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第四章三角函数真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养２０１９江苏，１３５分填空题中三角恒等变换①两角和的正切②二倍角的正弦直接法、公式法推理分析法数学运算２０１９江苏，１５１４分解答题易解三角形及应用①利用余弦定理求边②利用正弦定理求角公式法数学运算２０１８江苏，７５分填空题易三角函数的图象和性质根据图象的对称性求初相直接法数形结合直观想象数学运算２０１８江苏，１６１４分解答题易①同角三角函数的基本关系②三角恒等变换①利用同角三角函数的基本关系求三角函数值②利用三角恒等变换求值公式法数学运算２０１８江苏，１７１４分解答题中三角函数应用利用导数解决实际优化问题数形结合直观想象数学建模２０１７江苏，５５分填空题易三角函数的求值与化简利用两角和的正切公式求值公式法数学运算２０１７江苏，１６１４分解答题易①三角恒等变换②三角函数的性质及其应用①同角三角函数基本关系式②求三角函数的最值公式法数学运算２０１７江苏，１８１６分解答题中①解三角形②三角恒等变换①三角函数的定义②利用正弦定理求边长③两角和的正弦公式公式法直接法数学运算直观想象２０１６江苏，９５分填空题易三角函数的图象和性质求图象交点个数数形结合公式法数学运算２０１６江苏，１４５分填空题难三角恒等变换两角和差公式及变形公式法数学运算２０１６江苏，１５１４分解答题易①三角恒等变换②解三角形①同角三角函数的基本关系、诱导公式②两角和（差）的余弦公式③正弦定理及其应用公式法数学运算２０１５江苏，８５分填空题易三角函数的求值与化简两角和差的三角函数公式法数学运算２０１５江苏，１５１４分解答题易①解三角形②三角恒等变换①同角三角函数的基本关系②正、余弦定理及其应用公式法数学运算命题规律与趋势０１考查内容１．以三角函数为背景，考查图象的变换、性质的应用以及三角恒等变换．２．以解三角形为载体，考查正弦、余弦定理以及三角形面积公式的应用．３．以函数、不等式、向量为载体，考查与三角函数有关的综合性问题．０２命题特点从近５年高考情况来看，本章内容为高考必考内容，难度中等，填空题、解答题均有可能出现，分值约为１９分．０３解题方法直接法、公式法、分析法、数形结合法、整体换元法．０４核心素养本章考查的核心素养以数学运算、逻辑推理为主，同时兼顾考查直观想象．０５备考建议１．在复习备考中注意基础知识的积累，对于基础概念、定义，要弄清楚．２．切实掌握三角函数的图象、性质以及恒等变换思想．３．对于三角函数与解三角形的综合性问题，灵活运用正弦定理或余弦定理，注意方程思想与函数思想的应用．４．关注解题的规范性．０６命题趋势１．填空题考一题，主要考查三角恒等变换，其中以两角和差正切公式为主，考查二倍角公式，有时与不等式联系．２．解答题一般在第１５题出现，考查正弦定理、余弦定理或三角函数的图象、性质．３．有时在应用题也出现三角函数问题，常与导数相联系，构建三角函数关系，用导数解决．第四章 三角函数３５ §４．１ 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式对应学生用书起始页码Ｐ５４考点三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式高频考点 １．三角函数的概念（１）象限角第一象限角的集合α２ｋπ＜α＜π２＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ{}第二象限角的集合α２ｋπ＋π２＜α＜２ｋπ＋π，ｋ∈Ｚ{}第三象限角的集合α２ｋπ＋π＜α＜２ｋπ＋３２π，ｋ∈Ｚ{}第四象限角的集合α２ｋπ＋３２π＜α＜２ｋπ＋２π，ｋ∈Ｚ{} （２）终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是｛β｜β＝ｋ·３６０°＋α，ｋ∈Ｚ｝或｛β｜β＝α＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ｝．（３）弧长与扇形面积公式①弧长公式：ｌ＝｜α｜·ｒ；②扇形面积公式：Ｓ＝１２ｌ·ｒ＝１２｜α｜ｒ２．（其中ｌ为扇形弧长，α为圆心角，ｒ为扇形半径）（４）任意角的三角函数的定义①定义：设角α的终边与单位圆交于点Ｐ（ｘ，ｙ），则ｓｉｎα＝ｙ，ｃｏｓα＝ｘ，ｔａｎα＝ｙｘ（ｘ≠０）．②三角函数线三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线段的方向表示三角函数值的正负；线段的长度是三角函数值的绝对值．２．同角三角函数的基本关系（１）平方关系：ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１．