2019-2020学年高中数学 第2章 概率 2.3.2 事件的独立性讲义 苏教版选修2-3

-1-2.3.2事件的独立性学习目标核心素养1.了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．(难点)2．掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式，并能利用该公式计算相关问题的概率．(重点)3．了解互斥事件与相互独立事件的联系与区别，综合利用事件的互斥性与独立性求解综合问题．(易错点)1.借助两个事件相互独立的概念，提升数学抽样素养．2．通过具体的实际问题，培养数学建模素养.1．事件的独立性的概念(1)概念：若事件A，B满足P(A|B)＝P(A)，则称事件A，B独立．(2)含义：P(A|B)＝P(A)说明事件B的发生不影响事件A发生的概率．2．相互独立事件的概率计算如果任何事件与必然事件独立，与不可能事件也独立，那么(1)两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)．(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．3．相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立．思考1：不可能事件与任何一个事件相互独立吗？[提示]相互独立．不可能事件的发生与任何一个事件没有影响．思考2：必然事件与任何一个事件相互独立吗？[提示]相互独立．必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响．思考3：如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)正确吗？[提示]正确．如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，那么事件A与B，A与B间的关系是()A．A与B，A与B均相互独立-2-B．A与B相互独立，A与B互斥C．A与B，A与B均互斥D．A与B互斥，A与B相互独立A[因为是有放回地摸球，所以事件A的发生不会影响事件B的发生，所以A与B，A与B均相互独立．]2．甲、乙两人投球命中率分别为12，23，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为________．12[事件“甲投球一次命中”记为A，“乙投球一次命中”记为B，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C，则C＝AB∪AB且AB与AB互斥，P(C)＝P(AB∪AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝12×13＋12×23＝36＝12.]3．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．0．240.96[三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5＝0.24.三人都不达标的概率为(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2×0.4×0.5＝0.04.三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.]相互独立事件的判断【例1】判断下列各对事件是否是相互独立事件．(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．[思路探究](1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义进行判断．[解](1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．-3-(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，∴P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16.∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴事件A与B相互独立．判断事件是否相互独立的方法(1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B)．(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(3)条件概率法：当P(A)0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．1．同时掷两颗质地均匀的骰子，令A＝{第一颗骰子出现奇数点}，令B＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A与B是否相互独立．[解]A＝{第一颗骰子出现1,3,5点}，B＝{第二颗骰子出现2,4,6点}．∴P(A)＝12，P(B)＝12，P(AB)＝3×336＝14，∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴事件A，B相互独立．相互独立事件发生的概率【例2】面对某种病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15，14，13.求：(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率．[思路探究]明确已知事件的概率及其关系→-4-把待求事件的概率表示成已知事件的概率→选择公式计算求值[解]令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝15，P(B)＝14，P(C)＝13.(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝15×14×13＝160.(2)他们都失败即事件ABC同时发生．故P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))＝1－151－141－13＝45×34×23＝25.(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P＝1－P(ABC)＝1－25＝35.1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积．2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．2．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．[解]记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于-5-每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝C23C25×C22C25＝310×110＝3100.故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是3100.(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝C13·C12C25·C23C25＝610·310＝950.故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是950.事件的相互独立性与互斥性[探究问题]1．甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件AB与AB呢？[提示]事件A与B，A与B，A与B均是相互独立事件，而AB与AB是互斥事件．2．在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？[提示]“甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C，则C＝AB＋AB.所以P(C)＝P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.3．由探究1、2，你能归纳出相互独立事件与互斥事件的区别吗？[提示]相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A，B同时发生，记作：AB互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)计算公式P(AB)＝P(A)·P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)【例3】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求：-6-(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；(2)求红队至少两名队员获胜的概率．[思路探究]弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值．[解]设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有DEF，DEF，D－E－F，以上3个事件彼此互斥且独立．所以红队有且只有一名队员获胜的概率为P1＝P(DE－F－＋DEF＋D－E－F)＝P(DE－F－)＋P(DEF)＋P(D－E－F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：DEF，DEF，DEF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件DEF，且P(DEF)＝0.4×0.5×0.5＝0.1.∴红队至少两人获胜的概率为P2＝1－P1－P(DEF)＝1－0.35－0.1＝0.55.1．本题(2)中用到直接法和间接法．当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．2．求复杂事件的概率一般可分三步进行：(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．-7-3．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大．[解]记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13.设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率：P3＝(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率：P0＝(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率：P2＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360.恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合(1)(2)可知P1最大．所以出现恰有一人合格的概率最大．1．本节课的重点是事件的相互独立性及其概率的求法，难点是事件相互独立性的判断．2．要掌握事件相互独立性的两个问题．(1)事件相互独立性的判断．(2)事件