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-1-3.4互斥事件学习目标核心素养1.了解互斥事件及对立事件的概念，能判断两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立事件．(重点、难点)2．了解两个互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论．会用相关公式进行简单概率计算．(重点)3．注意学生思维习惯的培养，在顺向思维受阻时，转向逆向思维.1.通过求事件发生的概率锻炼学生的数据分析、数学运算核心素养．2．借助于互斥事件概率之间的关系，培养学生的逻辑推理核心素养.1．互斥事件与对立事件的定义(1)一次试验中，不能同时发生的两个事件称为互斥事件，如果事件A和事件B互斥，是指事件A和事件B在一次试验中不能同时发生，也就是说，事件A和事件B同时发生的概率为0.如果事件A1，A2，…，An中的任意两个事件都互斥，就称事件A1，A2，…，An彼此互斥，从集合的角度看，n个事件彼此互斥是指各个事件所含结果的集合彼此不相交．(2)一次试验中，两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A的对立事件记为A.从集合的角度看，事件A的对立事件是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集．思考：互斥事件与对立事件有什么区别和联系？提示：区别从集合角度看，若A，B是互斥事件，则B⊆A，A⊆B；若A，B是对立事件，则有A＝B，A＝B．例如，假设全集是天气情况，那么事件A“晴天”与事件B“下雨”是互斥事件，但不是对立事件，因为天气情况还包括“阴天”“下雪”等联系对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件2．概率加法公式(1)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．-2-(2)一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于每个事件概率的和．3．对立事件的一个重要公式对立事件A与A必有一个发生，故A＋A是必然事件，从而P(A)＋P(A)＝P(A＋A)＝1.由此，我们可以得到一个重要公式：P(A)＝1－P(A)．1．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．其中正确的命题个数是()A．2B．3C．4D．5A[对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，∴④错；只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错．]2．抽查10件产品，设A＝{至少有两件次品}，则A为________．至多有一件次品[“至少有两件次品”的对立事件是“至多有一件次品”．]3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为________．50%[甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.]4．在10张卡片上分别写上0,1,2,3,4,5,6,7,8,9后，任意叠放在一起，从中任取一张，设“抽到大于3的奇数”为事件A，“抽到小于7的奇数”为事件B，则P(A＋B)＝________.12[易知A，B不是互斥事件，所以不能直接套用互斥事件的概率加法公式．事件A＋B包含了5个基本事件，即抽到1,3,5,7,9，则P(A＋B)＝510＝12.]-3-互斥事件与对立事件的判断【例1】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．思路点拨：判断两个事件是否互斥，就是要判断它们能不能同时发生．判断两个互斥事件是否对立，就是要判断它们是否必有一个发生．[解](1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件．当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件．由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)当选出的是1名男生、1名女生时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．1．要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．1．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．-4-(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．思路点拨：解决这类问题搞清互斥事件与对立事件的区别和联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生．[解](1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．2．某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A：“只订甲报”，事件B：“至少订一种报”，事件C：“至多订一种报”，事件D：“不订甲报”，事件E：“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.思路点拨：对于互斥事件要抓住如下特征进行理解：(1)互斥事件研究的是两个事件之间的关系；(2)所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；(3)两个事件互斥是由试验的结果不能同时出现确定的．[解](1)由于事件C“至多订一种报”中有可能“只订甲报”，即事件A与C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件，又由于事件B与E必有一个发生，故B与E是对立事件．(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，从而事件B与D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有这些可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)知，事件E“一种报也不订”只是事件C的一种可能，故C与E有可能同时发生，-5-故C与E不是互斥事件．概率的加法公式【例2】某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下：年最高水位/m[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18]概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内，河流此处的年最高水位在下列范围内的概率：(1)[10,18]；(2)[8,14)．思路点拨：分析数据→各区间相互独立――→对应事件彼此互斥→利用互斥事件概率公式求解[解]记此处河流的年最高水位在[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18]范围内分别为事件A，B，C，D，E，则这5个事件是彼此互斥的，由互斥事件的概率加法公式可得：(1)此处河流的年最高水位在[10,18]的概率是P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.90.(2)此处河流的年最高水位在[8,14)的概率是P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.76.1．将一个事件拆分为若干个互斥事件，分别求出各事件的概率，然后用加法公式计算结果．2．在运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要会把一个事件拆分成几个互斥事件，做到不重不漏．3．常用步骤：(1)确定诸事件彼此互斥；(2)诸事件中有一个发生；(3)先求诸事件分别发生的概率，再求和．3．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝310，P(B)＝12，求“3个球中既有红球又有白球”的概率．-6-思路点拨：记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，分别计算出每个基本事件发生的概率，再利用概率的加法公式进行计算．[解]本题应先判断事件“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A(“3个球中有1个红球，2个白球”)和事件B(“3个球中有2个红球，1个白球”)，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝310＋12＝45.4．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第1声时被接的概率为0.1，响第2声时被接的概率为0.3，响第3声时被接的概率为0.4，响第4声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是多少？思路点拨：直接利用互斥事件的概率加法公式求得结果．[解]记“响第1声时被接”为事件A，“响第2声时被接”为事件B，“响第3声时被接”为事件C，“响第4声时被接”为事件D，“响前4声内被接”为事件E，则易知A，B，C，D互斥，且E＝A＋B＋C＋D，所以由互斥事件的概率加法公式，得P(E)＝P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9.求对立事件的概率【例3】一个袋中装有4个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取2个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取1个球，该球的编号为m，将球放回袋中，再从袋中随机取1个球，该球的编号为n，求nm＋2的概率．思路点拨：(1)利用列举法求出基本事件的总数，进而求出概率；(2)是有放回抽样，所取的编号有先后次序之分，基本事件的总数为16，利用“正难则反”思想求解．[解](1)从袋子中随机取2个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率为26＝13.(2)先从袋中随机取1个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取1个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．满足条件n≥m＋2的结果为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以满足条件n≥m＋2的事件的概率P＝316，-7-故满足条件nm＋2的事件的概率为1－P＝1－316＝1316.1．当直接计算符合条件的事件个数较多时，可先计算其对立事件的概率，再由公式P(A)＝1－P(A)间接地求出符合条件的事件的概率．2．应用公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏，该公式常用于“至多”“至少”型问题的求解．5．4位同学各自在周六、周