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第五章平面向量真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养２０１９江苏，１２５分填空题中数量积的综合应用①平面向量基本定理②线性运算、数量积运算公式法、特殊化、数形结合数学运算数学抽象２０１７江苏，１２５分填空题中①平面向量基本定理②平面向量的数量积①用基底表示向量②向量夹角及应用公式法数形结合直观想象数学运算２０１７江苏，１６１４分解答题易平面向量的数量积①向量平行的坐标表示②向量数量积的坐标运算公式法数学运算２０１６江苏，１３５分填空题难平面向量的数量积利用基底求数量积公式法数学运算２０１５江苏，６５分填空题易①平面向量的基本概念②平面向量基本定理及坐标运算①向量相等求参数值②平面向量的线性坐标运算公式法数学运算２０１５江苏，１４１５分解答题难平面向量的数量积数量积的坐标运算公式法数学运算命题规律与趋势０１考查内容１．平面向量线性运算的几何意义、数量积的定义、长度、角度问题、平面向量数量积的坐标表示及运算是常考内容．２．有时向量也会作为解答题的一个条件出现，如与解析几何、三角函数等结合考查．０２考频赋分直接考查，分值为５分．０３题型难度直接考查向量的试题一般为中等难度．有时作为一个已知条件在解答题中出现，要求能读懂向量的含义，这种情况我们一般利用向量的几何意义来做，也可以转化为向量的代数运算．０４命题特点高考对本章内容的考查以基础题为主．主要考查三块内容：（１）平面向量的线性运算及几何意义；（２）平面向量的数量积的定义及长度、角度问题；（３）平面向量的数量积的坐标表示，一般以填空题的形式直接进行考查，难度属中等．解答题中有时与三角函数、解析几何等内容综合考查，以一个已知条件的形式出现．０５解题方法直接法、公式法、转化法、数形结合法、坐标法等．０６核心素养数学运算与逻辑推理．０７备考建议１．从近五年江苏高考试题分析，以考查数量积的综合应用为主，同时考查平面向量基本定理、线性运算．２．可以从两个方面加以解决：一是利用数量积运算，用基底法解决；二是坐标法，能建系的尽量建系，然后利用坐标法解决．３．预计２０２０年仍然沿用这种考试形式，在复习中要多从通性、通法复习，以不变应万变．最新真题示例４６ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）§５．１ 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算对应学生用书起始页码Ｐ７４２０１５—２０１９对应学生用书起始页码Ｐ７４Ａ组 自主命题·江苏卷题组对应学生用书起始页码Ｐ７４考点一平面向量的线性运算及几何意义高频考点 １．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度（或模）平面向量是自由向量零向量长度为０的向量；其方向是任意的记作０单位向量长度等于１个单位的向量与非零向量ａ共线的单位向量为±ａ｜ａ｜平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量０与任一向量平行（或共线）相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量０的相反向量为０ ２．向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算（１）交换律：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ．（２）结合律：（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）减法求ａ与ｂ的相反向量－ｂ的和的运算三角形法则续表向量运算定义法则（或几何意义）运算律数乘求实数λ与向量ａ的积的运算（１）｜λａ｜＝｜λ｜｜ａ｜．（２）当λ＞０时，λａ与ａ的方向相同；当λ＜０时，λａ与ａ的方向相反；当λ＝０时，λａ＝０λ（μａ）＝（λμ）ａ；（λ＋μ）ａ＝λａ＋μａ；λ（ａ＋ｂ）＝λａ＋λｂ ３．共线向量定理向量ａ（ａ≠０）与向量ｂ共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使ｂ＝λａ．