2019-2020学年高中数学 第2章 概率 2.4 二项分布讲义 苏教版选修2-3

-1-2.4二项分布学习目标核心素养1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布．(重点)2．能利用二项分布解决一些简单的实际问题．(难点)1.通过对n次独立重复试验及二项分布的学习，培养数学抽象素养．2．借助两个模型解决实际问题，提升数学建模素养.1．n次独立重复试验(1)定义：一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与A，每次试验中P(A)＝p0.我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验．(2)概率计算：在n次独立重复试验中，如果每次试验事件A发生的概率均为p(0p1)，那么在这n次试验中，事件A恰好发生k次的概率．Pn(k)＝Cknpkqn－k，k＝0,1,2，…，n.2．二项分布若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Cknpkqn－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．思考1：有放回地抽样试验是独立重复试验吗？[提示]是．有放回地抽样试验是相同条件下重复做的n次试验，是独立重复试验．思考2：二项分布中随机变量X的取值是小于等于n的所有正整数吗？[提示]不是．二项分布中随机变量X的取值是小于等于n的所有自然数．1．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于()A．C810×0.88×0.22B．C810×0.82×0.28C．0.88×0.22D．0.82×0.28A[因为X～B(10,0.8)，所以P(X＝k)＝Ck100.8k(1－0.8)10－k，所以P(X＝8)＝C810×0.88×0.22.]2．独立重复试验满足的条件是________．(填序号)①每次试验之间是相互独立的；-2-②每次试验只有发生和不发生两种情况；③每次试验中发生的机会是相同；④每次试验发生的事件是互斥的．①②③[由n次独立重复试验的定义知①②③正确．]3．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．38[抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P＝C1312122＝38.]独立重复试验中的概率问题【例1】(1)某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击三次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：①他三次都击中目标的概率是0.93；②他第三次击中目标的概率是0.9；③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1；④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12.其中正确结论的序号是________(把正确结论的序号都填上)．(2)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：①5次预报中恰有2次准确的概率；②5次预报中至少有2次准确的概率；③5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．[思路探究]先判断“射击手连续射击3次”能否看成，“一次射击”试验重复做了三次，同样，气象站5次预报准确与否也可看成是5次独立重复的试验，结合二项分布求概率．①②④[(1)三次射击是三次独立重复试验，故正确结论的序号是①②④.](2)[解]记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P＝C25×0.82×0.23＝0.0512≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.②“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C05×(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.00672≈0.01.所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.-3-③说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P＝C14×0.8×0.23×0.8＝0.02048≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．1．(1)甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．(2)在4次独立重复试验中，事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中出现的概率为________．(1)2027(2)13[(1)“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P＝232＋C12×23×13×23＝2027.(2)由题意知，C04p0(1－p)4＝1－6581，p＝13.]二项分布【例2】一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．[思路探究](1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．[解](1)ξ～B5，13，ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck513k235－k，k＝0,1,2,3,4,5.所以ξ的分布列为：-4-ξ012345P32243802438024340243102431243(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝23k·13，k＝0,1,2,3,4；P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝235.故η的分布列为η012345P132942788116243322431．本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为12，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．[解](1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB＋A－B－”，且事件A，B相互独立．∴P(AB＋A－B－)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝12×12＋1－12×1－12＝12.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B4，12.-5-∴P(ξ＝k)＝Ck412k1－124－k＝Ck4124(k＝0,1,2,3,4)．∴随机变量ξ的分布列为ξ01234P116143814116独立重复试验与二项分布综合应用[探究问题]1．王明在做一道单选题时，从A，B，C，D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？[提示]做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n＝1的二项分布．2．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？[提示]服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．3．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？[提示]不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．【例3】甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．[思路探究](1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从-6-二项分布，其中n＝3，p＝23；(2)AB表示事件A、B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．[解](1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且p(ξ＝0)＝C031－233＝127，P(ξ＝1)＝C13231－232＝29，P(ξ＝2)＝C232321－23＝49，P(ξ＝3)＝C33233＝827.所以ξ的分布列为ξ0123P1272949827(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB＝C＋D，且C，D互斥，又P(C)＝C232321－2323×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝1034，P(D)＝C3323313×13×12＝435，由互斥事件的概率公式得P(AB)＝P(C)＋P(D)＝1034＋435＝3435＝34243.对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．-7-3．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．[解]记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3且i，j，k互不相同)相互独立，用P(Ai)＝12，P(Bj)＝13，P(Ck)＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率．P＝3!P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×12×13×16＝16.(2)法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B3，13，且ξ＝3－η，所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C33133＝127，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C2313223＝29，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C1313232＝49，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C03233＝827.故ξ的分布列是ξ0123p1272949827法二：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D