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-1-第2课时圆的一般方程学习目标核心素养1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(易错点)2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点、难点)通过学习本节内容来提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.1．圆的一般方程的定义(1)当D2＋E2－4F0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为－D2，－E2，半径为12D2＋E2－4F．(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点－D2，－E2．(3)当D2＋E2－4F0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．思考：圆的一般方程具有怎样的特点？提示：(1)x2，y2项的系数均为1；(2)没有xy项；(3)D2＋E2－4F0.2．点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆外x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F0点M在圆上x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝0点M在圆内x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F01.思考辨析(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．()(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．()(3)方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.()(4)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆应满足的条件是①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4F0.()-2-[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0化为标准形式为________________________．(x－1)2＋(y＋2)2＝2[由x2＋y2－2x＋4y＋3＝0，得(x－1)2＋(y＋2)2＝2.故圆的标准形式为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.]3．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆，则m的取值范围是________．(－∞，1)[由题意可知，16＋(－2)2－20m＞0，解得m＜1.]4．点A(4，1)在圆x2＋y2－2y－19＝0________(填“内”，“外”“上”)．内[当x＝4，y＝1时，x2＋y2－2y－19＝42＋12－2×1－19＝－4＜0，故点A在圆内．]二元二次方程的曲线与圆的关系【例1】下列方程能否表示圆？若能，求出圆心坐标和半径．(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；(2)x2－2xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－4y＝0；(5)ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0(a≠0)．思路探究：根据二元二次方程表示圆的条件判断．[解](1)∵A≠B，∴不能表示圆．(2)∵方程中含有xy项，∴不能表示圆．(3)∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×100，∴不能表示圆．(4)方程变形为x2＋y2－2y＝0.配方得x2＋(y－1)2＝1，故方程表示圆，其圆心为(0，1)，半径为1.(5)法一：∵a≠0，∴原方程可化为x2＋y2－4（a－1）ax＋4ay＝0，即x－2（a－1）a2＋y＋2a2＝4[（a－1）2＋1]a2.∵4[（a－1）2＋1]a20，∴原方程表示圆，此时圆心坐标为2（a－1）a，－2a，半径r＝2a2－2a＋2|a|.-3-法二：∵a≠0，∴原方程可化为x2＋y2－4（a－1）ax＋4ay＝0.∵D2＋E2－4F＝16（a－1）2a2＋16a2＝16（a－1）2＋16a20，∴原方程表示圆，此时圆心坐标为2（a－1）a，－2a，半径r＝2a2－2a＋2|a|.形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F0，则方程表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．1．讨论方程x2＋y2＋2ay＋1＝0(a∈R)表示曲线的形状．[解]当a－1或a1时，此方程表示的曲线是圆心为(0，－a)，半径为a2－1的圆；当a＝±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为(0，－a)；当－1a1时，此方程不表示任何曲线．圆的一般方程的求法【例2】已知△ABC三个顶点的坐标为A(1，3)，B(－1，－1)，C(－3，5)，求这个三角形外接圆的一般方程，并判断点M(1，2)，N(4，5)，Q(2，3)与圆的位置关系．思路探究：解答本题，可设出圆的一般方程，用待定系数法求解．也可根据圆的性质，求圆心、半径，再写方程．[解](1)法一：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)．∵此圆过A，B，C三点，∴12＋32＋D＋3E＋F＝0，（－1）2＋（－1）2－D－E＋F＝0，（－3）2＋52－3D＋5E＋F＝0，-4-解得D＝4，E＝－4，F＝－2.∴圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则（1－a）2＋（3－b）2＝r2，①（－1－a）2＋（－1－b）2＝r2，②（－3－a）2＋（5－b）2＝r2，③②－①，③－①得a＋2b－2＝0，2a－b＋6＝0，解得a＝－2，b＝2.∴r2＝10.∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.即圆的一般式方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.法三：AB的中垂线方程为y－1＝－12(x－0)，BC的中垂线方程为y－2＝13(x＋2)，联立解得圆心坐标为(－2，2)．