2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积（第2课时）数量积的坐标表示讲

-1-第2课时数量积的坐标表示学习目标核心素养(教师独具)1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算．(重点)2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式．(重点)3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．(重点、难点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.一、平面向量数量积的坐标运算若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．二、向量的长度、夹角、垂直的坐标表示1．向量的模：设a＝(x，y)，则a2＝x2＋y2，即|a|＝x2＋y2.2．向量的夹角公式：设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.特别地，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.思考：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量AB→的模？[提示]∵AB→＝OB→－OA→＝(x2－x1，y2－y1)，∴|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.1．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝()A．1B．－1C．5D．－5B[∵a＝(1，－1)，b＝(2,3)，∴a·b＝1×2－3＝－1.]2．已知a＝(－2，x)，b＝(0,1)，若a·b＝3，则x＝________.-2-3[∵a＝(－2，x)，b＝(0,1)，∴a·b＝x＝3.]3．已知a＝(－5,5)，b＝(0，－3)，则|a|＝________，a与b的夹角为________．523π4[∵a·b＝－15，|a|＝－52＋52＝52，|b|＝3，∴cosθ＝a·b|a||b|＝－1552×3＝－22，又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.]4．已知a＝(3,1)，b＝(x，－5)，若a⊥b，则x＝________.53[∵a⊥b，∴a·b＝0，∴3x－5＝0，∴x＝53.]数量积的坐标运算【例1】已知a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)，求(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a＋b)；(3)(a·b)·c.思路点拨：先求相关向量的坐标，再代入坐标运算表达式求解．[解](1)a·b＝1×2＋3×5＝17.(2)∵a＋b＝(3,8)，2a＋b＝(4,11)，∴(a＋b)·(2a＋b)＝12＋88＝100.(3)(a·b)·c＝17c＝(34,17)．利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件，找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算，列出方程组来进行求解.1．已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c.[解](1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，-3-∴a＝(2,4)．(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，∴a·(b·c)＝0·a＝0，(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)．向量的夹角【例2】已知A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值．思路点拨：先求AB→，AC→，再代入向量夹角公式求∠BAC的余弦值．[解]∵AB→＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，AC→＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，AB→·AC→＝3×(－1)＋3×6＝15.又|AB→|＝32＋32＝32，|AC→|＝－12＋62＝37，∴cos∠BAC＝AB→·AC→|AB→||AC→|.