2019-2020学年高中数学 模块复习课讲义 苏教版必修5

-1-模块复习课一、正、余弦定理及其应用1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C(3)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(4)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(5)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab变形2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个一解两解一解一解-2-数3.三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．二、等差数列及其前n项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.3．等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．5．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋an2或Sn＝na1＋nn－12d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)7．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．三、等比数列及其前n项和-3-1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)．3．等比中项如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，Ga＝bG，G2＝ab，G＝±ab，称G为a，b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.四、数列求和的常用方法1．公式法直接利用等差、等比数列的求和公式求和．2．分组转化法把数列转化为几个等差、等比数列，再求解．3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．常见的裂项公式(1)1nn＋1＝1n－1n＋1；(2)12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；-4-(3)1n＋n＋1＝n＋1－n.4．倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．5．错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．五、不等关系两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝ba－b＜0⇔a＜b.(a，b∈R)，(2)作商法ab＞1⇔a＞b，ab＝1⇔a＝bab＜1⇔a＜b.(a∈R，b＞0)，六、一元二次不等式及其解法1．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}xx≠－b2a{x|x∈R}一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅2.常用结论-5-(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法不等式解集a＜ba＝ba＞b(x－a)·(x－b)＞0{x|x＜a或x＞b}{x|x≠a}{x|x＜b或x＞a}(x－a)·(x－b)＜0{x|a＜x＜b}∅{x|b＜x＜a}口诀：大于取两边，小于取中间．3．常见分式不等式的解法(1)fxgx＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0)．(2)fxgx≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．七、基本不等式及其应用1．基本不等式：ab≤a＋b2(a＞0，b＞0)(1)基0本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.(a＞0，b＞0)(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(2)ba＋ab≥2(a，b同号)．(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值p24.(简记：和定积最大)-6-1．在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B.(√)2．当b2＋c2－a2＞0时，三角形ABC为锐角三角形．(×)[提示]只能保证A为锐角，但不能保证三角形为锐角三角形．3．在△ABC中，asinA＝a＋b－csinA＋sinB－sinC.(√)4．在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(√)5．若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)[提示]“常数”必须强调为“同一个常数”．6．等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(√)7．数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(√)8．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(√)9．满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(×)[提示]必须强调q≠0.10．G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(×)[提示]G2＝ab不能得出G是a，b的等比中项，如G＝0，a＝0，b＝1.11．如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．(×)[提示]当an＞0时，结论才能成立．12．数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1－an1－a.(×)[提示]公式成立的条件是a≠0，且a≠1.13．若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞),则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(√)14．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(×)[提示]当a＞0或a＝0，b＝0且c＞0时，结论才能成立．15．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(×)[提示]当a＝0，b＝0且c≤0时，不等式在R上也是恒成立的．16．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(√)17．函数y＝x＋1x的最小值是2.(×)[提示]当x＞0时，x＋1x的最小值是2.-7-18．函数f(x)＝cosx＋4cosx，x∈0，π2的最小值等于4.(×)[提示]cosx≠4cosx.19．“x＞0且y＞0”是“xy＋yx≥2”的充要条件．(×)[提示]xy＋yx≥2Dx＞0且y＞0，如x＝－4，y＝－1.20．若a＞0，则a3＋1a2的最小值为2a.(×)[提示]2a不是定值．21．不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab有相同的成立条件．(×)[提示]a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R.a＋b2≥ab成立的条件是a＞0，b＞0.22．两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(√)1．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A.π2B.π3C.π4D.π6C[因为S△ABC＝12absinC，所以a2＋b2－c24＝12absinC．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得2abcosC＝2absinC，即cosC＝sinC，所以在△ABC中，C＝π4.故选C.]2．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．42B.30C.29D．25A[因为cosC2＝55，所以cosC＝2cos2C2－1＝2×552－1＝－35.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝52＋12－2×5×1×－35＝32，所以AB＝42.故选A.]3．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，则C＝()A.π12B.π6C.π4D.π3-8-B[因为a＝2，c＝2，所以由正弦定理可知，2sinA＝2sinC，故sinA＝2sinC.又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C为△ABC的内角，故sinC≠0，则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝3π4.从而sinC＝12sinA＝22×22＝12.由A＝3π4知C为锐角，故C＝π6.故选B.]4．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为_____