设圆的半径为r，则r2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10，∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10，即圆的一般式方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.法四：由于kAB＝－1－3－1－1＝2，kAC＝5－3－3－1＝－12，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以∠A为直角的直角三角形，∴外接圆圆心为BC的中点，即(－2，2)，半径r＝12|BC|＝10，∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.即圆的一般式方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.(2)∵M(1，2)，∴12＋22＋4×1－4×2－2＝－10，∴点M(1，2)在圆内．∵N(4，5)，∴42＋52＋4×4－4×5－2＝350，-5-∴点N(4，5)在圆外．∵Q(2，3)，∴22＋32＋4×2－4×3－2＝70，∴点Q(2，3)在圆外．本题法一、法二中采用了待定系数法．用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.法三则是充分利用了圆的性质：“弦的中垂线过圆心”．通过求两条弦的中垂线的交点求出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程．圆的标准方程和一般方程有如下关系：(1)由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可以直接看出圆心坐标(a，b)和半径r，圆的几何特征明显．(2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显．(3)2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．[解]圆心C－D2，－E2，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－D2－E2－1＝0，即D＋E＝－2，①又r＝D2＋E2－122＝2，∴D2＋E2＝20，②由①②可得D＝2，E＝－4或D＝－4，E＝2.-6-又圆心在第二象限，∴－D20，即D0，∴D＝2，E＝－4，∴圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.轨迹问题[探究问题]1．若|AB|＝2，C为AB的中点，动点P满足|PC|＝2，那么P点轨迹是什么曲线？求出曲线方程？[提示]以AB所在直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，则C(0，0)，P点的轨迹是以C为圆心，半径为2的圆的方程为x2＋y2＝4.2．已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A(0，2)的距离都是2，求这条曲线的方程，并说明是什么曲线．[提示]设点M(x，y)是曲线上任意一点，根据题意，有：x2＋（y－2）2＝2.两边平方，得x2＋(y－2)2＝4.因为曲线在x轴上方，y0，所以曲线方程应是x2＋(y－2)2＝4(y0)．曲线是圆心为(0，2)，半径为2的圆在x轴上方的部分．【例3】(1)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是__________________．(2)已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足PA＝2PB.若点P的轨迹为曲线C，则此曲线的方程为__________．思路探究：(1)设出中点坐标和圆上点的坐标，用圆上点的坐标表示中点坐标，再代入圆的方程，化简即可．(2)设出点P的坐标，利用PA＝2PB得点P坐标的关系，化简即可．(1)(x－2)2＋(y＋1)2＝1(2)(x－5)2＋y2＝16[(1)设圆上任意一点为(x1，y1)，它与点P连线的中点坐标为(x，y)，则x＝x1＋42，y＝y1－22，所以x1＝2x－4，y1＝2y＋2，又(x1，y1)在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.(2)设点P的坐标为(x，y)，则（x＋3）2＋y2＝2（x－3）2＋y2.化简可得(x－5)2＋y2＝16，此即为所求．]-7-求与圆有关的轨迹问题常用的方法(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．如上例(2)．(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)的运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．如上例(1)．3．已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．[解]设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3，3)．∵CM⊥AM，∴kCM·kAM＝－1，即y－3x－3·y＋5x＋3＝－1，即x2＋(y＋1)2＝25.∴所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25.1．本节课的重点是了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径，会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题，初步掌握求动点的轨迹方程的方法．难点是会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)二元二次方程表示圆的判定方法．(2)应用待定系数法求圆的方程的方法．(3)代入法求轨迹方程的一般步骤．3．本节课的易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件．1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(－4，6)B．(－2，3)C．(4，－6)D．(2，－3)D[x0＝－－42＝2，y0＝－62＝－3，故圆心坐标为(2，－3)．]-8-2．经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)的圆的方程为__________．x2＋y2－7x－3y＋2＝0[设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.将A，B，C三点代入，整理得方程组D－E＋F＝－2，D＋4E＋F＝－17，4D－2E＋F＝－20，解得D＝－7，E＝－3，F＝2.∴所求圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.]3．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为________．(－a，－b)[原方程可化为