搜索
-1-模块复习课一、立体几何初步1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．直线与直线的位置关系共面直线平行，相交，异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.3．平行的判定与性质(1)线面平行的判定与性质线面平行判定性质定义定理图形条件a∩α＝aα，bα，a∥ba∥αa∥α，aβ，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b(2)面面平行的判定与性质面面平行判定性质定义定理图形条件α∩β＝aβ，bβ，a∩b＝p，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，aβ-2-结论α∥βα∥βa∥ba∥α4.垂直的判定与性质(1)线面垂直的判定与性质线面垂直图形条件结论判定a⊥b，bα(b为α内的任意直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、nα，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性质a⊥α，bαa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b(2)面面垂直的判定与性质面面垂直文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直lβl⊥α⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面α⊥βα∩β＝alβl⊥a⇒l⊥α5.空间角(1)异面直线所成的角①定义：设a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′-3-与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角．②范围：设两异面直线所成的角为θ，则0°＜θ≤90°．(2)直线和平面所成的角①平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．(3)二面角的有关概念①二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．6．几何体的侧面积和体积的有关计算柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式面积体积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝13Sh＝13πr2h圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h直棱柱S侧＝chV＝Sh正棱锥S侧＝12ch′V＝13Sh正棱台S侧＝12(c＋c′)h′V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S球面＝4πR2V＝43πR3二、平面解析几何初步1．直线的倾斜角和斜率(1)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所成的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°．(2)直线的斜率-4-①定义：k＝tan_α，(α≠90°)．②过两点的直线的斜率公式：k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)(3)斜率的求法①依据倾斜角．②依据直线方程．③依据两点的坐标．2．直线方程的几种形式的转化3．两条直线的平行与垂直l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2，b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2＝－1.4．两条直线的交点l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，交点坐标即方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的一组解．方程组无解⇔l1∥l2；方程组有无数组解⇔l1与l2重合．5．距离公式(1)两点间的距离公式平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2．(2)点到直线的距离公式①点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2．②两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离为d＝|C1－C2|A2＋B2．6．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．7．点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点P在圆外．(2)(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点P在圆内．-5-(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上．8．直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d＞r→相离；d＝r→相切；d＜r→相交．9．圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则两圆：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|10.求圆的方程时常用的四个几何性质11．计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法运用根与系数的关系及弦长公式AB＝1＋k2|xA－xB|＝（1＋k2）[（xA＋xB）2－4xAxB].注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．12．空间中两点的距离公式一般地，空间中任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离为P1P2＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2．1．棱锥的侧面都是三角形．(√)2．棱台的各侧棱的延长线交于一点．(√)3．棱柱所有的面都是平行四边形．(×)提示：棱柱的底面可以是任何平面多边形．4．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．(×)-6-提示：以直角三角形的直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．5．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．(×)提示：用一个平行于底面的平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．6．有一个平面的长是50m，宽为20m．(×)提示：平面是无限延展的．7．若直线a在平面α外，则a∥α.(×)提示：a还可能与α相交．8．若直线a∥b，直线bα，则a∥α.(×)提示：还有aα这种可能．9．若两个平面α∥β，aα，bβ，则a与b是异面直线．(×)提示：还有a∥b这种可能．10．若两个平面α∩β＝b，aα，则a与β一定相交．(×)提示：还有a∥β这种可能．11．如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α.(√)12．如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．(√)13．两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°.(√)14．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α.(×)提示：还有b平面α这种可能．15．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.(×)提示：还有l与平面α相交这种可能．16．任一直线都有倾斜角，都存在斜率．(×)提示：倾斜角为90°的直线没有斜率．17．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．(√)18．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．(×)提示：两直线还可能重合．19．若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等．(×)提示：两直线还可能没有斜率．20．直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1，3)．(√)21．直线的点斜式方程也可写成y－y0x－x0＝k.(×)提示：若写成这种形式，不能包含点(x0，y0)．22．不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示．(×)提示：垂直于x轴或y轴的直线也不能用xa＋yb＝1表示．-7-23．点P1(0，a)，P2(0，b)两点间的距离为a－b.(×)提示：距离为|a－b|.24．两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为|m－2n|2.(√)25．方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(×)提示：当m＝0时表示点(a，b)，m≠0时表示圆．26．若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y－n)2＝a2(a≠0)，此时圆的半径一定是a.(×)提示：圆的半径为|a|.27．如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(√)28．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)提示：两圆还可能内切．29．空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．(×)提示：坐标应为(a，0，0)的形式．30．空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式．(√)1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2，6]B．[4，8]C．[2，32]D．[22，32]A[圆心(2，0)到直线的距离d＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P到直线的距离d1∈[2，32]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝22，所以△ABP的面积S＝12|AB|d1＝2d1.因为d1∈[2，32]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6]．]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．402π[如图所示，设S在底面的射影为S′，连接AS′，SS′.△SAB的面积为12·SA·SB·sin∠ASB＝12·SA2·1－cos2∠ASB＝1516·SA2＝515，∴SA2＝80，SA＝45.∵SA与底面所成的角为45°，∴∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos45°＝45×22＝210.∴底面周长l-8-＝2π·AS′＝410π，∴圆锥的侧面积为12×45×410π＝402π.]3．(2018·江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．43[由题意知所给的几何体是棱长均为2的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V正四棱锥＝2×13×(2)2×1＝43.]4．(2018·江苏高考)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.[解](1)证明：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)证明：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.5．(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.-9-(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．[解](1)由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又PF平面PEF，EF平面PEF，且PF∩EF＝F，所以BF⊥平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，HF→的方向为y轴正方向，|BF→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝3.又PF＝1，EF＝2，PF2＋P