2019-2020学年高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数章末复习课讲义 苏教版必修1

-1-第3章指数函数、对数函数和幂函数指数、对数的运算1.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，-2-换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．【例1】(1)化简：×3ab；(2)计算：2log32－log3329＋log38－25log53.思路点拨：按照指数、对数的运算性质进行计算，但应注意乘法公式的应用．1．计算80.25×42＋(32×3)6＋log32×log2(log327)的值为________．三种初等函数的图象与性质函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它较形象直观地反映了函数的一切性质．教材对幂、指、对三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用．-3-【例2】(1)若函数f(x)＝log2a·4x＋2x＋13的定义域为(－∞，1)，则a＝________.(2)若函数f(x)＝log2a4x＋2x＋13在(－∞，1]上有意义，则a的取值范围是________．思路点拨：分别将两个问题转化为求定义域问题和恒成立问题，然后求解．(1)－34(2)－34，＋∞[(1)因为x1，所以2x2.要使f(x)有意义，则a·4x＋2x＋10，令t＝2x，则t∈(0,2)，由题知y＝at2＋t＋1开口向下，且t＝2是方程at2＋t＋1＝0的根，所以4a＋2＋1＝0，所以a＝－34.(2)原问题等价于a·4x＋2x＋10，对任意x∈(－∞，1]恒成立．因为4x0，所以a－14x＋12x在(－∞，1]上恒成立．令g(x)＝－14x＋12x，x∈(－∞，1]．由y＝－14x与y＝－12x在(－∞，1]上均为增函数，可知g(x)在(－∞，1]上也是增函数，所以g(x)max＝g(1)＝－14＋12＝－34.因为a－14x＋12x在(－∞，1]上恒成立，所以a应大于g(x)的最大值，即a－34.故所求a的取值范围为－34，＋∞.]2．已知f(x)＝log2(x＋1)＋log2(1－x)，(1)求f(x)的定义域，并求f22的值；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)的单调性．[解](1)由题知，令x＋10，1－x0，解得－1x1，∴f(x)的定义域为{x|－1x1}，f22＝log21＋22＋log21－22＝log21＋221－22＝log21－12＝－1.-4-(2)f(－x)＝log2(－x＋1)＋log2(1＋x)＝f(x)，又f(x)的定义域为{x|－1x1}．故f(x)为偶函数．(3)f(x)＝log2(x＋1)(1－x)＝log2(1－x2)，设u(x)＝1－x2，则u(x)是开口向下的二次函数，在(－1,0)上，u(x)单调递增，在(0,1)上，u(x)单调递减，又y＝log2u是增函数，∴f(x)在(－1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减．比较大小利用指数、对数函数和幂函数的性质比较大小是本章一个主要题型，数的大小比较常用的方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．【例3】比较下列各组数的大小：(1)0.65.1，5.10.6，log0.65.1；(2)log712，log812；(3)a＝0.212，b＝0.312，c＝313，d＝513.思路点拨：(1)采用“媒介法”引入0,1，把三个数与0,1相比较得结论；(2)真数相同，底数不同，可用图象法或换底法比较大小；(3)利用幂函数的性质求解．[解](1)因为00.65.11,5.10.61，log0.65.10，所以5.10.60.65.1log0.65.1.(2)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图象：由底数变化对图象位置的影响知：log712log812.-5-法二：log712log812＝lg12lg7lg12lg8＝lg8lg7＝log781.∵log8120，∴log712log812.(3)因为0121，所以y＝x12在[0，＋∞)上为增函数，所以0.2120.312，即ab.同理313513，即cd.又因为0.3121,3131，所以bc，故有abcd.3．比较大小：(1)log143，130.2，213；(2)log32，log23，log25.[解](1)log1430，130.2∈(0,1)，2131，故log143130.2213.(2)∵log32log33＝1＝log22log23log25，故log32log23log25.函数的零点与方程的根的关系及应用根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．从高考题型上看，这类题目，既有选择题，也可以出现解答题，解题时应注意通过数与形的相互结合，将三者进行相互转化．【例4】(1)函数f(x)＝log3[log2(4－2x)]的零点为________．(2)函数g(x)＝lgx与f(x)＝x2－6x＋9的图象的交点个数为____，设最右侧交点的横坐标x0，则存在n0∈N*，使x0∈(n0，n0＋1)，则n0＝________.思路点拨：(1)可通过解方程来求零点．(2)通过图象和零点存在性定理来解．(1)1(2)23[(1)f(x)＝0时，log3[log2(4－2x)]＝0，则log2(4－2x)＝1，∴4－2x＝-6-2，∴2x＝2，∴x＝1.(2)同一个坐标系中做出f(x)和g(x)的图象，如图，易知交点个数有2个，设h(x)＝g(x)－f(x)，∵h(2)＝lg2－10，h(3)＝lg30，h(4)＝lg4－10，x0为最右侧交点，故x0∈(3,4)，∴n0＝3.]4．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．(1)求m的取值范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．[解](1)当m＋6＝0，即m＝－6时，函数为y＝－14x－5，显然有零点．当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，得m≤－59.∴当m≤－59且m≠－6时，二次函数有零点．综上所述，m≤－59.(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有x1＋x2＝－2m－1m＋6，x1x2＝m＋1m＋6.∵1x1＋1x2＝－4，即x1＋x2x1x2＝－4，∴－2m－1m＋1＝－4，解得m＝－3.且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ0符合题意，∴m的值为－3.分类讨论思想本章中，指数函数、对数函数的性质均与a的范围有较大的关系，因此在应用二者的性质时我们应该注意分类讨论思想的应用．【例5】已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，f12＝0，求不等式f(logax)0(a0，-7-且a≠1)的解集．思路点拨：根据偶函数的性质，将f(logax)0转化为logax与12和－12的大小关系，然后分类讨论求解不等式．[解]∵f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，又f12＝0，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，f－12＝0.故若f(logax)0，则有logax12或logax－12.①当a1时，由logax12或logax－12，得xa或0xaa.②当0a1时，由logax12或logax－12，得0xa或xaa.综上可知，当a1时，f(logax)0的解集为0，aa∪(a，＋∞)；当0a1时，f(logax)0的解集为(0，a)∪aa，＋∞.5．将例题中“偶函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数”改为“奇函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数”应如何解答．[解]∵f(x)是奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f12＝0，∴f(x)在(－∞，0)上也是增函数，且f－12＝0.∴f()logax0可转化为logax12或－12logax0.①当a1时，上述两不等式的解为xa和1ax1，∴原不等式的解集为xxa或aax1.②当0a1时，上述两不等式的解为0xa和1xaa，∴原不等式的解集为x0xa或1xaa.综上，当a1时，不等式的解集为xxa或aax1；-8-当0a1时，不等式的解集为x0xa或1xaa.