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-1-第3课时一般式学习目标核心素养1.了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式．(重点、难点)2．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程几种形式之间的关系．(易错、易混点)3．能灵活应用直线方程的几种形式求直线方程．(重点)通过学习本节内容来提升学生的数学运算和数学建模核心素养.1．直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)来表示．(2)在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线．2．直线的一般式方程(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示直线．方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫做直线方程的一般式．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－AB，在y轴上的截距为－CB；当B＝0时，在x轴上的截距为－CA；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－CA，－CB．(3)直线一般式方程的结构特征①方程是关于x，y的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．③x的系数一般不为分数和负数．④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．1.思考辨析(1)在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0都表示一条-2-直线．()(2)直线的点斜式方程、两点式方程都可以化成一般式方程，反之，直线的一般式方程也都可以化成点斜式方程、两点式方程．()(3)直线方程的一般式同二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)之间是一一对应关系．()(4)方程①x＋2y－3＝0；②x－3＝0；③y＋1＝0均表示直线．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．过点(1，2)，斜率为0的直线对应的二元一次方程为________．y－2＝0[过点(1，2)，斜率为0的直线方程为y＝2，其对应的二元一次方程为y－2＝0.]3．方程x3－y2＝1，化成一般式为________．2x－3y－6＝0[由x3－y2＝1，得2x－3y－6＝0.]4．经过点(－2，3)，且斜率为2的直线方程的一般式为______________．2x－y＋7＝0[由点斜式方程得y－3＝2(x＋2)，整理得y＝2x＋7，即2x－y＋7＝0.]求直线的一般式方程【例1】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3，且经过点A(2，3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为－1；(3)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；(4)在x，y轴上的截距分别是3，－1.思路探究：选择恰当方程形式，代入条件，再化成一般式．[解](1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝3(x－2)，化为一般式为3x－y＋3－23＝0.(2)由斜截式方程可知，所求直线方程为y＝4x－1，化为一般式为4x－y－1＝0.(3)由两点式方程可知，所求直线方程为y－5－1－5＝x－（－1）2－（－1）.-3-化为一般式方程为2x＋y－3＝0.(4)由截距式方程可得，所求直线方程为x3＋y－1＝1.化成一般式方程为x－3y－3＝0.求直线的一般式方程，设一般式用待定系数法求解并不简单，通常是根据题干条件选用点斜式，斜截式，两点式或截距式先求出方程，再化为一般式．1．求满足下列条件的直线方程，并化成一般式．(1)斜率为3，经过点(5，－4)；(2)斜率为－2，经过点(0，2)；(3)经过两点(2，1)和(3，－4)；(4)经过两点(2，0)和(0，－3)．[解](1)∵直线的斜率为3，过点(5，－4)，由直线的点斜式方程，得y＋4＝3(x－5)，∴所求直线方程为3x－y－19＝0.(2)∵直线的斜率为－2，在y轴上的截距为2，由直线的斜截式方程，得y＝－2x＋2，∴所求直线方程为2x＋y－2＝0.(3)∵直线过两点(2，1)和(3，－4)，由直线的两点式方程，得y－1－4－1＝x－23－2，∴所求直线方程为5x＋y－11＝0.(4)∵直线在x轴，y轴上的截距分别为2和－3，由直线的截距式方程，得x2＋y－3＝1，∴所求直线方程为3x－2y－6＝0.直线方程的应用【例2】一根铁棒在20℃时，长10.4025米，在40℃时，长10.4050米，已知长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程求这根铁棒在25℃时的长度．-4-思路探究：把(20，10.4025)和(40，10.4050)视为直线l上的两个点，利用两点式求l的方程，并估计t＝25℃时的值．[解]这条直线经过两点(20，10.4025)和(40，10.4050)，根据直线的两点式方程，得l－10.402510.4050－10.4025＝t－2040－20，即l＝0.0025×t20＋10.4000，当t＝25℃时，l＝0.0025×2520＋10.4000＝0.003125＋10.4000＝10.403125.