2019-2020学年高中数学 第3章 不等式 3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题（不作要

-1-3.4.2基本不等式的应用学习目标核心素养1.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)2.会用基本不等式求解实际应用题．(难点)1.通过基本不等式求最值，提升数学运算素养.2.借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.基本不等式与最值已知a≥0，b≥0，在运用基本不等式时，要注意：(1)和a＋b一定时，积ab有最大值；(2)积ab一定时，和a＋b有最小值；(3)取等号的条件当且仅当a＝b时，ab＝a＋b2.1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是()A.72B．4C.92D．5C[∵a＋b＝2，∴a＋b2＝1.∴1a＋4b＝1a＋4ba＋b2＝52＋2ab＋b2a≥52＋22ab·b2a＝92(当且仅当2ab＝b2a，即b＝2a时，等号成立．)故y＝1a＋4b的最小值为92.]2．若x0，则x＋2x的最小值是________．-2-22[x＋2x≥2x·2x＝22，当且仅当x＝2时，等号成立．]3．设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．100[∵x，y∈N*，∴20＝x＋y≥2xy，∴xy≤100.]利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x54，求y＝4x－2＋14x－5的最大值；(2)已知0x12，求y＝12x(1－2x)的最大值．思路探究：(1)看到求y＝4x－2＋14x－5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．[解](1)∵x54，∴5－4x0，∴y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.(2)∵0x12，∴1－2x0，∴y＝14×2x(1－2x)≤14×2x＋1－2x22＝14×14＝116.∴当且仅当2x＝1－2x0x12，即x＝14时，ymax＝116.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性.1．(1)已知x0，求函数y＝x2＋5x＋4x的最小值；-3-(2)已知0x13，求函数y＝x(1－3x)的最大值．[解](1)∵y＝x2＋5x＋4x＝x＋4x＋5≥24＋5＝9，当且仅当x＝4x，即x＝2时等号成立．故y＝x2＋5x＋4x(x0)的最小值为9.(2)法一：∵0x13，∴1－3x0.∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x)≤133x＋1－3x22＝112.当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，等号成立．∴当x＝16时，函数取得最大值112.法二：∵0x13，∴13－x0.∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋13－x22＝112，当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立．∴当x＝16时，函数取得最大值112.利用基本不等式求条件最值【例2】已知x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值．[解]∵x＞0，y＞0，8x＋1y＝1，∴x＋2y＝8x＋1y(x＋2y)＝10＋xy＋16yx≥10＋2xy·16yx＝18，-4-当且仅当8x＋1y＝1，xy＝16yx，即x＝12，y＝3，时，等号成立，故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.若把“8x＋1y＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求8x＋1y的最小值．[解]∵x，y∈R＋，∴8x＋1y＝(x＋2y)8x＋1y＝8＋16yx＋xy＋2＝10＋16yx＋xy≥10＋216＝18.当且仅当16yx＝xy时取等号，结合x＋2y＝1，得x＝23，y＝16，∴当x＝23，y＝16时，8x＋1y取到最小值18.1．本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察、学会变形．2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有f(x)＝ax＋bx型和f(x)＝ax(b－ax)型．2．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是()A.223B.23C.33D.233A[因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝1－x26x.-5-由x＞0，y＞0，即x＞0，1－x26x＞0，解得0＜x＜1.所以x＋2y＝x＋1－x23x＝2x3＋13x≥22x3·13x＝223，当且仅当2x3＝13x，即x＝22，y＝212时取等号．故x＋2y的最小值为223.]利用基本不等式解决实际问题【例3】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？[解]设每间虎笼长xm，宽ym，则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.法一：由于2x＋3y≥22x·3y＝26xy，所以26xy≤18，得xy≤272，即Smax＝272，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＋3y＝18，2x＝3y，解得x＝4.5，y＝3.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y.∵x0，∴0y6，S＝xy＝y9－32y＝32y(6－y)．∵0y6，∴6－y0.∴S≤326－y＋y22＝272.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使每间虎笼面积最大．-6-1．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案．2．对于函数y＝x＋kx(k0)，可以证明x∈(0，k]及[－k，0)上均为减函数，在[k，＋∞)及(－∞，－k]上都是增函数．求此函数的最值时，若所给的范围含±k，可用基本不等式，不包含±k就用函数的单调性．3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)[解]设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为2160×1042000x＝10800x.∴每平方米的平均综合费用y＝560＋48x＋10800x＝560＋48x＋225x.当x＋225x取最小值时，y有最小值．∵x0，∴x＋225x≥2x·225x＝30.当且仅当x＝225x，即x＝15时，上式等号成立．∴当x＝15时，y有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但-7-若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到，若取不到，必须利用函数的单调性去求函数的最值．1．判断正误(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．()(2)若a0，b0且a＋b＝4，则ab≤4.()(3)当x1时，函数f(x)＝x＋1x－1≥2xx－1，所以函数f(x)的最小值是2xx－1.()[答案](1)√(2)√(3)×[提示](1)√由a＋b≥ab可知正确．(2)√由ab≤a＋b22＝4可知正确．(3)×xx－1不是常数，故错误．2．若实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为()A．1B．22C．2D．4A[由基本不等式得，ab≤a＋b22＝1.]3．已知0x1，则x(3－3x)取最大值时x的值为()A.12B.34C.23D.25A[∵0x1，∴1－x0，则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×x＋1－x22＝34，当且仅当x＝1－x，即x＝12时取等号．]4．已知x0，求f(x)＝2xx2＋1的最大值．[解]f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x.∵x0，∴x＋1x≥2x·1x＝2，-8-∴f(x)≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立．∴f(x)的最大值为1.