2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.3.3 等比数列的前n项和（第1课时）等比数列的前

-1-第1课时等比数列的前n项和学习目标核心素养1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点)2.会用错位相减法求数列的和．(重点)3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.1.通过等比数列前n项和的实际应用，培养数学建模素养.2.借助等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，培养数学运算素养.1．等比数列前n项和公式思考1：类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn?[提示]可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数．2．错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①用公比q乘①的两边，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，②由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，整理得Sn＝a11－qn1－q(q≠1)．(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}-2-为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.思考2：等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗？[提示]根据等比数列的定义，有：a2a1＝a3a2＝a4a3＝…＝anan－1＝q，再由合比定理，则得a2＋a3＋a4＋…＋ana1＋a2＋a3＋…＋an－1＝q，即Sn－a1Sn－an＝q，进而可求Sn.1．等比数列1，x，x2，x3，…(x≠0)的前n项和Sn为()A.1－xn1－xB.1－xn－11－xC.1－xn1－xx≠1nx＝1D.1－xn－11－xx≠1nx＝1C[当x＝1时，数列为常数列，又a1＝1，所以Sn＝n.当x≠1时，q＝x，Sn＝a11－xn1－x＝1－xn1－x.]2．等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则S5＝________.31[S5＝a11－q51－q＝1－251－2＝31.]3．数列12，24，38，416，…的前10项的和S10＝________.509256[S10＝12＋24＋38＋…＋929＋10210，则12S10＝14＋28＋…＋9210＋10211.两式相减得，12S10＝12＋14＋18＋…[phone]＝121－12101－12－10211，所以S10＝509256.]4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．11(1.15－1)a[去年产值为a，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.所以1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝a·1.1－1.161－1.1＝11(1.15－1)a.]-3-等比数列基本量的运算【例1】在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求S5；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.[解](1)由题意知a11＋q＝30，a11＋q＋q2＝155，解得a1＝5，q＝5或a1＝180，q＝－56.从而Sn＝14×5n＋1－54或Sn＝1080×1－－56n11.(2)法一：由题意知a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝54，解得a1＝8，q＝12，从而S5＝a11－q51－q＝312.法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝18，从而q＝12.又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5＝a11－q51－q＝312.(3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．从而a1＝2，an＝64或an＝2，a1＝64.又Sn＝a1－anq1－q＝126，所以q为2或12.-4-1．在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．1．在等比数列{an}中．(1)若a1＝2，an＝162，Sn＝112，求n和q；(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.[解](1)由Sn＝a1－anq1－q得112＝2－162q1－q，∴q＝－2，又由an＝a1qn－1得162＝2(－2)n－1，∴n＝5.(2)若q＝1，则S8＝2S4，不合题意，∴q≠1，∴S4＝a11－q41－q＝1，S8＝a11－q81－q＝17，两式相除得1－q81－q4＝17＝1＋q4，∴q＝2或q＝－2，∴a1＝115或a1＝－15，∴an＝115·2n－1或－15·(－2)n－1.等比数列前n项和公式的实际应用【例2】借贷10000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.062,1.015≈1.051)思路探究：解决等额还贷问题关键要明白以下两点：(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．(2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少．[解]法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，-5-则a0＝10000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，…a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝1.016×1021.016－1.∵1.016≈1.062，∴a＝1.062×1021.062－1≈1713.故每月应支付1713元．法二：一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[1＋0.016－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1.以下解法同法一，得a≈1713，故每月应支付1713元．解数列应用题的具体方法步骤1认真审题，准确理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清项数是多少.②弄清题目中主要的已知事项.2抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.3将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式.2．一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？[解]用an表示热气球在第n分钟上升的高度，-6-由题意，得an＋1＝45an，因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝45的等比数列．热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋故这个热气球上升的高度不可能超过125m.错位相减法求和[探究问题]1．对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?[提示]比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S64＝1－2641－2＝264－1.2．由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数列{n·2n}是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？[提示]由等差数列及等比数列的定义可知数列{n·2n}既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n项和Sn的表达式为Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.3．在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？[提示]在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①两边同乘以{2n}的公比可变形为2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②②－①得：Sn＝－1·21－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1＝－(21＋22＋23＋…＋2n)＋n·2n＋1.此时可把求Sn的问题转化为求等比数列{2n}的前n项和问题．我们把这种求由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}相应项的积构成的数列{anbn}前n项和的方法叫错位相减法．【例3】已知等比数列{an}满足：a1＝12，a1，a2，a3－18成等差数列，公比q∈(0,1)，-7-(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.思路探究：(1)根据a1，a2，a3－18成等差数列求得公比q，写出通项公式；(2)由bn＝nan可知利用错位相减法求和．[解](1)设等比数列{an}的公比为q，a1＝12，因为a1，a2，a3－18成等差数列，所以2a2＝a1＋a3－18，即得4q2－8q＋3＝0，解得q＝12或q＝32，又因为q∈(0,1)，所以q＝12，所以an＝12·12n－1＝12n.(2)根据题意得bn＝nan＝n2n，Sn＝12＋222＋323＋…＋n2n，①12Sn＝122＋223＋324＋…＋n2n＋1，②作差得12Sn＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1，Sn＝2－(n＋2)12n.1．本例题中设cn＝nan，求数列{cn}的前n项和Sn′.[解]由题意知cn＝n·2n，所以Sn′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1＋n·2n，2Sn′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n＋n·2n＋1，两式相减得：－Sn′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n－1＋2n－n·2n＋1＝21－2n1－2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，所以Sn′＝(n－1)·2n＋1＋2.2．本例题中设dn＝(2n－1)an，求数列{dn}的前n项和Tn.[解]由题意可得：-8-Tn＝1×12＋3×122＋…＋(2n－1)×12n，12Tn＝1×122＋3×123＋…＋(2n－3)×12n＋(2n－1)×12n＋1，两式相减得12Tn＝1×12＋2×122＋…＋2×12n－(2n－1)×12n＋1＝12＋12×1－12n－11－12－(2n－1)×12n＋1＝32－12n－1－2n－12n＋1，所以Tn＝3－42n－2n－12n＝3－2n＋32n.错位相减法的适用题目及注意事项1适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和.2注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出1－qSn的表达式.②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况.1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