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-1-第1课时点斜式学习目标核心素养1.掌握直线的点斜式与斜截式方程．(重点、难点)2．能利用点斜式求直线的方程．(重点)3．了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系．(易混点)通过学习本节内容来提升学生的数学运算和逻辑推理数学核心素养.1．直线的点斜式方程(1)过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程y－y1＝k(x－x1)叫做直线的点斜式方程．(2)过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的方程为x＝x1．2．直线的斜截式方程斜截式方程：y＝kx＋b，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距．思考：(1)“斜截式方程的应用前提是什么？(2)截距是距离吗？提示：(1)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在．(2)纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．1.思考辨析(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.()(2)直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念．()(3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．()(4)当直线的斜率不存在时，过点(x1，y1)的直线方程为x＝x1.()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．过点(2，3)，斜率为－1的直线的方程为________．y＝－x＋5[由点斜式方程得：y－3＝－1·(x－2)，∴y－3＝－x＋2，即y＝－x＋5.]-2-3.过点P(1，1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．y＝1x＝1[过点P(1，1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.]4.已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线方程为________．3x－y－2＝0[k＝tan60°＝3，且过点(0，－2)，所以直线方程为y＋2＝3(x－0)，即3x－y－2＝0.]利用点斜式求直线的方程【例1】根据下列条件，求直线的方程．(1)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；(2)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；(3)经过点A(1，1)，B(2，3)．思路探究：先求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程．[解](1)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan45°＝1，∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.(2)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0，∴直线方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.(3)∵直线的斜率k＝3－12－1＝2.∴直线的点斜式方程为y－3＝2×(x－2)，即2x－y－1＝0.1．求直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；(2)斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．2．求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解．1．求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程：-3-(1)经过点(－1，2)；(2)在x轴上的截距是－5.[解](1)∵所求直线的倾斜角为135°，∴斜率k＝tan135°＝－1，又直线经过点(－1，2)，∴所求直线方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)∵所求直线在x轴上的截距是－5，即过点(－5，0)，又所求直线的斜率为－1，∴所求直线方程是y－0＝－(x＋5)，即x＋y＋5＝0.利用斜截式求直线的方程【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.思路探究：(1)直接利用斜截式写出方程；(2)先求斜率，再用斜截式求方程；(3)截距有两种情况．[解](1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan150°＝－33.由斜截式可得方程为y＝－33x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.1.直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在．2.当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时，可以直接写出直线的斜截式方程；当斜率和纵截距不直接给出时，求直线的斜截式方程可以利用待定系数法求解．2．根据下列条件，求直线的斜截式方程．(1)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.-4-(2)倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10.[解](1)由题意可知所求直线的斜率k＝tan30°＝33，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝33x.(2)设直线y＝－3x＋1的倾斜角为α，则tanα＝－3，∴α＝120°，∴所求直线的斜率k＝tan60°＝3.∴直线的斜截式方程为y＝3x－10.含参数方程问题[探究问题]1．对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的取值范围是多少？[提示]直线y＝kx＋1过定点(0，1)，直线不过第三象限，只需k0.2．已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为a.(1)求直线l的方程．(2)当a为何值时，直线l经过点(4，－3)?[提示](1)因为直线l的斜率k＝2，在y轴上的截距为a，由直线方程的斜截式可得y＝2x＋a.(2)由于点(4，－3)在直线l上，把点的坐标代入l的方程y＝2x＋a得－3＝2×4＋a，所以a＝－11.【例3】已知直线l经过点P(4，1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程．思路探究：设出直线的点斜式方程，表示出横、纵截距，利用三角形面积得斜率方程，求解即可．[解]设所求直线的点斜式方程为：y－1＝k(x－4)(k0)，当x＝0时，y＝1－4k；当y＝0时，x＝4－1k.由题意，得12×(1－4k)×4－1k＝8.解得k＝－14.所以直线l的点斜式方程为y－1＝－14(x－4)．在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负-5-不确定时，要进行分类讨论．3．已知直线l的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的方程．[解]设直线方程为y＝16x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.由已知可得12·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1.故所求直线方程为y＝16x＋1或y＝16x－1，即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.1．本节课的重点是了解直线方程的点斜式的推导过程，掌握直线方程的点斜式并会应用，掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．难点是了解直线方程的点斜式的推导过程．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求点斜式方程的方法步骤．(2)求斜截式方程的求解策略．(3)含参数方程问题的求解．3．本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况．1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－1，－2)，斜率为1C[方程变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.]2．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线方程是________．2x－y＋2＋1＝0[由方程知，已知直线的斜率为22，∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝2(x＋1)，即2x－y＋2＋1＝0.]-6-3．直线x＋y＋1＝0的倾斜角与其在y轴上的截距分别是________．135°，－1[直线x＋y＋1＝0变成斜截式得y＝－x－1，故该直线的斜率为－1，在y轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tanα＝－1，即α＝135°.]4．求经过点A(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．[解]设直线方程为y－4＝k(x＋3)(k≠0)．当x＝0，y＝4＋3k，当y＝0，x＝－4k－3，∴3k＋4－4k－3＝12，即3k2－11k－4＝0，∴k＝4或k＝－13.∴直线方程为y－4＝4(x＋3)或y－4＝－13(x＋3)，即4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.