2019-2020学年高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1.2 指数函数（第2课时）

-1-第2课时指数函数的图象与性质的应用学习目标核心素养1.能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问题．(重点、难点)2.能应用指数函数及其性质解决实际应用题．(难点)通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养.指数函数形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．某人于今年元旦到银行存款a万元，银行利率为月息p，则该人9月1日取款时，连本带利共可以取出金额为________．a(1＋p)8[一个月后a(1＋p)，二个月后a(1＋p)(1＋p)＝a(1＋p)2，…9月1日取款时共存款8个月，则本利和为a(1＋p)8.]求函数的定义域、值域【例1】求下列函数的定义域和值域：(1)y＝21x－4；(2)y＝1－2x；(3)y＝12x2－2x－3.思路点拨：使式子的每个部分有意义，即可求得各自的定义域，求值域时要把函数予以分解，求指数的范围，再求整个函数的值域．[解](1)由x－4≠0，得x≠4，故y＝21x－4的定义域为{x|x≠4}．又1x－4≠0，即21x－4≠1，-2-故y＝21x－4的值域为{y|y0，且y≠1}．(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，∴y＝1－2x的定义域为(－∞，0]．由02x≤1，得－1≤－2x0，∴0≤1－2x1，∴y＝1－2x的值域为[0,1)．(3)y＝12x2－2x－3的定义域为R.∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴12x2－2x－3≤12－4＝16.又∵12x2－2x－30，故函数y＝12x2－2x－3的值域为(0,16]．1．对于y＝af(x)这类函数(1)定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围．(2)值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出u＝f(x)的值域；②利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得函数的值域．2．对于y＝m(ax)2＋n(ax)＋p(m≠0)这类函数值域问题．利用换元法，借助二次函数求解．1．(1)函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为________．(2)求函数y＝4－x－21－x＋1在x∈[－3,2]上的最大值和最小值．(－3,0][(1)由1－2x≥0，x＋30，得－3x≤0.所以函数的定义域是(－3,0]．](2)[解]y＝4－x－21－x＋1＝122x－2·12x＋1＝12x－12，∵x∈[－3,2]，∴12x∈14，8，-3-令t＝12x，得y＝(t－1)2，其中t∈14，8，∴y∈[0,49]，即最大值为49，最小值为0.指数函数的应用题【例2】某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)试写出x年后该城市人口总数y(万人)与年份x(年)之间的函数关系式；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．思路点拨：本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N，年平均增长率为p，则对于x年后的人口总数y，可以用y＝N(1＋p)x表示．[解](1)1年后城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．2年后城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，同理3年后城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)3，…故x年后的城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为：y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127≈113(万人)．故10年后该城市人口总数约为113万人．解决实际应用题的步骤1领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；2根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；3对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；4检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答.2．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出y关于x的函数解析式．[解]设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克．经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)千克，人口数量为M(1＋1.2%)．-4-则人均占有粮食为360M1＋4%M1＋1.2%千克，经过2年后，人均占有粮食为360M1＋4%2M1＋1.2%2千克，…经过x年后，人均占有粮食为y＝360M1＋4%xM1＋1.2%x千克，即所求函数解析式为y＝3601.041.012x(x∈N*)．指数函数性质的综合应用[探究问题]通过指数函数y＝2x，y＝12x的图象，可以抽象出指数函数的性质有哪些？[提示]指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象和性质a10a1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1单调性是R上的增函数是R上的减函数【例3】已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，求k的取值范围；(3)求f(x)在[－1,2]上的值域．