2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.1 正弦定理(第1课时)正弦定理(1)讲义 苏

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-1-第1课时正弦定理(1)学习目标核心素养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明.(难点)2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.(重点)1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状,培养学生逻辑推理的核心素养.2.借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习,培养学生数学运算的核心素养.1.正弦定理三角形的各边和它所对角的正弦之比相等.即asinA=bsinB=csinC.思考1:正弦定理的适用范围是什么?[提示]正弦定理对任意三角形都成立.思考2:在△ABC中,asinA、bsinB、csinC各自等于什么?[提示]asinA=bsinB=csinC=2R(R为三角形的外接圆半径).2.解斜三角形(1)解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边),求其余未知元素的过程.(2)利用正弦定理可以解决的两类解斜三角形的问题①已知两角与任一边,求其他两边和一角;②已知两边与其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).思考3:正弦定理的主要功能是什么?[提示]正弦定理实现了三角形中边角关系的转化.1.判断正误(1)正弦定理适用于所有三角形.()-2-(2)在△ABC中,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.()(3)asinA=bsinB=csinC=2R,其中R为△ABC的外接圆的半径.()[答案](1)√(2)√(3)√2.在△ABC中,a=3,b=5,sinA=13,则sinB=________.59[根据asinA=bsinB,有313=5sinB,得sinB=59.]3.在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC=32,则AC=________.23[由正弦定理可知,ACsinB=BCsinA,所以AC=BCsinBsinA=32×2232=23.]正弦定理的证明【例1】在钝角△ABC中,证明正弦定理.[证明]如图,过C作CD⊥AB,垂足为D,D是BA延长线上一点,根据正弦函数的定义知:CDb=sin∠CAD=sin(180°-A)=sinA,CDa=sinB.∴CD=bsinA=asinB.∴asinA=bsinB.同理,bsinB=csinC.故asinA=bsinB=csinC.-3-1.本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系,充分挖掘这些联系可以使理解更深刻,记忆更牢固.2.要证asinA=bsinB,只需证asinB=bsinA,而asinB,bsinA都对应CD.初看是神来之笔,仔细体会还是有迹可循的,通过体会思维的轨迹,可以提高我们的分析解题能力.1.如图所示,锐角△ABC的外接圆O半径为R,证明asinA=2R.[证明]连接BO并延长,交外接圆于点A′,连接A′C,则圆周角∠A′=∠A.∵A′B为直径,长度为2R,∴∠A′CB=90°,∴sinA′=BCA′B=a2R,∴sinA=a2R,即asinA=2R.已知两角及一边解三角形【例2】在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.[解]因为A=45°,C=30°,所以B=180°-(A+C)=105°.由asinA=csinC得a=csinAsinC=10×sin45°sin30°=102.因为sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=2+64,-4-所以b=csinBsinC=10×sinA+Csin30°=20×2+64=52+56.已知三角形的两角和任一边解三角形的思路1若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角.2若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.2.在△ABC中,a=5,B=45°,C=105°,求边c.[解]由三角形内角和定理知A+B+C=180°,所以A=180°-(B+C)=180°-(45°+105°)=30°.由正弦定理asinA=csinC,得c=a·sinCsinA=5·sin105°sin30°=5·sin60°+45°sin30°=5·sin60°cos45°+cos60°sin45°sin30°=52(6+2).已知两边及一边的对角解三角形【例3】(1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=6,c=3,则A=________.(2)在△ABC中,已知c=6,A=45°,a=2,解这个三角形.(1)75°[由题意得:bsinB=csinC,所以sinB=bsinCc=6×323=22,因为b<c,所以B=45°,所以A=180°-B-C=75°.](2)[解]因为asinA=csinC,所以sinC=csinAa=6×sin45°2=32.因为0°<C<180°,所以C=60°或C=120°.当C=60°时,B=75°,b=csinBsinC=6sin75°sin60°=3+1;-5-当C=120°时,B=15°,b=csinBsinC=6sin15°sin120°=3-1.所以b=3+1,B=75°,C=60°或b=3-1,B=15°,C=120°.已知两边及其中一边的对角解三角形的思路1首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值;2如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角;3如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.3.在△ABC中,A=π3,BC=3,AB=6,则角C等于()A.