2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1.3 两条直线的平行与垂直讲义 苏教

-1-2.1.3两直线的平行与垂直学习目标核心素养1．理解两条直线平行与垂直的判断条件．(重点)2．能根据斜率判定两条直线平行与垂直，体会用代数方法研究几何问题的思想．(重点、难点)通过学习本节内容来提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.1．两条直线平行(1)若直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2(k1，k2均存在)．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)思考：两平行直线的斜率是否一定相等．提示：只要斜率存在，则斜率一定相等．2．两条直线垂直(1)如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l1⊥l2⇔k1k2＝－1(k1，k2均存在)．(2)如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直．①②思考：两直线垂直，则两直线斜率乘积是否一定为－1?提示：两直线斜率存在的前提下，斜率乘积为－1.1.思考辨析(1)若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2.()(2)若直线l1∥l2(两条直线的斜率存在，分别为k1，k2)，则k1＝k2.()-2-(3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．()[答案](1)×(2)√(3)√2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k＝________．3[kAB＝3－03－2＝3，kl＝kAB＝3.]3．与直线x＋2y＋7＝0垂直的一条直线的斜率k＝______．2[直线x＋2y＋7＝0的斜率k＝－12，故与其垂直的一条直线的斜率k＝2.]4．过点(0，1)且与直线2x－y＝0垂直的直线的一般式方程是________．x＋2y－2＝0[直线2x－y＝0的斜率是k＝2，故所求直线的方程是y＝－12x＋1，即x＋2y－2＝0.]两直线平行的判定【例1】判断下列各题中直线l1与l2是否平行．(1)l1的斜率为1，l2经过点P(1，1)，Q(3，3)；(2)l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，l2经过点C(5，－2)，D(5，5)；(3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点C(－1，3)，D(2，0)；(4)l1：x－3y＋2＝0，l2：4x－12y＋1＝0.思路探究：依据斜率公式，求出斜率，利用l1∥l2或l1，l2重合⇔k1＝k2或k1，k2不存在判断．[解](1)k1＝1，k2＝3－13－1＝1，k1＝k2，∴l1与l2重合或l1∥l2.(2)l1与l2都与x轴垂直，通过数形结合知l1∥l2.(3)k1＝0－11－0＝－1，k2＝0－32－（－1）＝－1，k1＝k2，数形结合知l1∥l2.(4)l1的方程可变形为y＝13x＋23；l2的方程可变形为y＝13x＋112.∵k＝13，b1＝23，k2＝13，b2＝112，∵k1＝k2且b1≠b2，∴l1∥l2.判断两条直线平行的方法-3-1．根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系．(1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3，23)，N(－2，－33)．[解](1)由题意知k1＝5－1－3－2＝－45，k2＝－7－（－3）8－3＝－45.因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.(2)由题意知k1＝tan60°＝3，k2＝－33－23－2－3＝3.因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．两直线垂直的判定【例2】判断下列各题中直线l1与l2是否垂直．(1)直线l1：2x－4y＋7＝0，直线l2：2x＋y－5＝0；(2)直线l1：y－2＝0，直线l2：x－ay＋1＝0；(3)直线l1经过点0，54，53，0，l2经过点0，－78，76，0.思路探究：利用两直线垂直的斜率关系判定．[解](1)k1＝12，k2＝－2，∵k1·k2＝12×(－2)＝－1，∴l1与l2垂直．(2)当a＝0时，直线l2方程为x＝－1，即l2斜率不存在，又直线l1的斜率为0，故两直线垂直．当a≠0时，直线l2的斜率为1a，又直线l1的斜率为0，故两直线相交但不垂直．-4-(3)k1＝0－5453－0＝－34，k2＝0－－7876－0＝34.∵k1·k2≠－1，∴两条直线不垂直．1.判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行时，两直线也垂直．2.直接使用A1A2＋B1B2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．2．判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)；(3)l1经过点A(3，4)，B(3，100)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40)．