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４２ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）§４．４ 解三角形对应学生用书起始页码Ｐ６９考点一正弦定理与余弦定理高频考点 在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别是ａ，ｂ，ｃ，Ｒ是△ＡＢＣ的外接圆半径，则有：定理正弦定理余弦定理内容ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ＝２Ｒａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ；ｂ２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓＢ；ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓＣ变形公式（１）ａ∶ｂ∶ｃ＝ｓｉｎＡ∶ｓｉｎＢ∶ｓｉｎＣ；（２）ａ＝２ＲｓｉｎＡ，ｂ＝２ＲｓｉｎＢ，ｃ＝２ＲｓｉｎＣ；（３）ｓｉｎＡ＝ａ２Ｒ，ｓｉｎＢ＝ｂ２Ｒ，ｓｉｎＣ＝ｃ２Ｒ；（４）ａ＋ｂ＋ｃｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝２ＲｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂｃ＝（ｂ＋ｃ）２－ａ２２ｂｃ－１；ｃｏｓＢ＝ａ２＋ｃ２－ｂ２２ａｃ＝（ａ＋ｃ）２－ｂ２２ａｃ－１；ｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２－ｃ２２ａｂ＝（ａ＋ｂ）２－ｃ２２ａｂ－１应用类型（１）已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；（２）已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角（１）已知三边，求各角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角考点二解三角形及其综合应用高频考点 １．解三角形（１）利用余弦定理求边长，实质是解一元二次方程，解出后可根据已知条件对方程的根进行取舍．（２）在△ＡＢＣ中，已知ａ，ｂ和Ａ，利用正弦定理解三角形时，会出现解不确定的情况，一般可根据三角形中“大边对大角和三角形内角和定理”来取舍．在△ＡＢＣ中，已知ａ，ｂ和Ａ时，具体解的情况如下表：Ａ为锐角Ａ为钝角或直角图形关系式ａ＝ｂｓｉｎＡｂｓｉｎＡ＜ａ＜ｂａ≥ｂａ＞ｂ解的个数一解两解一解一解 上表中，若Ａ为锐角，则当ａ＜ｂｓｉｎＡ时无解；若Ａ为钝角或直角，则当ａ≤ｂ时无解．２．三角形中常用的结论在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别是ａ，ｂ，ｃ，常见的结论有：（１）Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π；（２）在△ＡＢＣ中，大角对大边，大边对大角，如：ａ＞ｂ⇔Ａ＞Ｂ⇔ｓｉｎＡ＞ｓｉｎＢ；（３）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；（４）在锐角三角形ＡＢＣ中，ｓｉｎＡ＞ｃｏｓＢ⇔Ａ＋Ｂ＞π２；（５）在斜△ＡＢＣ中，ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡ·ｔａｎＢ·ｔａｎＣ；（６）与三角形内角有关的常用三角恒等式：ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＣ；ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝－ｃｏｓＣ；ｔａｎ（Ａ＋Ｂ）＝－ｔａｎＣＡ＋Ｂ≠π２()；ｓｉｎＡ＋Ｂ２＝ｃｏｓＣ２；ｃｏｓＡ＋Ｂ２＝ｓｉｎＣ２．对应学生用书起始页码Ｐ７０一、三角形形状的判断 要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考．依据已知条件中的边角关系判断时，主要有以下两种途径：（１）化角为边：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．