焦距，离心率，渐近线等．３．双曲线标准方程的求解步骤定位置根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上设方程↓根据焦点位置，设方程为ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１或ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０），焦点位置不确定时，可设为ｍｘ２＋ｎｙ２＝１（ｍ·ｎ＜０）寻关系↓根据已知条件列出关于ａ，ｂ（或ｍ，ｎ）的方程组得方程↓解方程组，将ａ，ｂ（或ｍ，ｎ）代入所设方程即为所求（１）（２０１６浙江，１３，４分）设双曲线ｘ２－ｙ２３＝１的左，右焦点分别为Ｆ１，Ｆ２．若点Ｐ在双曲线上，且△Ｆ１ＰＦ２为锐角三角形，则｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜的取值范围是 ．（２）设双曲线与椭圆ｘ２２７＋ｙ２３６＝１有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为（１５，４），则此双曲线的标准方程是 ．解析 （１）△ＰＦ１Ｆ２为锐角三角形，不妨设Ｐ在第一象限，Ｐ点在Ｐ１与Ｐ２之间运动（如图）．当Ｐ在Ｐ１点处时，∠Ｆ１Ｐ１Ｆ２＝９０°，Ｓ△Ｐ１Ｆ１Ｆ２＝１２｜Ｆ１Ｆ２｜·｜ｙＰ１｜＝１２｜Ｐ１Ｆ１｜·｜Ｐ１Ｆ２｜．由｜Ｐ１Ｆ１｜２＋｜Ｐ１Ｆ２｜２＝｜Ｆ１Ｆ２｜２，｜Ｐ１Ｆ１｜－｜Ｐ１Ｆ２｜＝２，得｜Ｐ１Ｆ１｜·｜Ｐ１Ｆ２｜＝６，此时｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２７．当Ｐ在Ｐ２点处时，∠Ｐ２Ｆ２Ｆ１＝９０°，∴ｘＰ２＝２，易知ｙＰ２＝３，此时｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２｜ＰＦ２｜＋２＝８．∴当△ＰＦ１Ｆ２为锐角三角形时，｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜∈（２７，８）．（２）解法一：椭圆ｘ２２７＋ｙ２３６＝１的焦点坐标是（０，±３）．设双曲线方程为ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０），根据双曲线的定义知２ａ＝｜（１５－０）２＋（４－３）２－（１５－０）２＋（４＋３）２｜＝４，故ａ＝２．又ｂ２＝３２－ａ２＝５，故所求双曲线的标准方程为ｙ２４－ｘ２５＝１．解法二：椭圆ｘ２２７＋ｙ２３６＝１的焦点坐标是（０，±３）．设双曲线方程为ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０），则ａ２＋ｂ２＝９①，又点（１５，４）在双曲线上，所以１６ａ２－１５ｂ２＝１②，联立①②解得ａ２＝４，ｂ２＝５．故所求双曲线的标准方程为ｙ２４－ｘ２５＝１．解法三：设双曲线的方程为ｘ２２７－λ＋ｙ２３６－λ＝１（２７＜λ＜３６），由于双曲线过点（１５，４），故１５２７－λ＋１６３６－λ＝１，解得λ１＝３２，λ２＝０，经检验，λ１＝３２，λ２＝０都是分式方程的根，但λ＝０不符合题意，应舍去，所以λ＝３２．故所求双曲线的标准方程为ｙ２４－ｘ２５＝１．答案 （１）（２７，８） （２）ｙ２４－ｘ２５＝１ １－１ 设动圆Ｃ与两圆Ｃ１：（ｘ＋５）２＋ｙ２＝４，Ｃ２：（ｘ－５）２＋ｙ２＝４中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心Ｃ的轨迹方程为 ．１－１答案 ｘ２４－ｙ２＝１解析 设圆Ｃ的圆心Ｃ的坐标为（ｘ，ｙ），半径为ｒ，由题设知ｒ＞２，于是有｜ＣＣ１｜＝ｒ＋２，｜ＣＣ２｜＝ｒ－２{或｜ＣＣ１｜＝ｒ－２，｜ＣＣ２｜＝ｒ＋２，{∴｜｜ＣＣ１｜－｜ＣＣ２｜｜＝４＜２５＝｜Ｃ１Ｃ２｜，即圆心Ｃ的轨迹是以Ｃ１，Ｃ２为焦点，４为实轴长的双曲线，∴轨迹方程为ｘ２(４２)２－ｙ２（５）２－(４２)２＝１，即ｘ２４－ｙ２＝１． １－２ 已知Ａ、Ｂ分别是双曲线ｘ２－ｙ２３＝１的左、右焦点，△ＡＢＣ的顶点Ｃ在双曲线的右支上，则ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢｓｉｎＣ＝ ．１－２答案 －１２解析 如图，由条件可知ＡＣ－ＢＣ＝２，ＡＢ＝４．在△ＡＢＣ中，ＢＣｓｉｎＡ＝ＡＢｓｉｎＣ＝ＡＣｓｉｎＢ，所以ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢｓｉｎＣ＝ＢＣ－ＡＣＡＢ＝－２４＝－１２． １－３ 与双曲线ｘ２９－ｙ２１６＝１有共同的渐近线，且过点（－３，１１８ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）２３）的双曲线方程是 ．