（２）商数关系：ｓｉｎαｃｏｓα＝ｔａｎα．α≠π２＋ｋπ，ｋ∈Ｚ() ３．诱导公式组数一二三四五六角２ｋπ＋α（ｋ∈Ｚ）π＋α－απ－απ２－απ２＋α正弦ｓｉｎα－ｓｉｎα－ｓｉｎαｓｉｎαｃｏｓαｃｏｓα余弦ｃｏｓα－ｃｏｓαｃｏｓα－ｃｏｓαｓｉｎα－ｓｉｎα正切ｔａｎαｔａｎα－ｔａｎα－ｔａｎα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限 若把α看成锐角，则角２ｋπ＋α（ｋ∈Ｚ），π－α，π＋α，－α分别可看成第一、二、三、四象限的角，这几组角的三角函数公式的记忆口诀：函数名不变，符号看象限．若把α看成锐角，则角π２－α，π２＋α，３π２－α，３π２＋α分别可看成第一、二、三、四象限的角，这几组角的三角函数公式的记忆口诀：函数名改变，符号看象限．对应学生用书起始页码Ｐ５５同角三角函数的基本关系的应用 １．知弦求弦．利用诱导公式及平方关系ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１求解．２．知弦求切．常通过平方关系，将对称式ｓｉｎα±ｃｏｓα，ｓｉｎα·ｃｏｓα建立联系，注意ｔａｎα＝ｓｉｎαｃｏｓα的灵活应用．３．知切求弦．先利用商数关系得出ｓｉｎα＝ｔａｎα·ｃｏｓα或ｃｏｓα＝ｓｉｎαｔａｎα，然后利用平方关系求解．已知３ｓｉｎα＋４ｃｏｓα＝５，则ｔａｎα＝ ．解题导引导引一：把等式变形后两边平方，得关于ｃｏｓα的方程→解方程求得ｃｏｓα，进而得ｓｉｎα的值→由商数关系得结论导引二：等式两边平方，逆用ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ２α＝１，化为ｃｏｓα，ｓｉｎα的齐次式→利用“弦化切”，得关于ｔａｎα的方程→解方程得结论导引三：构造“对偶式”４ｓｉｎα－３ｃｏｓα＝ｘ→两式平方相加，求得ｘ→结论导引四：引入辅助角φ，得到α与φ的关系→利用诱导公式求出ｓｉｎα，ｃｏｓα的值→由商数关系得结论导引五：利用三角函数定义转化为求角α的终边所在直线的斜率→利用平方关系和已知条件转化为直线与圆的关系→由直线与圆相切得结论解析 解法一：由题意知３ｓｉｎα＝５－４ｃｏｓα，两边平方得９ｓｉｎ２α＝２５－４０ｃｏｓα＋１６ｃｏｓ２α，即２５ｃｏｓ２α－４０ｃｏｓα＋１６＝０，得ｃｏｓα＝４５，则ｓｉｎα＝３５，故ｔａｎα＝３４．解法二：等式两边平方得（３ｓｉｎα＋４ｃｏｓα）２＝２５，即９ｓｉｎ２α＋２４ｓｉｎαｃｏｓα＋１６ｃｏｓ２α＝２５（ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α），３６ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）两边同时除以ｃｏｓ２α，整理得１６ｔａｎ２α－２４ｔａｎα＋９＝０，解得ｔａｎα＝３４．解法三：设４ｓｉｎα－３ｃｏｓα＝ｘ，则ｘ２＋２５＝（４ｓｉｎα－３ｃｏｓα）２＋（３ｓｉｎα＋４ｃｏｓα）２＝２５，从而有ｘ＝０，则ｔａｎα＝３４．解法四：因为３ｓｉｎα＋４ｃｏｓα＝５ｓｉｎ（α＋φ），其中ｃｏｓφ＝３５，ｓｉｎφ＝４５．易知ｓｉｎ（α＋φ）＝１，则有α＋φ＝２ｋπ＋π２（ｋ∈Ｚ），则ｓｉｎα＝ｓｉｎ２ｋπ＋π２－φ()＝ｃｏｓφ＝３５，ｃｏｓα＝ｃｏｓ２ｋπ＋π２－φ()＝ｓｉｎφ＝４５，故ｔａｎα＝３４．解法五：设ｘ＝ｃｏｓα，ｙ＝ｓｉｎα，则有４ｘ＋３ｙ＝５，且ｘ２＋ｙ２＝１，从而角α终边上的点Ｐ（ｘ，ｙ）在单位圆上，且在直线ｌ：４ｘ＋３ｙ＝５上．又直线ｌ与单位圆相切，故直线ｌ与角α的终边所在直线垂直，所以角α的终边所在直线的斜率为３４，故ｔａｎα＝ｙｘ＝３４．答案 ３４１－１ 已知ｓｉｎα＋３ｃｏｓα３ｃｏｓα－ｓｉｎα＝５，则ｃｏｓ２α＋１２ｓｉｎ２α的值是 ．１－１答案 ３５解析 由ｓｉｎα＋３ｃｏｓα３ｃｏｓα－ｓｉｎα＝５得ｔａｎα＋３３－ｔａｎα＝５，可得ｔａｎα＝２，则ｃｏｓ２α＋１２ｓｉｎ２α＝ｃｏｓ２α＋ｓｉｎαｃｏｓα＝ｃｏｓ２α＋ｓｉｎαｃｏｓαｃｏｓ２α＋ｓｉｎ２α＝１＋ｔａｎα１＋ｔａｎ２α＝３５． １－２ （１）已知３ｓｉｎα－ｃｏｓα２ｓｉｎα＋３ｃｏｓα＝８９，求ｔａｎα的值；（２）已知０＜α＜π２，ｓｉｎα＝４５，求ｓｉｎ２α＋２ｓｉｎαｃｏｓαｃｏｓ２α＋１－２ｓｉｎ２α的值．１－２解析 （１）∵３ｓｉｎα－ｃｏｓα２ｓｉｎα＋３ｃｏｓα＝３ｔａｎα－１２ｔａｎα＋３＝８９，∴ｔａｎα＝３．（２）∵０＜α＜π２，ｓｉｎα＝４５，∴ｃｏｓα＝３５，ｔａｎα＝４３，∴ｓｉｎ２α＋２ｓｉｎαｃｏｓαｃｏｓ２α＋１－２ｓｉｎ２α＝ｓｉｎ２α＋２ｓｉｎαｃｏｓα２ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２α＝ｔａｎ２α＋２ｔａｎα２－ｔａｎ２α＝２０．