概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案

1概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案1．用切比雪夫不等式估计下列各题的概率．(1)废品率为03.0，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率；(2)200个新生儿中，男孩多于80个而少于120个的概率(假设男孩和女孩的概率均为5.0)．解：(1)设X为1000个产品中废品的个数，则X～)1000,03.0(B，有30)(XE，1.29)(XD，由切比雪夫不等式，得)3040303020()4020(XPXP)103010(XP)1030(XP709.0101.2912．(2)设X为200个新生儿中男孩的个数，则X～)200,5.0(B，有100)(XE，50)(XD，由切比雪夫不等式，得)10012010010080()12080(XPXP)2010020(XP)20100(XP87205012．2．一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X，估计)1810(XP．解：设iX为该骰子掷第i次出现的点数，则61)(kXPi，6,,2,1i，6,,2,1k．27)654321(61)(iXE，691)654321(61)(2222222iXE，1235)]([)()(22iiiXEXEXD，4,3,2,1i．因为4321XXXXX，且1X，2X，3X，4X相互独立，故有14)(XE，335)(XD．由切比雪夫不等式，得2)1418141410()1810(XPXP)4144(XP)414(XP271.0433512．3．袋装茶叶用及其装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为100g，标准差为10g，一大盒内装200袋，求一盒茶叶净重大于5.20kg的概率．解：设iX为一袋袋装茶叶的净重，X为一盒茶叶的净重，由题可知2001iiXX，100)(iXE，100)(iXD，200,,2,1i．因为1X，2X，…，200X相互独立，则20000)()(2001iiXEXE，20000)()(2001iiXDXD．))()(20500)()(()20500(2001XDXEXDXEXPXPii)1020020000205001020020000(XP)2251020020000(XP由独立同分布的中心极限定理，1020020000X近似地服从)1,0(N，于是0002.0)5.3(1)2251020020000(XP．4．有一批建筑用木桩，其80%的长度不小于3m．现从这批木桩中随机取出100根，试问其中至少有30根短于3m的概率是多少？解：设X为100根木桩中短于3m的根数，则由题可知X～)2.0,100(B，有20)(XE，16)(XD，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得3)30(1)30(XPXP)42030(1))()((1XDXEX0062.0)5.2(1．5．某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布．现随机选取16只，设它们的寿命是相互独立的．求这16只元件寿命总和大于1920h的概率．解：设iX为第i只电器元件的寿命，由题可知iX～)01.0(E，16,,2,1i，且1X，2X，…，16X相互独立，则100)(iXE，10000)(iXD．记161iiXX，则1600)()(161iiXEXE，160000)()(161iiXDXD．))()(1920)()(()1920(XDXEXDXEXPXP)400160019204001600(XP)8.04001600(XP，由独立同分布的中心极限定理，4001600X近似地服从)1,0(N，于是2119.0)8.0(1)8.04001600(XP．6．在数值计算中中，每个数值都取小数点后四位，第五位四舍五入(即可以认为计算误差在区间]105,105[55上服从均匀分布)，现有1200个数相加，求产生的误差综合的绝对值小于03.0的概率．解：设iX为每个数值的误差，则iX～)105,105(55U，有0)(iXE，1210)(8iXD，1200,,2,1i．从而0)()(12001iiXEXE，61200110)()(iiXDXD．由独立同分布的中心极限定理，X近似地服从)10,0(6N，于是)03.0(XP))()(03.0)()((XDXEXDXEXP4)12101200003.0121012000(44XP9974.01)3(2．7．某药厂断言，该厂生产的某药品对医治一种疑难的血液病治愈率为8.0．医院检验员任取100个服用此药的病人，如果其中多于75个治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言．(1)若实际上此药对这种病的治愈率是8.0，问接受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药对这种病的治愈率是7.0，问接受这一断言的概率是多少？解：设X为100个服用此药的病人中治愈的个数，(1)由题可知X～)8.0,100(B，则80)(XE，16)(XD，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得)75(1)75(XPXP)48075(1))()((1XDXEX8944.0)25.1(．(2)由题可知X～)7.0,100(B，则70)(XE，21)(XD，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得)75(1)75(XPXP)217075(1))()((1XDXEX1379.0)09.1(1．8．一射手在一次射击中，所得环数的分布律如下表：X678910P05.005.01.03.05.0求：(1)在100次射击中环数介于900环与930环之间的概率是多少？(2)超过950环的概率是多少？解：设X为100次射击中所得的环数，iX为第i次射击的环数，则1001iiXX，15.9)(iXE，95.84)(2iXE，52275.1)]([)()(22iiiXEXEXD，100,,2,1i．由1X，2X，…，100X相互独立，得915)()(1001iiXEXE，75.122)()(1001iiXDXD．由独立同分布的中心极限定理，75.122915X近似地服从)1,0(N，于是(1))930900(XP))()(930)()()()(900(XDXEXDXEXXDXEP)75.12291593075.12291575.122915900(XP)75.1221575.122915(XP823.01)35.1(2．(2))950(XP))()(950)()((XDXEXDXEXP)75.122915950)()((XDXEXP001.0)1.3(1．9．设有30个电子元件1A，2A，…，30A，其寿命分别为1X，2X，…，30X，且且都服从参数为1.0的指数分布，它们的使用情况是当iA损坏后，立即使用1iA(29,,2,1i)．求元件使用总时间T不小于350h的概率．解：由题可知iX～)1.0(E，30,,2,1i，则10)(iXE，100)(iXD．记301iiXT，由1X，2X，…，30X相互独立，得300)()(301iiXETE，3000)()(301iiXDTD．6))()(350)()(()350(TDTETDTETPTP)30103003503010300(TP)91.03010300(TP，由独立同分布的中心极限定理，3010300T近似地服从)1,0(N，于是1814.0)91.0(1)91.03010300(TP．10．大学英语四级考试，设有85道选择题，每题4个选择答案，只有一个正确．若需要通过考试，必须答对51道以上．试问某学生靠运气能通过四级考试的概率有多大？解：设X为该学生答对的题数，由题可知X～)41,85(B，则25.21)(XE，9375.15)(iXD，85,,2,1i．由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，近似地有9375.1525.21X～)1,0(N，得)8551(XP))()(85)()()()(51(XDXEXDXEXXDXEP)9375.1525.21859375.1525.219375.1525.2151(XP0)45.7()97.15(．即学生靠运气能通过四级考试的概率为0．