思路点拨：(1)根据奇函数的定义，求出a，b.(2)利用单调性和奇偶性去掉f解不等式求k的范围．(3)利用(2)中单调性求f(x)的值域．[解](1)∵函数y＝f(x)是定义域R上的奇函数，-5-∴f0＝0，f－1＝－f1，∴－1＋b2＋a＝0，－2－1＋b20＋a＝－－21＋b22＋a，∴b＝1，a＝2.(2)由(1)知f(x)＝1－2x22x＋1＝－12＋12x＋1，设x1，x2∈R且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝12x2＋1－12x1＋1＝2x1－2x22x2＋12x1＋10，∴f(x)在定义域R上为减函数，由f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，可得f(t2－2t)－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，∴t2－2tk－2t2，∴3t2－2t－k0恒成立，∴Δ＝(－2)2＋12k0，解得k－13，∴k的取值范围为－∞，－13.(3)由(2)知f(x)在R上单调递减，∴f(x)在[－1,2]上单调递减，∴f(x)max＝f(－1)＝－12＋11＋12＝16，f(x)min＝f(2)＝－12＋14＋1＝－310，∴f(x)的值域为－310，16.与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值值域等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解.3．设a0，函数f(x)＝4xa＋a4x是定义域为R的偶函数．-6-(1)求实数a的值；(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．[解](1)由f(x)＝f(－x)得4xa＋a4x＝4－xa＋a4－x，即4x1a－a＋14xa－1a＝0，所以4x－14x1a－a＝0，根据题意，可得1a－a＝0，又a0，所以a＝1.(2)由(1)可知f(x)＝4x＋14x，设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝4x1＋14x1－4x2－14x2＝(4x1－4x2)1－14x1＋x2.因为0x1x2，所以4x14x2，所以4x1－4x20.又x1＋x20，所以4x1＋x21，所以1－14x1＋x2＝4x1＋x2－14x1＋x20，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．于是知f(x)在(0，＋∞)上是增函数.复合函数的单调性[探究问题]1．y＝2x的单调性如何？y＝x＋1呢？y＝2x＋1呢？[提示]y＝2x在R上单调递增，y＝x＋1在R上单调递增，y＝2x＋1在R上单调递增．2．y＝12x与y＝12x＋1的单调性分别如何？-7-[提示]y＝12x单调递减，y＝12x＋1单调递减．3．y＝－x与y＝2－x的单调性如何？[提示]y＝－x单调递减，y＝2－x＝12x单调递减．4．由以上3个探究，我们可以对由y＝f(u)，u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))的单调性做出什么猜想．[提示]y＝f(g(x))可以由y＝f(u)，u＝g(x)复合而成，复合而成的函数单调性与y＝f(u)，u＝g(x)各自单调的关系为“同增异减”．即f与g单调性相同，复合后单调递增，f与g单调性不同，复合后单调递减．5．用单调性的定义证明：当y＝f(u)，u＝g(x)均单调递减时y＝f(g(x))单调递增．[提示]任取x1，x2∈D且x1x2.∵g(x)单调递减，∴g(x1)g(x2)，即u1u2，又f(x)单调递减，∴f(u1)f(u2)，即f(g(x1))f(g(x2))，∴y＝f(g(x))单调递增．【例4】判断f(x)＝13x2－2x的单调性，并求其值域．思路点拨：先确定u＝x2－2x的值域、单调性，再确定f(x)＝13u的单调性和值域．[解]令u＝x2－2x，则原函数变为y＝13u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y＝13x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝13u，u∈[－1，＋∞)，∴013u≤13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．1．(变条件)本例中“x∈R”变为“x∈[－1,2]”．判断f(x)的单调性，并求其值域．[解]由本例解析知，又x∈[－1,2]，-8-∴f(x)＝13x2－2x(x∈[－1,2])在[－1,1]上是增函数，在(1,2]上是减函数．∵u＝x2－2x(x∈[－1,2])的最小值、最大值分别为umin＝－1，umax＝3，∴f(x)的最大值、最小值分别为f(1)＝13－1＝3，f(－1)＝133＝127.∴函数f(x)的值域为127，3.2．(变设问)在本例条件下，解不等式f(x)f(1)．[解]∵f(x)f(1)，即13x2－2x13－1，∴x2－2x－1，∴(x－1)20，∴x≠1，∴不等式的解集为{x|x≠1}．1．关于指数型函数y＝af(x)(a0，且a≠1)，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1；二是f(x)的单调性．2．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性，其规则是“同增异减”．1．比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数型函数y＝ax的单调性．(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则ambn；若amc且cbn，则ambn.2．指数型函数单调性的应用(1)形如y＝af(x)的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单