2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.3.2 三角函数的图象与性质（第1课时）正弦、

-1-第1课时正弦、余弦函数的图象学习目标核心素养(教师独具)1.了解正弦函数、余弦函数的图象．2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．(重点)3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质．(重点、难点)通过学习本节内容培养学生的直观想象数学核心素养.正弦曲线、余弦曲线(1)正弦曲线、余弦曲线正弦函数y＝sinx(x∈R)和余弦函数y＝cosx(x∈R)的图象分别叫正弦曲线和余弦曲线(如图)．(2)“五点法”画图画正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．画余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．(3)正弦、余弦曲线的联系依据诱导公式cosx＝sinx＋π2，要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移π2个单位长度即可．思考：作正、余弦函数的图象时，函数自变量能用角度制吗？-2-[提示]作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．1．思考辨析(1)正弦曲线的图象向左右无限延展．()(2)y＝sinx与y＝cosx的图象形状相同，只是位置不同．()(3)函数y＝cosx的图象与y轴只有一个交点．()[答案](1)√(2)√(3)√2．用“五点法”作y＝2sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是________．[答案]0，π4，π2，3π4，π3．不等式cosx＜0，x∈[0,2π]的解集为________．[答案]π2，3π2利用“五点法”作简图【例1】用“五点法”作出下列函数的图象．(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]；(3)y＝－1－cosx，x∈[0,2π]．思路点拨：先分别取出相应函数在[0,2π]上的五个关键点，再描点连线．[解](1)列表如下：x0π2π32π2πsinx010－10sinx－1－10－1－2－1描点连线，如图①所示．①(2)列表如下：-3-x0π2π32π2πcosx10－1012＋cosx32123描点连线，如图②所示．②(3)列表：x0π2π3π22πcosx10－101－1－cosx－2－10－1－2描点作图，如图③所示：③用五点法画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤如下(1)列表：x0π2π3π22πsinx(或cosx)y(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，π2，y，(π，y)，3π2，y，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连结起来，不要用线段进行连结．提醒：对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．1．用“五点法”作出函数y＝3＋2cosx在一个周期内的图象．-4-[解]按五个关键点列表；描点并将它们用光滑的曲线连结起来．x0π2π3π22πcosx10－1013＋2cosx53135利用正、余弦曲线解三角不等式【例2】利用正弦曲线，求满足12＜sinx≤32的x的集合．思路点拨：作出正弦函数y＝sinx在一个周期内的图象，然后借助图象求解．[解]首先作出y＝sinx在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sinx，x∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y＝32，该直线与y＝sinx，x∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3.观察图象可知，在[0,2π]上，当π6＜x≤π3，或2π3≤x＜5π6时，不等式12＜sinx≤32成立，所以12＜sinx≤32的解集为xπ6＋2kπ＜x≤π3＋2kπ或2π3＋2kπ≤x＜5π6＋2kπ，k∈Z.利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤：1画出正弦函数y＝sinx或余弦函数y＝cosx在[0，2π]上的图象；2写出适合不等式的在区间[0，2π]上的解集；3把此解集推广到整个定义域上去.-5-2．求下列函数的定义域：(1)y＝2sinx＋1；(2)y＝sinx－cosx.[解](1)要使y＝2sinx＋1有意义，则必须满足2sinx＋1≥0，即sinx≥－12.结合正弦曲线或三角函数线，如图所示，知函数y＝2sinx＋1的定义域为x2kπ－π6≤x≤2kπ＋7π6，k∈Z.(2)要使函数有意义，必须满足sinx－cosx≥0.在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的图象，知所求定义域为xπ4＋2kπ≤x≤5π4＋2kπ，k∈Z正、余弦函数图象的应用[探究问题]1．你能借助图象的变换作出y＝|sinx|的图象吗？试画出其图象．提示：先画出y＝sinx的图象，然后将其x轴下方的对称到x轴的上方(x轴上方的保持不变)即可得到y＝|sinx|的图象，如图．2．方程|sinx|＝a，a∈R在[0,2π]上有几解？提示：当a＜0时，方程|sinx|＝a无解；当a＝0时，方程|sinx|＝a有三解；-6-当0＜a＜1时，方程|sinx|＝a有四解；当a＝1时，方程|sinx|＝a有两解；当a＞1时，方程|sinx|＝a无解．【例3】在同一坐标系中，作函数y＝sinx和y＝lgx的图象，根据图象判断出方程sinx＝lgx的解的个数．思路点拨：作图―→看图―→交点个数―→sinx＝lgx解的个数[解]建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，再依次向右连续平移2π个单位，得到y＝sinx的图象．描出点110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连结得到y＝lgx的图象，如图所示．由图象可知方程sinx＝lgx的解有3个．利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数或两函数图象的交点个数求参数的范围问题.3．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．[解]f(x)＝3sinx，0≤x≤π，－sinx，π＜x≤2π的图象如图所示，故由图象知1＜k＜3.教师独具1．本节课的重点是“五点法”作正弦函数和余弦函数的图象，难点是图象的应用．2．本节课要重点掌握正、余弦函数图象的三个问题(1)正、余弦函数图象的画法．(2)利用正、余弦函数的图象解不等式．(3)正、余弦曲线与其他曲线的交点问题．3．本节课要牢记正、余弦函数图象中五点的确定-7-y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象与x轴的交点；②图象上的最高点和最低点．其中，y＝sinx，x∈[0,2π]与x轴有三个交点：(0,0)，(π，0)，(2π，0)，图象上有一个最高点π2，1，一个最低点3π2，－1；y＝cosx，x∈[0,2π]与x轴有两个交点：π2，0，3π2，0，图象上有两个最高点：(0,1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)．1．用“五点法”作出函数y＝3－cosx的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是________(填序号)．①(π，－1)；②(0,2)；③π2，3；④(π，4)；⑤3π2，1.①⑤[由五点作图法知五个关键点分别为(0,2)，π2，3，(π，4)，3π2，3，(2π，2)，故①⑤不是关键点．]2．函数y＝sinx与函数y＝－sinx的图象关于________对称．x轴[在同一坐标系中画出函数y＝sinx与函数y＝－sinx的图象(略)，可知它们关于x轴对称．]3．sinx＞0，x∈[0,2π]的解集是________．(0，π)[如图所示是y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，由图可知满足sinx＞0，x∈[0,2π]的解集是(0，π)．]4．用“五点法”作出y＝1－sin2x(0≤x≤2π)的简图．[解]y＝1－sin2x＝|cosx|(x∈[0,2π])．列表：x0π2π3π22πcosx10－101|cosx|101011－sin2x10101描点作图，如图．-8-