[解](1)直线l1的斜率k1＝2－（－2）1－（－1）＝2，直线l2的斜率k2＝1－（－1）2－（－2）＝12，k1k2＝1，故l1与l2不垂直．(2)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝3－220－10＝110，k1k2＝－1，故l1⊥l2.(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．直线l2的斜率k2＝40－4010－（－10）＝0，则l2∥x轴．故l1⊥l2.两直线平行与垂直的应用[探究问题]1．如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，且α1α2，斜率分别为k1，k2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？-5-[提示]α2＝90°＋α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．2．已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．[提示]四边形ABCD为直角梯形，理由如下：如图，由斜率公式得kAB＝5－32－（－4）＝13，kCD＝0－3－3－6＝13，kAD＝0－3－3－（－4）＝－3，kBC＝3－56－2＝－12，∵kAB＝kCD，AB与CD不重合．∴AB∥CD，又kAD≠kBC，∴AD与BC不平行．又∵kAB·kAD＝13×(－3)＝－1，∴AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．【例3】已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．思路探究：利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直线平行与垂直的直线系方程求解．[解]法一：∵3x＋4y－20＝0，∴kl＝－34.(1)设过点A与l平行的直线为l1.∵kl1＝kl＝－34，∴l1的方程为y－2＝－34(x－2)，即3x＋4y－14＝0.(2)设过点A与l垂直的直线为l2.∵klkl2＝－1，∴－34×kl2＝－1，∴kl2＝43.∴l2的方程为y－2＝43(x－2)，即4x－3y－2＝0.法二：(1)设与直线l平行的直线方程为3x＋4y＋m＝0，则6＋8＋m＝0，∴m＝－14，∴3x＋4y－14＝0为所求．-6-(2)设与直线l垂直的直线方程为4x－3y＋n＝0，则8－6＋n＝0，∴n＝－2，∴4x－3y－2＝0为所求．两直线平行或垂直的应用(1)求与已知直线平行或垂直的直线．此类问题有两种处理方法：一是利用平行与垂直的条件求斜率，进而求方程；二是利用直线系方程求解，与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋D＝0(C≠D)，垂直的直线系方程为Bx－Ay＋D＝0.(2)由直线平行或垂直求参数的值，此类问题直接利用平行和垂直的条件，列关于参数的方程求解即可．3．(1)已知四点A(5，3)，B(10，6)，C(3，－4)，D(－6，11)，求证：AB⊥CD；(2)已知直线l1的斜率k1＝34，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，求实数a的值．[解](1)证明：由斜率公式得：kAB＝6－310－5＝35，kCD＝11－（－4）－6－3＝－53，则kAB·kCD＝－1，∴AB⊥CD.(2)∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即34×a2＋1－（－2）0－3a＝－1，解得a＝1或a＝3.1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线平行的步骤．(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法．(3)判断图形形状的方法步骤．3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．-7-1．下列说法正确的有()A．若两直线斜率相等，则两直线平行B．若l1∥l2，则k1＝k2C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行C[A中，当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，错误；B中，若l1∥l2，则k1＝k2或两直线的斜率都不存在，错误；D中两直线可能重合．]2．过点(3，6)，(0，3)的直线与过点(6，2)，(2，0)的直线的位置关系为________．垂直[过点(3，6)，(0，3)的直线的斜率k1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2，0)的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋2.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．]3．已知直线(a－1)x＋y－1＝0与直线2x＋ay＋1＝0平行，则实数a＝________．2[由已知，得(a－1)a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，两直线重合，故a＝2.]4．已知直线l1：ax＋3y＝3，l2：x＋2ay＝5，若l1⊥l2，求a的值．[解]直线l1：ax＋3y－3＝0，直线l2：x＋2ay－5＝0.∵l1⊥l2，∴a×1＋3×2a＝0，即a＝0.