2019-2020学年高中数学 第2章 概率 2.5.1 离散型随机变量的均值讲义 苏教版选修2-3

-1-2.5.1离散型随机变量的均值学习目标核心素养1.了解取有限值的离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值．(重点、难点)2．掌握随机变量均值的线性性质及两点分布、超几何分布和二项分布的均值公式．(重点)3．能运用离散型随机变量的均值来解决一些简单的实际问题．(重点)1.经历概念构建，提升逻辑推理素养．2．借助实际应用，培养数学抽象素养.1．离散型随机变量的均值(数学期望)的定义若离散型随机变量X的概率分布如下表所示，Xx1x2…xnPp1p2…pn则称x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或μ，即E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，其中，xi是随机变量X的可能取值，pi是概率，pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1.2．超几何分布、二项分布的数学期望(1)超几何分布：若X～H(n，M，N)，则E(X)＝nMN.(2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.思考1：离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？[提示]①区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化；②联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．思考2：随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其值随X的变化而变化吗？[提示]随机变量的均值是常数，其值不随X的变化而变化．1．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16，12，13.随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为()-2-A．1.18B．3.55C．1.23D．2.38A[因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，P(X＝1.2)＝16，P(X＝1.18)＝12，P(X＝1.17)＝13，所以X的概率分布列为X1.21.181.17P161213则E(X)＝1.2×16＋1.18×12＋1.17×13＝1.18.]2．已知离散型随机变量X的分布列为：X123P35310110则X的数学期望E(X)＝________.32[E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.]3．若随机变量X服从二项分布B4，13，则E(X)的值为________．43[E(X)＝np＝4×13＝43.]两点分布、二项分布、超几何分布的期望【例1】(1)老师把4本不同的数学参考书和2本不同的英语参考书发给甲、乙两位同学，每人3本，假设老师拿每本书是随机的，用随机变量X表示同学甲得到的英语书的本数，则X的数学期望为________．(2)某运动员投篮命中率为p＝0.6.①求投篮1次时命中次数X的数学期望．②求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．(1)1[这是一个超几何分布问题，实际上是从6本书(其中英语书有2本)中取3本的问题．法一：依题意知，X的可能取值为0,1,2，且P(X＝k)＝Ck2·C3－k4C36，k＝0,1,2，故X的分布列-3-如表所示．X012P153515从而E(X)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.法二：依其数学模型知，X服从超几何分布，且n＝3，M＝2，N＝6，则E(X)＝nMN＝3×26＝1.](2)[解]①投篮1次，命中次数X的分布列如表：X01p0.40.6则F(X)＝p＝0.6.②由题意得，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.1．(变换条件)求重复10次投篮时，命中次数ξ的数学期望．[解]重复投篮10次，命中次数ξ服从二项分布，即ξ～B(10，0.6)∴E(ξ)＝10×0.6＝6.2．(变设问)重复5次投篮时，命中次数为Y，随机变量η＝5Y＋2，求E(η)．[解]E(η)＝E(5Y＋2)＝5E(Y)＋2＝5×3＋2＝17.1．通过本例可以看出，若随机变量服从超几何分布或二项分布，利用各自的数学期望公式求均值更方便．2．超几何分布、二项分布的数学期望的求法步骤：(1)判断随机变量是否服从超几何分布或二项分布；(2)找出相应的参数；(3)利用数学期望公式求E(X)．定义法求离散型随机变量的数学期望【例2】盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随-4-机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)．[思路探究](1)利用古典概型求解．(2)先写出X的可能取值，计算出概率并列出概率分布，利用数学期望定义求解．[解](1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P＝C24＋C23＋C22C29＝6＋3＋136＝518.(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝C44C49＝1126；{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X＝3)＝C34C15＋C33C16C49＝20＋6126＝1363；于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X的概率分布如下表：X234P111413631126因此随机变量X的数学期望E(X)＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209.1．求解本题的关键是明确随机变量X的含义，同时计算P(X＝2)时采用了间接法．2．定义法求数学期望的步骤：(1)确定随机变量的取值；(2)求随机变量的概率分布；(3)根据E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求数学期望E(X)．1．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．[解]X可取的值为1,2,3，则P(X＝1)＝35，P(X＝2)＝25×34＝310，-5-P(X＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X的分布列为X123P35310110E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.离散型随机变量的均值实际应用[探究问题]1．某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？[提示]随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X＝0)＝0.3，P(X＝1)＝0.7.2．在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？[提示]每次平均得分为810＝0.8.3．在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？[提示]在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分)．因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平．具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数．【例3】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？[思路探究]根据利润的意义、写出X的取值→写出X的分布列→求出数学期望EX→利用期望回答问题[解](1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.-6-P(X＝6)＝126200＝0.63，P(X＝2)＝50200＝0.25，P(X＝1)＝20200＝0.1，P(X＝－2)＝4200＝0.02.故X的分布列为：X621－2P0.630.250.10.02(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.1．实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论．2．甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环．将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示．(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)．-7-[解](1)由图乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35.所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3，所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.(2)因为E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，E(X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，则有E(X甲)E(X乙)，所以估计甲的水平更高．1．本节课的重点是离散型随机变量的均值的求法，难点是均值的实际应用．2．要掌握离散型随机变量均值的几个常用结论(1)E(C)＝C(C为常数)；(2)E(aX1＋bX2)＝aE(X1)＋bE(X2)；(3)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2).1．随机变量X的分布列为X123P0.20.5m则X的均值是()A．2B．2.1C．2.3D．随m的变化而变化B[因为0.2＋0.5＋m＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.]2．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数为X，则E(2X＋1)等于()A.54B.52C.3D.72D[由题可知，X服从二项分布，即X～B5，14，所以E(X)＝54，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×54＋1＝72.]3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：-8-ξ78910Px0.10.3y已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为________．0.4[依题意得x＋0.1＋0.3＋y＝1，7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，即x＋y＝0.6，7x＋10y＝5.4，解得y＝0.4.]4．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝________.－16[∵P(X＝1)＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，P(X＝3)＝3a＋b，∴E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3，∴14a＋6b＝3.①又∵(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，∴6a＋3b＝1.②∴由①②可知a＝12，b＝－23，∴a＋b＝－16.]5．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分