2019-2020学年高中数学 第2章 概率 2.1 随机变量及其概率分布讲义 苏教版选修2-3

-1-2.1随机变量及其概率分布学习目标核心素养1.了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列刻画随机现象的重要性，会求某些简单离散型随机变量的分布列．(重点、难点)2．掌握离散型随机变量分布列的性质，掌握两点分布的特征．(重点)1.通过对离散型随机变量的学习，提升数学抽象素养．2．借助随机变量的分布列，提升逻辑推理素养.1．随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．思考1：随机变量是自变量吗？[提示]不是，它是随试验结果变化而变化的，不是主动变化的．思考2：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？[提示]不一定．离散型随机变量的取值可以一一列举出来，所取值可以是有限个，也可以是无限个．2．概率分布列假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，①则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．称表Xx1x2…xnPp1p2…pn为随机变量X的概率分布表，它和①都叫做随机变量X的概率分布．显然，这里的pi(i＝1,2，…，n)满足条件：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.思考3：在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数吗？[提示]错误．每一个可能值对应的概率为[0,1]中的实数．思考4：离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1吗？[提示]不可以．由离散型随机变量的含义与分布列的性质可知不可以．思考5：离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的吗？[提示]是．离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的．-2-3．两点分布如果随机变量X的分布表为X10Ppq其中0p1，q＝1－p，这一类分布称为0­1分布或两点分布，并记为X～0­1分布或X～两点分布．1．掷均匀硬币一次，随机变量为()A．掷硬币的次数B．出现正面向上的次数C．出现正面向上的次数或反面向上的次数D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和B[掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的概率的和必是1，对应的是必然事件，所以不是随机变量．]2．设离散型随机变量ξ的分布列如下：ξ－10123P0.100.200.100.200.40则P(ξ1.5)＝________.0．40[P(ξ1.5)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.10＋0.20＋0.10＝0.40.]3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验成功与否(记X＝0为试验失败，记X＝1为试验成功)，则P(X＝0)等于________．13[设试验失败的概率为p，则2p＋p＝1，∴p＝13.]随机变量的概念【例1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；(2)2019年1月1日至5月1日期间所查酒驾的人数；(3)2019年6月1日济南到北京的某次列车到北京站的时间；(4)体积为1000cm3的球的半径长．[思路探究]利用随机变量的定义判断．-3-[解](1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)列车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1000cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．(2)随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．1．(1)下列变量中，是随机变量的是________．(填上所有正确的序号)①某人掷硬币1次，正面向上的次数；②某音乐网站歌曲《小苹果》每天被点播的次数；③标准大气压下冰水混合物的温度；④你每天早晨起床的时间．(2)一个口袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X，则X的可能取值构成集合________．事件{X＝k}表示取出________个红球，________个白球，k＝0,1,2,3,4.(1)①②④(2){0,1,2,3,4}k4－k[(1)①②④中每个事件的发生是随机的，具有可变性，故①②④是随机变量；标准大气压下冰水混合物的温度为0℃，是必然的，不具有随机性．(2)由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,4.{X＝k}表示取出的4个球中含k个红球，4－k个白球．]随机变量的分布列及应用【例2】一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ的概率分布．[思路探究]由本例中的取球方式可知，随机变量ξ与球的顺序无关，其中球上的最大号码只有可能是3,4,5，可以利用组合的方法计算其概率．[解]随机变量ξ的可能取值为3,4,5.当ξ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有P(ξ-4-＝3)＝C22C35＝110；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝C23C35＝310；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝C24C35＝610＝35.因此，ξ的分布列为ξ345P11031035利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意i＝1npi＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.2．设随机变量ξ的概率分布为Pξ＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．求：(1)常数a的值；(2)Pξ≥35；(3)P110＜ξ710.[解]题目所给的ξ的概率分布表为ξ1525354555Pa2a3a4a5a(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝115.(2)Pξ≥35＝Pξ＝35＋Pξ＝45＋Pξ＝55＝315＋415＋515＝45或Pξ≥35＝1－-5-Pξ≤25＝1－115＋215＝45.(3)因为110ξ710，所以ξ＝15，25，35.故P110ξ710＝Pξ＝15＋Pξ＝25＋Pξ＝35＝a＋2a＋3a＝6a＝6×115＝25.随机变量的可能取值及试验结果[探究问题]1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？[提示]可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？[提示]X＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？[提示]“ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．【例3】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．[思路探究]分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果[解](1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2，…，11.(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5，…，11.X＝3，表示“取出标有1,2的两张卡片”；X＝4，表示“取出标有1,3的两张卡片”；X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两张卡片”；X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”；X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”；-6-X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；X＝10，表示“取出标有4,6的两张卡片”；X＝11，表示“取出标有5,6的两张卡片”．用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在2018年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．[解](1)X可能取值0,1,2,3,4,5，X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)ξ可能取值为0,1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．1．本节课重点是随机变量的概念及随机变量的分布列及其性质，以及两点分布，难点是随机变量的取值及概率．2．判断一个试验是否为随机试验，依据是这个试验是否满足以下三个条件：(1)试验在相同条件下是否可以重复；(2)试验的所有可能结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；(3)每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果．3．本节课的易错点：在利用分布列的性质解题时要注意：①X＝xi的各个取值所表示的事件是互斥的；②不仅要注意i＝1npi＝1，而且要注意0≤pi≤1，i＝1,2，…，n.-7-1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．()(2)在概率分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．()(3)概率分布列中每个随机变量的取值对应的概率都相等．()(4)在概率分布列中，所有概率之和为1.()[解析](1)√因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．(2)×因为在概率分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]范围内．(3)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．(4)√由分布列的性质可知，该说法正确．[答案](1)√(2)×(3)×(4)√2．下列叙述中，是随机变量的为()A．某人早晨在车站等出租车的时间B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度C．射击十次，命中目标的次数D．袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性C[根据随机变量的含义可知，选C.]3．随机变量η的分布列如下：η123456P0.2x0.350.10.150.2则x＝________，P(η≤3)＝________.00.55[由分布列的性质得0．2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.]4．袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X为此时已摸球的次数，求随机变量X的概率分布列．[解]随机变量X可取的值为2,3,4，P(X＝2)＝C12C13C12C15C14＝35；P(X＝3)＝A22C13＋A23C12