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-1-2.1.1合情推理学习目标核心素养1．了解推理的结构及合情推理的定义．(易混点)2．了解归纳推理的定义与特点，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳推理解决问题．(重点)3．了解类比推理的定义与特点，掌握类比推理的一般步骤，能利用类比推理解决简单的问题．(重点、难点)通过归纳推理和类比推理学习，培养学生的逻辑推理素养.一、推理与合情推理1．推理的定义根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．2．推理的结构推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论．3．推理的分类推理一般分为合情推理与演绎推理．4．合情推理前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．二、归纳推理与类比推理1．归纳推理(1)定义根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)．(2)归纳推理的一般步骤①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．2．类比推理(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)．它属于合情推理．(2)类比推理的一般步骤①找出两类事物之间的相似性或一致性；-2-②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．()(3)归纳推理是由个别到一般的推理．()[答案](1)×(2)×(3)√2．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到()A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行[解析]利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．[答案]D3．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝___________________________________________________，an＝________(n1，n∈N＋)．[解析]依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得an＝3n－3(n1，n∈N＋)．[答案]153n－3数、式中的归纳推理【例1】(1)已知f(x)＝x1＋x，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2019(x)的表达式为________．(2)观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，-3-…照此规律，第n个等式可为________．(3)已知f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为__________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________．[思路探究]结合数或式子的结构特征，提炼结论．[解析](1)由题意f1(x)＝f(x)＝x1＋x，f2(x)＝f(f1(x))＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x，f3(x)＝f(f2(x))＝x1＋2x1＋x1＋2x＝x1＋3x，…，fn(x)＝f(fn－1(x))＝…＝x1＋nx，故f2019(x)＝x1＋2019x.(2)从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．(3)∵f(x)＝x1－x，∴f1(x)＝x1－x.又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，∴f2(x)＝f1(f1(x))＝x1－x1－x1－x＝x1－2x，f3(x)＝f2(f2(x))＝x1－2x1－2×x1－2x＝x1－4x，f4(x)＝f3(f3(x))＝x1－4x1－4×x1－4x＝x1－8x，-4-f5(x)＝f4(f4(x))＝x1－8x1－8×x1－8x＝x1－16x，根据前几项可以猜想fn(x)＝x1－2n－1x.[答案](1)f2019(x)＝x1＋2019x(2)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(3)f3(x)＝x1－4xfn(x)＝x1－2n－1x进行数、式中的归纳推理的一般规律1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论．2．数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．1．(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an2＋an(a∈N＋)，则可归纳猜想{an}的通项公式为()A．an＝2nB．an＝2n＋1C．an＝1nD．an＝1n＋1(2)已知23＜2＋13＋1，23＜2＋23＋2，23＜2＋33＋3，…，推测猜想一般性结论为________．[解析](1)由已知得a1＝1，a2＝2a12＋a1＝23，a3＝2a22＋a2＝432＋23＝24，a4＝2a32＋a3＝2×122＋12＝25，…，由-5-此可猜想an＝2n＋1.(2)每一个不等式的右边是不等式左边的分子、分母分别加了相同的正数，因此可猜测：ba＜b＋ma＋m(a，b，m均为正数，且a＞b)．[答案](1)B(2)ba＜b＋ma＋m(a，b，m均为正数，且a＞b)几个图形中的归纳推理【例2】(1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________．(2)根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为__________．①②③④[思路探究](1)观察图案知，每多一块白色地面砖，则多5块黑色地面砖，从而每个图案中白色地面砖的块数，组成首项为6，公差为5的等差数列．(2)先求出前4个图形中线段的数目，再归纳．[解析](1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1．(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.[答案](1)5n＋1(2)509归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：-6-2．观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．[解析]观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.[答案]F＋V－E＝23．根据如图的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第n个图形有多少个圆圈．(1)(2)(3)(4)(5)[解]法一：图(1)中的圆圈数为12－0，图(2)中的圆圈数为22－1，图(3)中的圆圈数为32－2，图(4)中的圆圈数为42－3，图(5)中的圆圈数为52－4，…，故猜测第n个图形中的圆圈数为n2－(n－1)＝n2－n＋1．法二：第2个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有2×(2－1)＋1个圆圈；第3个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有3×(3－1)＋1个圆圈；第4个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有4×(4－1)＋1个圆圈；第5个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有四个圆圈，共有5×(5－1)＋1个圆圈；……由上述的变化规律，可猜测第n个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n个方向，每个方向有(n－1)个圆圈，因此共有n(n－1)＋1＝(n2－n＋1)个圆圈．-7-类比推理及其应用[探究问题]1．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．2．三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？提示：四面体的体积等于底面积与高的积的13.【例3】(1)在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．可类比得到的结论是________________________________.(2)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：1AD2＝1AB2＋1AC2，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．[思路探究](1)等比数列中的商类比等差数列中的差．(2)三角形类比四面体，三角形中的边类比四面体中的面，三角形中的高类比四面体中的高．[解析](1)因为等差数列{an}的公差d＝3，所以(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝10d＋10d＋…＋10d10个＝100d＝300，同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.[答案]数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300(2)如图①所示，由射影定理得①AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，-8-所以1AD2＝1BD·DC＝BC2BC·BC·BD·DC＝BC2AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，所以1AD2＝1AB2＋1AC2.类比猜想：四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.如图②，连接BE交CD于F，连接AF，②因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD，而AF⊂平面ACD，所以AB⊥AF，在Rt△ABF中，AE⊥BF，所以1AE2＝1AB2＋1AF2，易知在Rt△ACD中，AF⊥CD，所以1AF2＝1AC2＋1AD2，所以1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，猜想正确．上例(1)中条件不变，试写出一个更为一般的结论(不必证明)．[解]对于任意的k∈N＋，都有数列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列，且公差为k2d.1．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：平面图形空间图形点直线-9-直线平面边长面积面积体积三角形四面体线线角面面角2.中学阶段常见的类比知识点有：等差与等比数列，向量、复数与实数，空间与平面，圆与球等等．1．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)．则第n个