考点二平面向量基本定理及坐标表示高频考点 １．平面向量基本定理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量ａ，有且只有一对实数λ１、λ２，使ａ＝λ１ｅ１＋λ２ｅ２，其中ｅ１、ｅ２是一组基底．２．平面向量的坐标运算（１）若ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２），则ａ±ｂ＝（ｘ１±ｘ２，ｙ１±ｙ２）；（２）若Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ＡＢ→＝（ｘ２－ｘ１，ｙ２－ｙ１）；（３）若ａ＝（ｘ，ｙ），λ∈Ｒ，则λａ＝（λｘ，λｙ）．３．向量平行的坐标表示（１）如果ａ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２）（ｂ≠０），那么ａ∥ｂ的充要条件为ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０；（２）Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｃ（ｘ３，ｙ３）三点共线的充要条件为（ｘ２－ｘ１）（ｙ３－ｙ１）－（ｘ３－ｘ１）（ｙ２－ｙ１）＝０．４．几个重要结论：如图．（１）若ａ、ｂ为不共线向量，则ａ＋ｂ、ａ－ｂ是以ａ、ｂ为邻边的平行四边形的对角线向量；（２）｜ａ＋ｂ｜２＋｜ａ－ｂ｜２＝２（｜ａ｜２＋｜ｂ｜２）；（３）Ｇ为△ＡＢＣ的重心⇔ＧＡ→＋ＧＢ→＋ＧＣ→＝０⇔ＧｘＡ＋ｘＢ＋ｘＣ３，ｙＡ＋ｙＢ＋ｙＣ３æèçöø÷．第五章 平面向量４７ 对应学生用书起始页码Ｐ７５一、平面向量线性运算的解题策略 用已知向量来表示另外一些向量时要尽可能地转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知有直接关系的向量进行求解．（１）在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２，ＡＣ＝３，∠ＢＡＣ的平分线ＡＤ与ＡＢ边上的中线ＣＥ交于点Ｏ，若ＡＯ→＝ｘＡＢ→＋ｙＡＣ→（ｘ，ｙ∈Ｒ），则ｘ＋ｙ的值为 ．（２）已知平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ满足ＡＥ→＝２ＥＣ→，ＢＦ→＝３ＦＤ→，则ＥＦ→＝ （用ＡＢ→，ＡＤ→表示）．解析 （１）如图，在△ＡＥＯ中，由正弦定理得ＡＥｓｉｎ∠ＡＯＥ＝ＥＯｓｉｎ∠ＥＡＯ，在△ＡＣＯ中，由正弦定理得ＡＣｓｉｎ∠ＡＯＣ＝ＣＯｓｉｎ∠ＣＡＯ，两式相除得ＡＥＡＣ＝ＥＯＯＣ，因为ＡＥ＝１２ＡＢ＝１，ＡＣ＝３，所以ＥＯＯＣ＝１３．所以ＣＯ→＝３ＯＥ→，即ＡＯ→－ＡＣ→＝３（ＡＥ→－ＡＯ→），即４ＡＯ→＝３ＡＥ→＋ＡＣ→，所以４ＡＯ→＝３２ＡＢ→＋ＡＣ→，从而ＡＯ→＝３８ＡＢ→＋１４ＡＣ→，因为ＡＯ→＝ｘＡＢ→＋ｙＡＣ→，所以ｘ＝３８，ｙ＝１４，于是ｘ＋ｙ＝５８．（２）ＡＥ→＝２３ＡＣ→＝２３（ＡＢ→＋ＡＤ→），ＢＦ→＝３４ＢＤ→＝３４（ＡＤ→－ＡＢ→），所以ＥＦ→＝ＥＡ→＋ＡＢ→＋ＢＦ→＝－２３（ＡＢ→＋ＡＤ→）＋ＡＢ→＋３４（ＡＤ→－ＡＢ→）＝－５１２ＡＢ→＋１１２ＡＤ→．答案 （１）５８ （２）－５１２ＡＢ→＋１１２ＡＤ→ １－１ 如图，直角梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，∠ＤＡＢ＝９０°，ＡＤ＝ＡＢ＝４，ＣＤ＝１，动点Ｐ在边ＢＣ上，且满足ＡＰ→＝ｍＡＢ→＋ｎＡＤ→（ｍ，ｎ均为正实数），则１ｍ＋１ｎ的最小值为 ．１－１答案 ７＋４３４解析 解法一：建立如图所示的平面直角坐标系，则Ａ（０，０），Ｂ（４，０），Ｄ（０，４），Ｃ（１，４）．易求得ｋＢＣ＝－４３，故直线ＢＣ的方程为ｙ＝－４３（ｘ－４）．又ＡＰ→＝ｍＡＢ→＋ｎＡＤ→，ＡＢ→＝（４，０），ＡＤ→＝（０，４），所以ＡＰ→＝（４ｍ，４ｎ），故Ｐ（４ｍ，４ｎ），又点Ｐ在直线ＢＣ上，所以３ｎ＋４ｍ＝４，所以４１ｍ＋１ｎ()＝（３ｎ＋４ｍ）·１ｍ＋１ｎ()＝７＋３ｎｍ＋４ｍｎ≥７＋２１２＝７＋４３，当且仅当３ｎ２＝４ｍ２，３ｎ＋４ｍ＝４{即ｍ＝１２－６３３＝４－２３，ｎ＝８３－１２３时取等号．所以１ｍ＋１ｎ()ｍｉｎ＝７＋４３４．