2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质讲义 苏教版选修

-1-2.4.2抛物线的几何性质学习目标核心素养1.掌握抛物线的简单几何性质．(重点)2.会用抛物线的几何性质处理简单问题．(难点)3.直线与抛物线的公共点问题．(易错点)1.借助抛物线的几何性质，培养数学运算素养．2.通过直线与抛物线的位置关系，提升逻辑推理素养.1．抛物线的几何性质类型y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图象性质焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2性质准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下2．抛物线的焦点弦、通径抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．弦长公式为AB＝x1＋x2＋p，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A0B0＝2p，称为抛物线的通径．1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为()A．x2＝±3yB．y2＝±6x-2-C．x2＝±12yD．x2＝±6yC[由题意知抛物线方程为x2＝±2py，且p2＝3，即p＝6，因此抛物线方程为x2＝±12y.]2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝()A．10B．8C．6D．4B[|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]3．过抛物线y2＝4x的焦点F做垂直于抛物线对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，则线段AB的长为________．4[易知线段AB为抛物线的通径，所以AB＝4.]4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.2[F(1,0)，由抛物线定义得A点横坐标为1.∴AF⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2.]依据性质求抛物线标准方程【例1】(1)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．(2)已知抛物线的焦点F在x轴正半轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，若△OAB的面积等于4，则此抛物线的标准方程为________．(1)x2＝16y(2)y2＝42x[(1)∵双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴ca＝a2＋b2a＝2，∴b＝3a，∴双曲线的渐近线方程为3x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点0，p2到双曲线的渐近线的距离为3×0±p22＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.(2)不妨设抛物线的方程为y2＝2px，如图所示，AB是抛物线的通径，∴AB＝2p，又OF＝12p，∴S△OAB＝12·AB·OF＝12·2p·12p＝12p2＝4，故p＝22.∴所求抛物线方程为y2＝42x.]-3-利用抛物线几何性质可以解决的问题1．对称性：解决抛物线的内接三角形问题．2．焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．3．范围：解决与抛物线有关的最值问题．4．焦点：解决焦点弦问题．1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋16y2＝144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的标准方程为________．x2＝12y或x2＝－12y[椭圆的方程可化为x216＋y29＝1，其短轴在y轴上，∴抛物线的对称轴为y轴，设抛物线的标准方程为x2＝2py或x2＝－2py(p＞0)，由抛物线焦点到顶点的距离为3得p2＝3，∴p＝6.∴抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.]与抛物线有关的最值问题【例2】求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．[思路探究]本题的解法有两种：法一，设P(t，－t2)为抛物线上一点，点P到直线的距离为d＝|4t－3t2－8|5，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线4x＋3y＋m＝0与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线相切，求出m的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离．[解]法一：设P(t，－t2)为抛物线上的点，它到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝|4t－3t2－8|5＝|3t2－4t＋8|5＝153t－232－43＋8＝153t－232＋203＝35t－232＋43.-4-∴当t＝23时，d有最小值43.法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，由y＝－x2，4x＋3y＋m＝0，消去y得3x2－4x－m＝0，∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－43.∴最小距离为－8＋435＝2035＝43.抛物线中最值的求解策略1．可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围．2．当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题，一定要考虑抛物线的定义，注意点P到F的距离与点P到准线距离的转化．2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．2[因为抛物线的方程为y2＝4x，所以焦点坐标F(1，0)，准线方程为x＝－1，所以设P到准线的距离为PB，则PB＝PF，P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离为PA，所以PA＋PB＝PA＋PF≥FD，其中FD为焦点到直线4x－3y＋6＝0的距离，所以FD＝|4－0＋6|32＋42＝105＝2，所以距离之和最小值是2.]直线和抛物线的位置关系[探究问题]1．直线与抛物线有哪几种位置关系？[提示]相离，相切，相交2．如何认识抛物线的焦点弦？[提示]如图，AB是抛物线y2＝2px(p0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.-5-(1)以AB为直径的圆必与准线l相切；(2)AB＝2x0＋p2(焦点弦长与中点关系)；(3)AB＝x1＋x2＋p；(4)若直线AB的倾斜角为α，则AB＝2psin2α；如当α＝90°时，AB叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；(5)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝p24，y1·y2＝－p2；(6)1AF＋1BF＝2p.【例3】已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且AB＝52p，求AB所在的直线方程．[思路探究]求AB所在直线的方程的关键是确定直线的斜率k，利用直线AB过焦点F，AB＝x1＋x2＋p＝52p求解．[解]由题意可知，抛物线y2＝2px(p0)的准线为x＝－p2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到抛物线准线的距离分别为dA，dB.由抛物线的定义，知AF＝dA＝x1＋p2，BF＝dB＝x2＋p2，于是AB＝x1＋x2＋p＝52p，∴x1＋x2＝32p.当x1＝x2＝p2时，AB＝2p52p，故直线AB与x轴不垂直．设直线AB的方程为y＝kx－p2.由y＝kx－p2，y2＝2px，得k2x2－p(k2＋2)x＋14k2p2＝0，∴x1＋x2＝pk2＋2k2，即pk2＋2k2＝32p，解得k＝±2.故直线AB的方程为-6-y＝2x－p2或y＝－2x－p2.1．直线与抛物线交点问题的解题思路判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．2．抛物线的弦长求解思路当直线的斜率k存在且k≠0时，弦长公式为|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|；当直线的斜率k＝0时，只有抛物线的对称轴是y轴时弦长存在，弦长公式为|AB|＝|x1－x2|；当直线的斜率k不存在时，只有抛物线的对称轴是x轴时弦长存在，弦长公式为|AB|＝|y1－y2|.3．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．[解]由题意知抛物线焦点为F(1,0)，kAB＝1，所以AB的方程为y＝x－1，代入y2＝4x得(x－1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0，Δ＝32＞0，∴设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，AB＝AF＋FB＝x1＋x2＋2＝8，∴线段AB的长为8.1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点，尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线关于顶点对称．()(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．()-7-[答案](1)×(2)√(3)√2．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝22，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A.12B.14C.16D.18A[线段AB所在的直线的方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为12，0，则焦点到直线AB的距离为1－12＝12.]3．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________．(4,2)[由x－y＝2y2＝4x得x2－8x＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，故线段AB的中点坐标为(4,2)．]4．设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A，B两点，已知弦AB的长为35，求b的值．[解]由y＝2x＋b，y2＝4x，消去y，得4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.由Δ＞0，得b＜12.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝1－b，x1x2＝b24.∴|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2＝1－2b.∴|AB|＝1＋22|x1－x2|＝5·1－2b＝35，∴1－2b＝9，即b＝－4.