-1-模块复习课一、三角函数1.任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(1)y叫做α的正弦,记作sin_α,即sin_α=y;(2)x叫做α的余弦,记作cos_α,即cos_α=x;(3)yx叫做α的正切,记作tan_α,即tanα=yx(x≠0).2.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.(2)商数关系:tanα=sinαcosαα≠kπ+π2,k∈Z.3.诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时,函数名不改变;当k为奇数时,函数名改变,然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变,符号看象限”.4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR{x|x∈R且x≠kπ+π2,}k∈Z值域[-1,1][-1,1]R-2-对称性对称轴:x=kπ+π2(k∈Z);对称中心:(kπ,0)(k∈Z)对称轴:x=kπ(k∈Z);对称中心:kπ+π2,0(k∈Z)对称中心:kπ2,0(k∈Z),无对称轴奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性最小正周期:2π最小正周期:2π最小正周期:π单调性在-π2+2kπ,π2+2kπ(k∈Z)上是单调增函数;在π2+2kπ,3π2+2kπ(k∈Z)上是单调减函数在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上是单调增函数;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上是单调减函数在开区间(kπ-π2,kπ+π2)(k∈Z)上是单调增函数最值在x=π2+2kπ(k∈Z)时,ymax=1;在x=-π2+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1在x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;在x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1无最值二、平面向量1.向量的运算:设a=(x1,y1),b=(x2,y2).向量运算法则(或几何意义)坐标运算向量的线性运算加法a+b=(x1+x2,y1+y2)三角形法则平行四边形法则减法a-b=(x1-x2,y1-y2)-3-减法法则数乘(1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ0时,λa的方向与a的方向相同;当λ0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λa=(λx1,λy1)向量的数量积运算a·b=|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角)规定0·a=0,数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积a·b=x1x2+y1y22.两个定理(1)平面向量基本定理①定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.②基底:把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)向量共线定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa.3.向量的平行与垂直a,b为非零向量,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b有唯一实数λ使得b=λax1y2-x2y1=0a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=04.平面向量的三个性质(1)若a=(x,y),则|a|=a·a=x2+y2.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB→|=x2-x12+y2-y12.(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,则cosθ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2x21+y21x22+y22.5.向量的投影向量a在b方向上的投影为|a|cosθ=a·b|b|.6.向量的运算律(1)交换律:a+b=b+a,a·b=b·a.(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c),a-b-c=a-(b+c),(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb,(a+b)·c=a·c+b·c.-4-(4)重要公式:(a+b)·(a-b)=a2-b2,(a±b)2=a2±2a·b+b2.三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β.cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β.sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β.sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β.tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ.tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ.2.二倍角公式sin2α=2sin_αcos_α.cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.tan2α=2tanα1-tan2α.3.升幂公式1+cos2α=2cos2α.1-cos2α=2sin2α.4.降幂公式cos2x=1+cos2x2,sin2x=1-cos2x2.5.和差角正切公式变形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tan_αtan_β),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tan_αtan_β).6.辅助角公式y=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)(其中φ为辅助角,tanφ=ba)(或asinx+bcosx=a2+b2cos(x-φ),tanφ=ab).1.终边与始边重合的角是零角.(×)[提示]终边与始边重合的角是360°的整数倍.2.不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与圆的半径长短有关.(×)[提示]与圆的半径长短无关.3.角α是三角形的内角,则必有sinα>0,cosα≥0.(×)-5-[提示]当α是钝角时cosα<0.4.同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.(√)5.对任意角α,sinαcosα=tanα都成立.(×)[提示]只有cosα≠0时才成立.6.诱导公式中的角α一定是锐角.(×)[提示]只要角α使代数式有意义即可,不一定是锐角.7.在△ABC中,sin(A+B)=sinC.(√)8.函数y=sinx的图象向右平移π2个单位得到函数y=cosx的图象.(×)[提示]应为向左平移π2个单位.9.函数y=cosx的图象关于x轴对称.(×)[提示]关于y轴对称,所有对称轴可表示为x=kπ(k∈Z).10.若sinπ4+π2=sinπ4,则π2是正弦函数y=sinx的一个周期.(×)[提示]若T是一个函数的周期,对任意的x必有f(x+T)=f(x)成立.如sinπ3+π2≠sinπ3,故π2不是y=sinx的周期.11.函数y=sinx,x∈(-π,π]是奇函数.(×)[提示]函数若具备奇偶性首先要满足定义域关于原点对称.12.正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数.(×)[提示]正弦函数、余弦函数有单调区间,但在定义域内单调性不一致,不是单调函数.13.正切函数的定义域和值域都是R.(×)[提示]正切函数的值域是R,定义域为{x|x≠π2+kπ(k∈Z)}.14.把函数y=cosx图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y=cos3x的图象.(×)[提示]应得到y=cos13x的图象.15.函数y=Asin(ωx+φ),x∈R的最大值为A.(×)[提示]最大值应为|A|.16.向量AB→与向量BA→是相等向量.(×)[提示]AB→与BA→大小相等,方向相反,是相反向量.-6-17.任意两个向量的和仍然是一个向量.(√)18.两个相等向量之差等于0.(√)19.实数λ与向量a的积还是向量.(√)20.若ma=mb,则a=b.(×)[提示]m=0时,a=b不成立.21.任意两个向量都可以作为基底.(×)[提示]不共线的两个向量才可以作为基底.22.当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.(√)23.已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a∥b,则必有x1y2=x2y1.(√)24.两个向量的数量积仍然是向量.(×)[提示]两个向量的数量积是数.25.|AB→|的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的.(√)26.若△ABC为直角三角形,则有AB→·BC→=0.(×)[提示]只有∠B=90°时,AB→·BC→=0成立.27.对任意α,β∈R,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ都成立.(√)28.存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sinα-sinβ成立.(√)29.tanπ2+π4能用公式tan(α+β)展开.(×)[提示]展开式中有tanπ2,此式无意义.30.若α是第一象限角,则tanα2=1-cosα1+cosα.(√)1.(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB→=()A.34AB→-14AC→B.14AB→-34AC→C.34AB→+14AC→D.14AB→+34AC→A[法一:如图所示,EB→=ED→+DB→=12AD→+12CB→=12×12(AB→+AC→)+12(AB→-AC→)=34AB→-14AC→,故选A.-7-法二:EB→=AB→-AE→=AB→-12AD→=AB→-12×12(AB→+AC→)=34AB→-14AC→,故选A.]2.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0B[a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3,故选B.]3.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)=sin2x+3π2-3cosx的最小值为________.[答案]-44.(2018·江苏高考)已知α,β为锐角,tanα=43,cos(α+β)=-55.(1)求cos2α的值;(2)求tan(α-β)的值.[解](1)因为tanα=43,tanα=sinαcosα,所以sinα=43cosα.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=925,因此,cos2α=2cos2α-1=-725.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-55,所以sin(α+β)=1-cos2α+β=255,因此tan(α+β)=-2.因为tanα=43,所以tan2α=2tanα1-tan2α=-247.因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tanα+β1+tan2αtanα+β=-211.5.(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它-8-的终边过点P-35,-45.(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cosβ的值.[解](1)由角α的终边过点P-35,-45,得sinα=-45.所以sin(α+π)=-sinα=45.(2)由角α的终边过点P-35,-45,得cosα=-35.由sin(α+β)=513,得cos(α+β)=±1213.由cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cosβ=-5665或cosβ=1665.