１－３答案 ｘ２９４－ｙ２４＝１解析 解法一：由题意可设双曲线的方程为ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０），由题意，得ｂａ＝４３，（－３）２ａ２－（２３）２ｂ２＝１，ìîíïïïï解得ａ２＝９４，ｂ２＝４．所以双曲线的方程为ｘ２９４－ｙ２４＝１．解法二：设双曲线的方程为ｘ２９－ｙ２１６＝λ（λ≠０）．∵双曲线过点（－３，２３），∴（－３）２９－（２３）２１６＝λ，∴λ＝１４，故双曲线方程为ｘ２９４－ｙ２４＝１．二、求双曲线离心率或其取值范围的方法 １．在解析几何中，解决求范围问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求函数值域或解不等式来完成；②通过一元二次方程的根的判别式的符号建立不等关系；③利用点在曲线内部建立不等关系；④利用解析式的结构特点，如ａ２，｜ａ｜，ａ等的非负性来完成范围的求解．２．求双曲线离心率或其范围的常用方法（１）求ａ及ｂ或ｃ的值，由ｅ２＝ｃ２ａ２＝ａ２＋ｂ２ａ２＝１＋ｂ２ａ２求ｅ．（２）列出含有ａ，ｂ，ｃ的齐次方程（或不等式），借助于ｂ２＝ｃ２－ａ２消去ｂ，然后转化成关于ｅ的方程（或不等式）求解．（１）双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞１，ｂ＞０）的焦距为２ｃ，直线ｌ过点（ａ，０）和（０，ｂ），且点（１，０）到直线ｌ的距离与点（－１，０）到直线ｌ的距离之和ｓ≥４５ｃ，则双曲线的离心率ｅ的取值范围是 ．（２）（２０１９扬州期末，９）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已知双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的一条渐近线方程为ｘ－２ｙ＝０，则该双曲线的离心率为 ．（３）过双曲线Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的一个焦点作圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２的两条切线，切点分别为Ａ，Ｂ．若∠ＡＯＢ＝１２０°（Ｏ是坐标原点），则双曲线Ｃ的离心率为 ．（４）设Ｆ１、Ｆ２分别是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左、右焦点，若双曲线上存在点Ａ，使∠Ｆ１ＡＦ２＝９０°，且｜ＡＦ１｜＝３｜ＡＦ２｜，则双曲线的离心率为 ．解析 （１）由题意知直线ｌ的方程为ｘａ＋ｙｂ＝１，即ｂｘ＋ａｙ－ａｂ＝０．由点到直线的距离公式及ａ＞１，ｂ＞０得，点（１，０）到直线ｌ的距离ｄ１＝ｂ（ａ－１）ａ２＋ｂ２，点（－１，０）到直线ｌ的距离ｄ２＝ｂ（ａ＋１）ａ２＋ｂ２，故ｓ＝ｄ１＋ｄ２＝２ａｂａ２＋ｂ２＝２ａｂｃ，由ｓ≥４５ｃ，得２ａｂｃ≥４５ｃ，即５ａ·ｃ２－ａ２≥２ｃ２，于是５ｅ２－１≥２ｅ２，即４ｅ４－２５ｅ２＋２５≤０，得５４≤ｅ２≤５．又ｅ＞１，所以双曲线的离心率ｅ的取值范围是５２≤ｅ≤５．（２）ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的渐近线方程为ｙ＝±ｂａｘ，所以ｂａ＝１２，所以ｅ＝ｃａ＝ａ２＋ｂ２ａ＝１＋ｂａ()２＝５２．（３）如图，不妨设双曲线的右焦点为Ｆ，则在△ＡＯＦ中，ＯＡ＝ａ，ＯＦ＝ｃ，∠ＦＯＡ＝６０°，所以ｃ＝２ａ，所以ｅ＝ｃａ＝２．（４）由双曲线的定义知｜｜ＡＦ１｜－｜ＡＦ２｜｜＝２ａ，因为｜ＡＦ１｜＝３｜ＡＦ２｜，所以｜ＡＦ１｜＝３ａ，｜ＡＦ２｜＝ａ．因为∠Ｆ１ＡＦ２＝９０°，所以｜ＡＦ１｜２＋｜ＡＦ２｜２＝｜Ｆ１Ｆ２｜２＝４ｃ２，所以９ａ２＋ａ２＝４ｃ２，即ｃ２ａ２＝１０４，所以ｅ＝１０２．答案 （１）５２≤ｅ≤５ （２）５２ （３）２ （４）１０２ ２－１ （２０１８江苏高邮中学阶段考试，９）如图所示，Ｆ１和Ｆ２是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的两个焦点，Ａ和Ｂ是以Ｏ为圆心、ＯＦ１为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△Ｆ２ＡＢ是等边三角形，则该双曲线的离心率为 ．２－１答案 ３＋１解析 由题意得｜ＡＦ２｜＝｜Ｆ１Ｆ２｜·ｃｏｓ３０°＝３ｃ，｜ＡＦ１｜＝｜Ｆ１Ｆ２｜·ｓｉｎ３０°＝ｃ．由双曲线的定义得｜ＡＦ２｜－｜ＡＦ１｜＝２ａ，即２ａ＝（３－１）ｃ，∴ｅ＝ｃａ＝２３－１＝３＋１． ２－２ 点Ｆ是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左焦点，点Ｅ是该双曲线的右顶点，过Ｆ且垂直于ｘ轴的直线与双曲线交于Ａ、Ｂ两点，若△ＡＢＥ是锐角三角形，则该双曲线的离心率ｅ的取第十四章 圆锥曲线与方程１１９ 值范围是 ．２－２答案 （１，２）解析 不妨令Ａ在ｘ轴上方．如图．由题意知Ａ点的纵坐标为ｂ２ａ，∵△ＡＢＥ是锐角三角形，∴∠ＡＥＦ＜４５°，∴ｔａｎ∠ＡＥＦ＝ｂ２ａａ＋ｃ＜１，则ｃ２－ａｃ－２ａ２＜０，∴ｅ２－ｅ－２＜０，∴－１＜ｅ＜２．又ｅ