（２）化边为角：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用“△ＡＢＣ中，Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π”这个结论．（２０１９苏州３月检测，１５）在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ分别是内角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边，已知ｂ２＋ｃ２＝ａ２＋ｂｃ．（１）求角Ａ的大小；（２）若２ｓｉｎ２Ｂ２＋２ｓｉｎ２Ｃ２＝１，判断△ＡＢＣ的形状．思路分析 （１）ｂ２＋ｃ２＝ａ２＋ｂｃ⇒ｂ２＋ｃ２－ａ２＝ｂｃ⇒ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂｃ＝１２，结合余弦定理知ｃｏｓＡ＝１２，可求出角Ａ的大小；（２）用半角公式对２ｓｉｎ２Ｂ２＋２ｓｉｎ２Ｃ２＝１进行变形，得到ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝１，又由（１）的结论知，Ａ＝π３，Ｂ＋Ｃ＝２π３，与ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝１联立可求得Ｂ，Ｃ的值，由角判断△ＡＢＣ的形状．解析 （１）在△ＡＢＣ中，ｂ２＋ｃ２－ａ２＝２ｂｃｃｏｓＡ，又ｂ２＋ｃ２＝ａ２＋ｂｃ，∴ｃｏｓＡ＝１２，∴Ａ＝π３．（６分）（２）∵２ｓｉｎ２Ｂ２＋２ｓｉｎ２Ｃ２＝１，∴１－ｃｏｓＢ＋１－ｃｏｓＣ＝１，（８分）∴ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝１，即ｃｏｓＢ＋ｃｏｓ２π３－Ｂ()＝１，即ｃｏｓＢ＋ｃｏｓ２π３ｃｏｓＢ＋ｓｉｎ２π３ｓｉｎＢ＝１，第四章 三角函数４３ 即３２ｓｉｎＢ＋１２ｃｏｓＢ＝１，∴ｓｉｎＢ＋π６()＝１，∵０＜Ｂ＜π，∴Ｂ＝π３，Ｃ＝π３，∴△ＡＢＣ为等边三角形．（１４分） １－１ 在△ＡＢＣ中，若ｔａｎＡｔａｎＢ＝ａ２ｂ２，则△ＡＢＣ的形状是 ．１－１答案 等腰或直角三角形解析 由已知并结合正弦定理得ｓｉｎＡｃｏｓＡ·ｃｏｓＢｓｉｎＢ＝ｓｉｎ２Ａｓｉｎ２Ｂ，即ｃｏｓＢｃｏｓＡ＝ｓｉｎＡｓｉｎＢ，∴ｓｉｎＡｃｏｓＡ＝ｓｉｎＢｃｏｓＢ，即ｓｉｎ２Ａ＝ｓｉｎ２Ｂ，又Ａ、Ｂ为△ＡＢＣ的内角，∴２Ａ＝２Ｂ或２Ａ＋２Ｂ＝π，即Ａ＝Ｂ或Ａ＋Ｂ＝π２，所以△ＡＢＣ的形状为等腰三角形或直角三角形． １－２ 在△ＡＢＣ中，ｃ－ａ２ｃ＝ｓｉｎ２Ｂ２（ａ、ｂ、ｃ分别为角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边），则△ＡＢＣ的形状为 ．１－２答案 直角三角形解析 由ｃｏｓＢ＝１－２ｓｉｎ２Ｂ２得ｓｉｎ２Ｂ２＝１－ｃｏｓＢ２，∴ｃ－ａ２ｃ＝１－ｃｏｓＢ２，即ｃｏｓＢ＝ａｃ．解法一：由余弦定理得ａ２＋ｃ２－ｂ２２ａｃ＝ａｃ，即ａ２＋ｃ２－ｂ２＝２ａ２，∴ａ２＋ｂ２＝ｃ２．∴△ＡＢＣ为直角三角形．（无法判断两直角边是否相等）解法二：由正弦定理得ｃｏｓＢ＝ｓｉｎＡｓｉｎＣ，又ｓｉｎＡ＝ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）＝ｓｉｎＢｃｏｓＣ＋ｃｏｓＢｓｉｎＣ，∴ｃｏｓＢｓｉｎＣ＝ｓｉｎＢｃｏｓＣ＋ｃｏｓＢｓｉｎＣ，即ｓｉｎＢｃｏｓＣ＝０，又ｓｉｎＢ≠０，∴ｃｏｓＣ＝０，又角Ｃ为三角形的内角，∴Ｃ＝π２，∴△ＡＢＣ为直角三角形．（无法判断两直角边是否相等） １－３ 在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别是ａ，ｂ，ｃ，若２ａｓｉｎＡ＝（２ｂ－ｃ）ｓｉｎＢ＋（２ｃ－ｂ）ｓｉｎＣ．（１）求角Ａ的大小；（２）若ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝３，试判断△ＡＢＣ的形状．１－３解析 （１）由２ａｓｉｎＡ＝（２ｂ－ｃ）ｓｉｎＢ＋（２ｃ－ｂ）ｓｉｎＣ，得２ａ２＝（２ｂ－ｃ）ｂ＋（２ｃ－ｂ）ｃ，即ｂｃ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２，所以ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂｃ＝１２，因为０°＜Ａ＜１８０°，所以Ａ＝６０°．