2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.3 导数的实际应用讲义 新人教B版选修

-1-1.3.3导数的实际应用学习目标核心素养1．了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．(重点)2．能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值)．(难点、易混点)1．通过导数的实际应用的学习，培养学生的数学建模素养．2．借助于解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.导数在实际生活中的应用1．最优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题．2．用导数解决最优化问题的基本思路1．做一个容积为256m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A．6mB．8mC．4mD．2m[解析]设底面边长为xm，高为hm，则有x2h＝256，所以h＝256x2.所用材料的面积设为Sm2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·256x2＋x2＝256×4x＋x2.S′＝2x－256×4x2，令S′＝0，得x＝8，因此h＝25664＝4(m)．[答案]C2．某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为______元时，利润最大．-2-[解析]利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．[答案]115面积、体积的最值问题【例1】请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[思路探究]弄清题意，根据“侧面积＝4×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值．[解]设包装盒的高为hcm，底面边长为acm.由已知得a＝2x，h＝60－2x2＝2(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝22(－x3＋30x2)，V′＝62x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时ha＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.-3-1．解决面积、体积最值问题的思路要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．2．解决优化问题时应注意的问题(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．1．将一张2×6m的矩形钢板按如图所示划线，要求①至⑦全为矩形，且左右对称、上下对称，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为xm，容积为ym3.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)x取何值时，水箱的容积最大．[解](1)由水箱的高为xm，得水箱底面的宽为(2－2x)m，长为6－2x2＝(3－x)m.故水箱的容积为y＝2x3－8x2＋6x(0x1)．(2)由y′＝6x2－16x＋6＝0，解得x＝4＋73(舍去)或x＝4－73.因为y＝2x3－8x2＋6x(0x1)在0，4－73内单调递增，在4－73，1内单调递减，所以当x的值为4－73时，水箱的容积最大．用料最省、成本(费用)最低问题【例2】位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短．-4-[思路探究]可设CD＝xkm，则CE＝(3－x)km，利用勾股定理得出AC，BC的长，从而构造出所需电线总长度的函数．[解]设CD＝xkm，则CE＝(3－x)km.则所需电线总长l＝AC＋BC＝1＋x2＋1.52＋3－x2(0≤x≤3)，从而l′＝x1＋x2－3－x1.52＋3－x2.令l′＝0，即x1＋x2－3－x1.52＋3－x2＝0，解得x＝1．2或x＝－6(舍去)．因为在[0,3]上使l′＝0的点只有x＝1．2，所以根据实际意义，知x＝1．2就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE之间离点D的距离为1．2km处时，所需电线总长最短．1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．2．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝119200v4－1160v3＋15v，(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．[解](1)Q＝P·400v＝119200v4－1160v3＋15v·400v-5-＝119200v3－1160v2＋15·400＝v348－52v2＋6000(0v≤100)．(2)Q′＝v216－5v，令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，当0v80时，Q′0；当80v≤100时，Q′0，∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q最小值＝Q(80)＝20003(元)．利润最大、效率最高问题[探究问题]在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．【例3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[思路探究](1)根据x＝5时，y＝11求a的值．(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．[解](1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，故a＝2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)2x－3＋10x－62＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－6)，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)-6-f′(x)＋0－f(x)单调递增↗极大值42单调递减↘由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．1．经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．2．关于利润问题常用的两个等量关系(1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．3．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p＝24200－15x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？[解]每月生产x吨时的利润为f(x)＝24200－15x2x－(50000＋200x)＝－15x3＋24000x－50000(x≥0)，由f′(x)＝－35x2＋24000＝0，解得x＝200或x＝－200(舍去)．因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－15×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)，故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.1．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x260－x2(0x60)，则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为()A．30B．40-7-C．50D．60[解析]V′(x)＝－32x2＋60x＝－32x(x－40)，因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)0，此时V(x)单调递增；当40x60时，V′(x)0，此时V(x)单调递减，所以x＝40是V(x)的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40.[答案]B2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件[解析]因为y′＝－x2＋81，所以当x＞9时，y′＜0；当0＜x＜9时，y′＞0，所以函数y＝－13x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9时函数取最大值．[答案]C3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________．[解析]设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r＞0)，则水桶的高为27r2，所以S＝πr2＋2πr×27r2＝πr2＋54πr(r＞0)，求导数，得S′＝2πr－54πr2，令S′＝0，解得r＝3.当0＜r＜3时，S′＜0；当r＞3时，S′＞0，所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省．[答案]34．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台．[解析]设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．[答案]65．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，-8-已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？[解](1)若商品降价x元，则多卖的商品数为kx2件，由题意知24＝k·22，得k＝6.若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋6x2)＝(21－x)(432＋6x2)，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．(2)根据(1)有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,2)2(2,12)12(12,30)f′(x)－0