π4或3π4B.3π4C.π4D.π6C[由正弦定理,得sinC=sinA·ABBC=22.因为BC>AB,所以A>C,则0<C<π3,故C=π4.]4.已知△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有两解,则x的取值范围是()A.x>2B.x<2C.2<x<22D.2<x<23C[由asinB<b<a,得22x<2<x,所以2<x<22.]三角形形状的判断[探究问题]1.由asinA=2R,bsinB=2R,csinC=2R可以得到哪些变形形式?这些变形形式有什么功能?[提示](角化边)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R,(边化角)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,-6-(边角互化)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.2.三角形中常见边角之间的关系有哪些?[提示]在△ABC中,(1)a+b>c,|a-b|<c.(2)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB.(3)A+B+C=π⇒sin(A+B)=sinC,sinA+B2=cosC2.【例4】在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.思路探究:解决本题的关键是利用sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R把sin2A=sin2B+sin2C转化为三角形三边的关系,从而判定出角A,然后再利用sinA=2sinBcosC求解.[解]法一:(利用角的互余关系)根据正弦定理,得asinA=bsinB=csinC,∵sin2A=sin2B+sin2C,∴a2=b2+c2,∴A是直角,B+C=90°,∴2sinBcosC=2sinBcos(90°-B)=2sin2B=sinA=1,∴sinB=22.∵0°B90°,∴B=45°,C=45°,∴△ABC是等腰直角三角形.法二:(利用角的互补关系)根据正弦定理,得asinA=bsinB=csinC,∵sin2A=sin2B+sin2C,∴a2=b2+c2,∴A是直角.∵A=180°-(B+C),sinA=2sinBcosC,∴sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,∴sin(B-C)=0.又-90°B-C90°,∴B-C=0,∴B=C,∴△ABC是等腰直角三角形.(变条件)将本例题条件“sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C”改为“b=acosC”其它条件不变,试判断△ABC的形状.[解]∵b=acosC,-7-由正弦定理,得sinB=sinAcosC.(*)∵B=π-(A+C),∴sinB=sin(A+C),从而(*)式变为sin(A+C)=sinAcosC.∴cosAsinC=0.又∵A,C∈(0,π),∴cosA=0,A=π2,即△ABC是直角三角形.1.判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行,既可以转化为边与边的关系,也可以转化为角与角的关系.2.注意在边角互化过程中,正弦定理的变形使用,如ab=sinAsinB等.1.本节课要牢记正弦定理及其常见变形(1)asinA=bsinB=csinC=2R(其中R为△ABC外接圆的半径);(2)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(3)asinA=bsinB=csinC=a+b+csinA+sinB+sinC;(4)在△ABC中,sinA>sinB⇔A>B⇔a>b.2.要掌握正弦定理的三个应用(1)已知两角和任一边,求其它两边和一角.(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和两角.(3)判断三角形的形状.3.本节课的易错点有两处(1)已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能出现无解或两解的情况.(2)在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”.1.判断正误(1)正弦定理只适用于锐角三角形.()-8-(2)正弦定理不适用于直角三角形.()(3)在某一确定的三角形中,各边与它所对的角的正弦的比值是一定值.()[答案](1)×(2)×(3)√[提示]正弦定理适用于任意三角形,故(1)(2)均不正确.2.在△ABC中,若c=2acosB,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.不等边三角形B[由正弦定理知c=2RsinC,a=2RsinA,故sinC=2sinAcosB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以sinAcosB=cosAsinB,即sin(A-B)=0,所以A=B.故△ABC为等腰三角形.]3.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,b=3,B=60°,那么A等于()A.135°B.90°C.45°D.30°C[由asinA=bsinB得sinA=asinBb=2×323=22,∴A=45°或135°.又∵ab,∴AB,∴A=45°.]4.已知在△ABC中,a=3,b=2,B=45°,解这个三角形.[解]由正弦定理及已知条件有3sinA=2sin45°,得sinA=32.∵ab,∴AB=45°.∴A=60°或120°.当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c=bsinCsinB=2sin75°sin45°=6+22;当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c=bsinCsinB=2sin15°sin45°=6-22.综上,可知A=60°,C=75°,c=6+22或A=120°,C=15°,c=6-22.-9-

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