解法二：因为ＡＰ→＝ｍＡＢ→＋ｎＡＤ→，所以ＡＰ→＝ｍＡＢ→＋ｎ（ＡＣ→＋ＣＤ→）＝ｍＡＢ→＋ｎＡＣ→－ｎ４ＡＢ→＝ｍ－ｎ４()ＡＢ→＋ｎＡＣ→．又Ｃ，Ｐ，Ｂ三点共线，故ｍ－ｎ４＋ｎ＝１，即ｍ＋３ｎ４＝１，亦即４ｍ＋３ｎ＝４．以下同解法一． １－２ 如图所示，在△ＡＢＣ中，点Ｏ是ＢＣ的中点，过点Ｏ的直线分别交直线ＡＢ、ＡＣ于不同的两点Ｍ、Ｎ，若ＡＢ→＝ｍＡＭ→，ＡＣ→＝ｎＡＮ→，则ｍ＋ｎ的值为 ．１－２答案 ２解析 解法一：连接ＡＯ，由于Ｏ为ＢＣ的中点，故ＡＯ→＝１２（ＡＢ→＋ＡＣ→），ＭＯ→＝ＡＯ→－ＡＭ→＝１２（ＡＢ→＋ＡＣ→）－１ｍＡＢ→＝１２－１ｍ()ＡＢ→＋１２ＡＣ→，同理ＮＯ→＝１２ＡＢ→＋１２－１ｎ()ＡＣ→．由于向量ＭＯ→，ＮＯ→共线，故存在实数λ使得ＭＯ→＝λＮＯ→，即１２－１ｍ()ＡＢ→＋１２ＡＣ→＝λ１２ＡＢ→＋１２－１ｎ()ＡＣ→[]，由于ＡＢ→，ＡＣ→不共线，故１２－１ｍ＝１２λ且１２＝λ１２－１ｎ()，消去λ，得（ｍ－２）（ｎ－２）＝ｍｎ，化简即得ｍ＋ｎ＝２．解法二：连接ＡＯ，∵Ｏ是ＢＣ的中点，∴ＡＯ→＝１２（ＡＢ→＋ＡＣ→）．又∵ＡＢ→＝ｍＡＭ→，ＡＣ→＝ｎＡＮ→，∴ＡＯ→＝ｍ２ＡＭ→＋ｎ２ＡＮ→．∵Ｍ、Ｏ、Ｎ三点共线，∴ｍ２＋ｎ２＝１．∴ｍ＋ｎ＝２．４８ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）二、平面向量坐标运算的解题策略 引进向量的坐标运算可以使向量的线性运算用坐标来表示，从而实现向量运算的代数化，使几何问题转化成数量运算问题．利用平面向量的坐标运算来解题有两种情形：一是本身就是坐标关系，此时，只需应用向量的坐标运算法则进行求解；二是通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算把几何问题转化为代数问题求解．（１）在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝３，Ｐ为矩形内一点，且ＡＰ＝５２，ＡＰ→＝λＡＢ→＋μＡＤ→（λ，μ∈Ｒ），则５λ＋３μ的最大值为 ．（２）如图，已知平面内有三个向量ＯＡ→、ＯＢ→、ＯＣ→，其中ＯＡ→与ＯＢ→的夹角为１２０°，ＯＡ→与ＯＣ→的夹角为３０°，且｜ＯＡ→｜＝｜ＯＢ→｜＝１，｜ＯＣ→｜＝２３．若ＯＣ→＝λＯＡ→＋μＯＢ→（λ，μ∈Ｒ），则λ＋μ的值为 ．解析 （１）以矩形相邻两边所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图，则Ａ（０，０），Ｂ（５，０），Ｄ（０，３），设∠ＰＡＢ＝α，则Ｐ５２ｃｏｓα，５２ｓｉｎαæèçöø÷，因为ＡＰ→＝λＡＢ→＋μＡＤ→，所以５２ｃｏｓα，５２ｓｉｎαæèçöø÷＝λ（５，０）＋μ（０，３），所以５λ＝５２ｃｏｓα，３μ＝５２ｓｉｎα，故５λ＋３μ＝５２ｃｏｓα＋５２ｓｉｎα＝１０２ｓｉｎα＋π４()，由已知得０＜α＜π２，所以π４＜α＋π４＜３４π，所以２２＜ｓｉｎα＋π４()≤１，所以５λ＋３μ的最大值为１０２．（２）以Ｏ为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则Ａ（１，０），Ｂ－１２，３２æèçöø÷，Ｃ（３，３）．由ＯＣ→＝λＯＡ→＋μＯＢ→，得３＝λ－１２μ，３＝３２μ，ìîíïïïï解得λ＝４，μ＝２．{所以λ＋μ＝６．答案 （１）１０２ （２）６ ２－１ 如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｍ，Ｎ分别是ＢＣ，ＣＤ的中点，若ＡＣ→＝λＡＭ→＋μＢＮ→，则λ＋μ＝ ．２－１答案 ８５解析 解法一：以ＡＢ，ＡＤ所在直线分别为ｘ轴，ｙ轴建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为１，则ＡＭ→＝１，１２()，ＢＮ→＝－１２，１()，ＡＣ→＝（１，１）．∵ＡＣ→＝λＡＭ→＋μＢＮ→＝λ－１２μ，λ２＋μ()，∴λ－１２μ＝１，λ２＋μ＝１，ìîíïïïï解得λ＝６５，μ＝２５，ìîíïïïï∴λ＋μ＝８５．解法二：由题意得ＡＭ→＝ＡＢ→＋１２ＡＤ→，ＢＮ→＝－１２ＡＢ→＋ＡＤ→，则ＡＣ→＝λＡＭ→＋μＢＮ→＝λ－μ２()ＡＢ→＋λ２＋μ()ＡＤ→，又ＡＣ→＝ＡＢ→＋ＡＤ→，∴λ－μ２＝１，λ２＋μ＝１，ìîíïïïï解得λ＝６５，μ＝２５．ìîíïïïï∴λ＋μ＝８５．