2019-2020学年高中数学 第2章 函数 2.1.2 函数的表示方法讲义 苏教版必修1

-1-2.1.2函数的表示方法学习目标核心素养1.理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)2.了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点)通过学习本节内容进一步提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养.1．函数的表示方法2．分段函数(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．()(2)任何一个函数都可以用解析法表示．()(3)有些函数能用三种方法来表示．()[答案](1)×(2)×(3)√2．若函数f(x)＝x，x0，x2－1，x0，则f(x)的定义域为______，值域为________．{x|x≠0}{y|y－1}[定义域为{x|x0或x0}＝{x|x≠0}，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)－1，∴值域为{y|y－1}．]3．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用-2-三种方法表示函数y＝f(x)．[解]列表法：笔记本数x12345钱数y510152025解析法：y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．图象法：求函数解析式【例1】求下列函数的解析式．(1)已知f(x)为一次函数，f(2x＋1)＋f(2x－1)＝－4x＋6，则f(x)＝________.(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________.(3)已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.(4)设函数f(x)＝2，x＞0，x2＋bx＋c，x≤0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为________．(5)若fx－2x＝x2＋4x2，则f(x)＝________.思路点拨：(1)(3)(4)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把x＋1看作一个整体来求解．(5)可以把x－2x看作一个整体来求解．(1)－x＋3(2)x2－1(x≥1)(3)2x－13或－2x＋1(4)f(x)＝2，x＞0x2＋4x＋2，x≤0(5)x2＋4[(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，f(2x＋1)＝a(2x＋1)＋b，f(2x－1)＝a(2x－1)＋b，f(2x＋1)＋f(2x－1)＝4ax＋2b＝－4x＋6，-3-所以4a＝－4，2b＝6，解得a＝－1，b＝3，即函数f(x)的解析式为f(x)＝－x＋3.(2)法一：令x＋1＝t(t≥1)，则x＝t－1，x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：f(x＋1)＝x＋2x＝(x＋1)2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(3)设所求函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x－1，则k2＝4，kb＋b＝－1，解得k＝2，b＝－13或k＝－2，b＝1，所以f(x)＝2x－13或f(x)＝－2x＋1.(4)由题意得16－4b＋c＝c，4－2b＋c＝－2，解得b＝4，c＝2，故f(x)＝2，x＞0，x2＋4x＋2，x≤0.(5)fx－2x＝x2＋4x2＝x－2x2＋4，∴f(x)＝x2＋4.]求函数解析式的常用方法1待定系数法：已知函数fx的函数类型，求fx的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程组，确定其系数即可.2换元法：令t＝gx，注明t的范围，再求出ft的解析式，然后用x代替所有的t即可求出fx，一定要注意t的范围即为fx中x的范围.3配凑法：已知fgx的解析式，要求fx时，可从fgx的解析式中拼凑出“gx”，即用gx来表示，再将解析式两边的gx用x代替即可.4代入法：已知y＝fx的解析式求y＝fgx的解析式时，可直接用新自变量gx替换y-4-＝fx中的x.1．(1)已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f(2)＝3，f(1)＝3，则f(x)＝________.(2)若fx＋1x＝x2＋1x2＋1x，则f(x)＝________.(1)x＋2x(2)x2－x＋1(x≠1)[(1)设f(x)＝k1x＋k2x，则f1＝k1＋k2＝3，f2＝2k1＋k22＝3⇒k1＝1，k2＝2，∴f(x)＝x＋2x.(2)令t＝x＋1x(t≠1)，则x＝1t－1，∴f(t)＝1t－12＋11t－12＋(t－1)＝t2－t＋1，∴f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．]分段函数【例2】已知函数f(x)＝x＋1，x≤－2，x2＋2x，－2x2，2x－1，x≥2.试求f(－5)，f(－3)，ff－52的值．思路点拨：要求各个函数值，需要把自变量代入到相应的解析式中．[解]由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－23.因为f－52＝－52＋1＝－32，－2－322，-5-所以ff－52＝f－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34.1．(变结论)本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．[解]①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，所以a＝2－2不合题意，舍去．②当－2a2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.所以(a－1)(a＋3)＝0，所以a＝1或a＝－3.因为1∈(－2,2)，－3(－2,2)，所以a＝1符合题意．③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意．综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.2．(变结论)本例条件不变，若f(m)m(m≤－2或m≥2)，求实数m的取值范围．[解]若f(m)m，即m≤－2，m＋1m或m≥2，2m－1m，即m≤－2或m≥2，m1，所以m≤－2或m≥2.所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值范围的并集即可．求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．-6-方程组法求解析式[探究问题]1．解二元一次方程组的主导思想是什么？[提示]主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种．2．解方程组：A＋B＝4，①A－B＝6，②[提示]法一(代入消元法)：由②得A＝B＋6，代入①得B＋6＋B＝4，∴B＝－1，代入A＝B＋6，得A＝5，∴A＝5，B＝－1.法二(加减消元法)：①＋②得2A＝10，∴A＝5，①－②得2B＝－2，∴B＝－1.3．探究2中，每个等式右边如果是代数式，如A＋B＝x2，A－B＝4x，能求A，B吗？[提示]能求A，B.仍可以采用上述两种方法．两式相加得2A＝x2＋4x，∴A＝x2＋4x2，两式相减得2B＝x2－4x，∴B＝x2－4x2.【例3】求解析式．(1)已知f(x)＋2f(－x)＝1x，求f(x)；(2)已知2f(x)＋f1x＝3x，求f(x)．思路点拨：将f(x)与f(－x)，f(x)与f1x分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f(x)．[解](1)∵f(x)＋2f(－x)＝1x，①用－x替换x得f(－x)＋2f(x)＝－1x，②②×2－①得3f(x)＝－2x－1x＝－3x，∴f(x)＝－1x.(2)∵2f(x)＋f1x＝3x，用1x替换x得2f1x＋f(x)＝3x，消去f1x得3f(x)＝6x－3x，∴f(x)＝2x－1x.-7-方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数fx，f1x，互为相反数(f(－x)，f(x))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用1x或－x替换原式中的x即可．2．已知f(x)满足f(x)＝2f1x＋x，则f(x)的解析式为________．f(x)＝－23x－x3[因为f(x)＝2f1x＋x，用1x替换x得f1x＝2f(x)＋1x，代入上式得f(x)＝22fx＋1x＋x，解得f(x)＝－23x－x3.]1．函数三种表示法的优缺点2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．-8-1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()C[先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.]2．已知函数f(3x＋1)＝x2＋3x＋2，则f(10)＝________.20[令3x＋1＝10，∴x＝3，代入得f(10)＝32＋3×3＋2＝20.]3．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝________.3x－2[设f(x)＝kx＋b(k≠0)，∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，∴k－b＝5，k＋b＝1，∴k＝3，b＝－2，∴f(x)＝3x－2.]4．已知函数f(x)＝x2－4，0≤x≤2，2x，x2.(1)求f(2)，f(f(2))的值；(2)若f(x0)＝8，求x0的值．[解](1)∵0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，∴f(2)＝22－4＝0，f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x0≤2时，由x20－4＝8，得x0＝±23(舍去)；当x02时，由2x0＝8，得x0＝4.∴x0＝4.-9-