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-1-第1课时平面向量的坐标运算学习目标核心素养(教师独具)1.掌握向量的坐标表示．(重点)2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．(重点)3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．(易混点)通过学习本节内容提升学生的数学运算核心素养.一、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量的基本定理知，有且只有一对有序实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．思考1：如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?[提示]a＝23i＋2j.思考2：在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1,1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1,1)，则向量a的位置确定了吗？[提示]对于A点，若给定坐标为A(1,1)，则A点位置确定．对于向量a，给定a的坐标为a＝(1,1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关．二、平面向量的坐标运算1．已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．2．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则AB→＝OB→－OA→＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．思考3：设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)-2-如何分别用基底i、j表示？[提示]a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j.1．思考辨析(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．()(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．()(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．()[答案](1)×(2)×(3)√2．若A(2，－1)，B(－1,3)，则AB→的坐标是()A．(1,2)B．(－1，－2)C．(－3,4)D．(3，－4)[答案]C3．若a＝(－1,2)，b＝(3,4)，则a＋b＝________；a－b＝________；3a＝________；－5b＝________.(2,6)(－4，－2)(－3,6)(－15，－20)[a＋b＝(2,6)，a－b＝(－4，－2)，3a＝(－3,6)，－5b＝(－15，－20)．]平面向量的坐标表示【例1】在直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图，|a|＝4，|b|＝3，且∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，分别求向量a，b的坐标．思路点拨：借助三角函数的定义求a，b的坐标．[解]设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由于向量a相对于x轴正方向的转角为45°，所以a1＝|a|cos45°＝4×22＝22，a2＝|a|sin45°＝4×22＝22.可以求得向量b相对于x轴正方向的转角为120°，所以b1＝|b|cos120°＝3×－12＝－32，b2＝|b|sin120°＝3×32＝332.-3-故a＝(22，22)，b＝－32，332.求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算.1．在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别求它们的坐标．[解]设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，则a1＝|a|cos45°＝2×22＝2，a2＝|a|sin45°＝2×22＝2；b1＝|b|cos120°＝3×－12＝－32，b2＝|b|sin120°＝3×32＝332；c1＝|c|cos(－30°)＝4×32＝23，c2＝|c|sin(－30°)＝4×－12＝－2.因此a＝(2，2)，b＝－32，332，c＝(23，－2)．平面向量的坐标运算【例2】已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1，8)，求AB→，AC→，AB→＋AC→，2AB→＋12AC→.思路点拨：直接利用平面向量的坐标运算求解．[解]∵A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，∴AB→＝(3，－1)，AC→＝(－3,2)，-4-AB→＋AC→＝(0,1)，2AB→＋12AC→＝(6，－2)＋－32，1＝92，－1.平面向量坐标的线性运算的方法：1若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.2若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.3向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM→＝3CA→，CN→＝2CB→，求M，N的坐标和MN→的坐标．[解]因为A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，所以CA→＝(1,8)，CB→＝(6,3)．设M(x，y)，则CM→＝(x＋3，y＋4)．由CM→＝3CA→得(x＋3，y＋4)＝3(1,8)，即x＋3＝3，y＋4＝24，解得x＝0，y＝20，即M(0,20)．同理可得N(9,2)，所以MN→＝(9，－18)．向量的坐标与点的坐标[探究问题]1．点的坐标与向量的坐标有何区别？提示：(1)向量a＝(x，y)中间用等号连结，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)．2．向量与其终点坐标是一一对应关系吗？提示：不是一一对应关系，当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标与其终点的坐标是一一对应关系．-5-【例3】已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP→＝OA→＋tAB→，试问：(1)当t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？(2)四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值．若不能，说明理由．思路点拨：(1)由已知点的坐标表示出向量OA→，AB→的坐标，从而知道OP→的坐标，即点P的坐标，然后分类讨论即可．(2)若四边形OABP为平行四边形，则OA→＝PB→.[解](1)AB→＝(3,3)，OP→＝OA→＋tAB→＝(1＋3t,2＋3t)，则P(1＋3t,2＋3t)．若P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－23；若P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－13.(2)因为OA→＝(1,2)，PB→＝(3－3t,3－3t)，若OABP是平行四边形，则OA→＝PB→，所以3－3t＝1，3－3t＝2，此方程组无解；故四边形OABP不可能是平行四边形．1．(变条件)若P在第三象限，求t的取值范围．[解]由本例解知，若P在第三象限，则1＋3t0，2＋3t0，解得t－23，所以t的取值范围为－∞，－23.2．(变条件)t为何值时，P在函数y＝－x的图象上？[解]由P点坐标(1＋3t,2＋3t)在y＝－x上，得2＋3t＝－1－3t，解得t＝－12.即t＝－12时，P在y＝－x的图象上．-6-已知含参的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横纵坐标满足的条件，建立关于参数的方程组或不等式组，求解即可.提醒：要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.教师独具1．本节课的重点是平面向量的坐标表示及运算．2．本节课要重点掌握以下问题(1)向量的坐标表示．(2)向量的坐标运算.1．下列说法正确的是()①向量的坐标即此向量终点的坐标；②位置不同的向量其坐标可能相同；③一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标；④相等的向量坐标一定相同．A．①③B．②④C．①④D．②③B[向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同．故正确的说法是②④.]2．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a＋2b的坐标是________．(8,3)[3a＋2b＝3(2,1)＋2(1,0)＝(6,3)＋(2,0)＝(8,3)．]3．已知向量OA→＝(3，－2)，OB→＝(－5，－1)，则向量12AB→的坐标是________．－4，12[∵AB→＝OB→－OA→＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1)，∴12AB→＝－4，12.]4．已知点A(－1,2)，B(2,8)及AC→＝13AB→，DA→＝－13BA→，求点C，D及CD→的坐标．[解]设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由题意可得AC→＝(x1＋1，y1－2)，AB→＝(3,6)，DA→＝(－1－x2,2－y2)，BA→＝(－3，－6)．∵AC→＝13AB→，DA→＝－13BA→，∴(x1＋1，y1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，-7-(－1－x2,2－y2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)，则有x1＋1＝1，y1－2＝2和－1－x2＝1，2－y2＝2，解得x1＝0y1＝4和x2＝－2，y2＝0.∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．因此CD→＝(－2，－4)．