（２）因为Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１８０°，所以Ｂ＋Ｃ＝１８０°－６０°＝１２０°．由ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝３，得ｓｉｎＢ＋ｓｉｎ（１２０°－Ｂ）＝３，所以ｓｉｎＢ＋ｓｉｎ１２０°ｃｏｓＢ－ｃｏｓ１２０°ｓｉｎＢ＝３．所以３２ｓｉｎＢ＋３２ｃｏｓＢ＝３，即ｓｉｎ（Ｂ＋３０°）＝１．因为０°＜Ｂ＜１２０°，所以３０°＜Ｂ＋３０°＜１５０°．所以Ｂ＋３０°＝９０°，即Ｂ＝６０°．所以Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝６０°，所以△ＡＢＣ为等边三角形．二、三角形面积的计算 与三角形面积有关的问题主要有两种：一是求三角形的面积；二是给出三角形的面积，求其他量．解题时主要应用三角形的面积公式Ｓ＝１２ａｂｓｉｎＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ＝１２ａｃｓｉｎＢ，此公式既与边长的乘积有关，又与角的三角函数值有关，由此可以与正弦定理、余弦定理综合起来求解．（２０１９江苏宿迁期末，１５）已知三角形ＡＢＣ的面积是Ｓ，ＡＢ→·ＡＣ→＝２３３Ｓ．（１）求ｓｉｎＡ的值；（２）若ＢＣ＝２３，当三角形ＡＢＣ的周长取得最大值时，求三角形ＡＢＣ的面积Ｓ．解析 （１）由ＡＢ→·ＡＣ→＝２３３Ｓ得ＡＢ·ＡＣ·ｃｏｓＡ＝２３３×１２ＡＢ·ＡＣ·ｓｉｎＡ，所以ｃｏｓＡ＝３３ｓｉｎＡ．（２分）在三角形ＡＢＣ中，Ａ∈（０，π），得ｔａｎＡ＝３．（４分）所以∠Ａ＝π３，所以ｓｉｎＡ＝３２．（７分）（２）解法一：在三角形ＡＢＣ中，ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ，所以１２＝（ｂ＋ｃ）２－２ｂｃ－２ｂｃｃｏｓπ３，即（ｂ＋ｃ）２－１２＝３ｂｃ≤３ｂ＋ｃ２()２，（１０分）当且仅当ｂ＝ｃ时取等号，所以ｂ＋ｃ≤４３，所以周长的最大值为６３，此时ｂ＝ｃ＝２３，所以面积Ｓ＝１２ｂｃ·ｓｉｎＡ＝３３．（１４分）解法二：在三角形ＡＢＣ中，ＡＢｓｉｎＣ＝ＡＣｓｉｎＢ＝ＢＣｓｉｎＡ得ＡＢｓｉｎＣ＝ＡＣｓｉｎπ３＋Ｃ()＝２３３２＝４，所以周长ｌ＝ＢＣ＋ＡＢ＋ＣＡ＝２３＋４ｓｉｎＣ＋４ｓｉｎπ３＋Ｃ()＝２３＋４３ｓｉｎＣ＋π６()，（１０分）由Ｃ∈０，２π３()得，当Ｃ＝π３时，周长ｌ取得最大值６３，此时ＡＣ＝ＡＢ＝２３，所以面积Ｓ＝１２ＡＢ·ＡＣ·ｓｉｎＡ＝３３．（１４分） ２－１ 在△ＡＢＣ中，ａ，ｂ，ｃ分别为内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，且２ａｂｓｉｎＣ＝３（ｂ２＋ｃ２－ａ２），若ａ＝１３，ｃ＝３，则△ＡＢＣ的面积为 ．２－１答案 ３３解析 已知２ａｂｓｉｎＣ＝３（ｂ２＋ｃ２－ａ２），两边同时除以２ｂｃ，可得ａｃｓｉｎＣ＝３ｃｏｓＡ，则ｓｉｎＡ＝３ｃｏｓＡ，所以ｔａｎＡ＝３，所以Ａ＝π３．由余弦定理得１３＝ｂ２＋９－６ｂ·１２，解得ｂ＝４或ｂ＝－１（舍４４ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）去），由三角形面积公式得△ＡＢＣ的面积Ｓ＝１２ｂｃ·ｓｉｎＡ＝３３． ２－２ （２０１８常熟期中，１２）设△ＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别是ａ，ｂ，ｃ，Ｄ为ＡＢ的中点，若ｂ＝ａｃｏｓＣ＋ｃｓｉｎＡ且ＣＤ＝２，则△ＡＢＣ面积的最大值是 ．２－２答案 ２＋１解析 因为ｂ＝ａｃｏｓＣ＋ｃｓｉｎＡ，所以由正弦定理得ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＡｃｏｓＣ＋ｓｉｎＣｓｉｎＡ，即ｓｉｎＡｃｏｓＣ＋ｃｏｓＡｓｉｎＣ＝ｓｉｎＡ·ｃｏｓＣ＋ｓｉｎＣｓｉｎＡ，因为ｓｉｎＣ≠０，所以ｃｏｓＡ＝ｓｉｎＡ，即ｔａｎＡ＝１，因为Ａ∈（０，π），所以Ａ＝π４，在△ＡＣＤ中，由余弦定理得ＣＤ２＝ｂ２＋ｃ２４－２ｂ·ｃ２ｃｏｓπ４，即２２ｂｃ＝４ｂ２＋ｃ２－８≥４ｂｃ－８，所以ｂｃ≤４２－２＝４＋２２，当且仅当２ｂ＝ｃ时等号成立，所以Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ＝１２·２２ｂｃ≤２＋１．所以△ＡＢＣ面积的最大值为２＋１．