即当t＝25℃时，铁棒长为10.403125米．在解决实际问题时，选择直线方程的形式不同，导致运算的繁简程度也不一样．待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法．一般地，已知一点，设k为待定系数，但要注意分k存在与不存在两种情况进行讨论．若已知斜率k，则设在y轴上的截距b为待定系数．有关直线与坐标轴围成的三角形问题，则设横截距和纵截距为待定系数，总之，应因题而异，寻找解题的最佳方法．2．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图所示，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．10[设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝15，t＝150时，150k2－150k1－20＝150×15－20＝10.]含参数方程与直线的位置关系[探究问题]-5-1．直线5ax－5y－a＋3＝0是否一定过第一象限？为什么？[提示]5ax－5y－a＋3＝0变形为a(5x－1)＋3－5y＝0.当5x－1＝0时，3－5y＝0即直线过定点15，35，所以不论a为何值，直线一定过第一象限．2．要使直线5ax－5y－a＋3＝0不经过第二象限，那么a的取值范围是什么？[提示]易知直线5ax－5y－a＋3＝0过定点A15，35，直线OA的斜率为k＝35－015－0＝3.而直线l的方程整理得y－35＝ax－15.∵l不经过第二象限，∴k＝a≥3.【例3】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．思路探究：(1)分直线“过原点”和“不过原点”两类分别求解．(2)分“斜率为零”和“斜率不为零”两类分别求解．[解](1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，即截距相等，∴a＝2时满足条件，此时l的方程为3x＋y＝0；当a＝－1时，直线平行于x轴，在x轴无截距，不合题意；当a≠－1，且a≠2时，由a－2a＋1＝a－2，即a＋1＝1，即a＝0.此时直线在x轴，y轴上的截距都为－2，l的方程为x＋y＋2＝0.综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0时，l在两坐标轴上的截距相等．(2)假设存在实数a，使直线l不经过第二象限．将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，则有－（a＋1）≥0，a－2≤0，解得a≤－1.1．本题(1)在求解过程中，常因忽略直线l过原点的情况而产生漏解；本题(2)在求解过程中，常因漏掉“－(a＋1)＝0”的情形而漏解．2．解答此类综合问题，常采用分类讨论(或数形结合)的思想求解．解题时应结合具体问-6-题选好切入点，以防增(漏)解．3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围．[解](1)证明：直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，令x＋2＝0，1－y＝0，解得x＝－2，y＝1，∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1)．(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有－1＋2kk≤－2，1＋2k≥1，解得k0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.故k的取值范围为{k|k≥0}．1．本节课的重点是了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线方程的一般式，能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化，难点是能根据所给条件求直线方程并能在几种形式间相互转化．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求直线一般式方程的策略．(2)弄清楚直线的一般式方程和其他几种形式之间的关系以及每种形式的适用条件，在解题时注意选择恰当的直线方程．(3)含参数方程与直线的位置关系，即直线过定点、过某象限等．1．过点(0，－1)，倾斜角为60°的直线的一般式方程为()A．y＝3x－1B．y＝3x＋1C.3x－y－1＝0D.3x－y＋1＝0C[k＝tan60°＝3，由斜截式方程得y＝3x－1，化为一般式：3x－y－1＝0.]-7-2．已知直线的一般式方程为2x＋y－4＝0，且点(0，a)在直线上，则a＝__________．4[把点(0，a)的坐标代入方程2x＋y－4＝0，得a－4＝0，所以a＝4.]3．已知ab0，bc0，则直线ax＋by＝c通过第________象限．一、三、四[由ax＋by＝c，得y＝－abx＋cb，∵ab0，∴直线的斜率k＝－ab0，直线在y轴上的截距cb0.由此可知直线通过第一、三、四象限．]4．已知一个等腰三角形，两腰长是5，底边长是8，建立适当坐标系，求两腰所在的直线的方程．[解]如图，以底边BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，易知点B，C的坐标分别为(－4，0)，(4，0)．在Rt△AOC中，AC＝5，OC＝4，则OA＝3.所以点A的坐标为(0，3)．由直线的截距式方程得腰AB所在的直线方程为：x－4＋y3＝1，即3x－4y＋12＝0；腰AC所在的直线方程为x4＋y3＝1，即3x＋4y－12＝0.