2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.5 空间向量的数量积讲义 苏教版

-1-3.1.5空间向量的数量积学习目标核心素养1.掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律．(重点)2.掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题．(重点、难点)3.了解向量夹角与直线所成角的区别．(易错点)1.通过数量积的概念、性质和运算律的学习，培养逻辑推理素养．2.借助空间角、距离等问题，提升数学运算素养.1．空间向量的夹角a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉，a，b的范围是[0，π]，如果〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.2．空间向量的数量积(1)数量积的定义设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|·cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)数量积的性质a，b＝a·b|a||b|(a，b是两个非零向量)．(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b是两个非零向量)．(3)|a|2＝a·a＝a2.(3)数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)；(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．数量积的坐标表示(1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.-2-(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0(a≠0，b≠0)．(3)|a|＝a·a＝x21＋y21＋z21.(4)cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21·x22＋y22＋z22(a≠0，b≠0)．(2)空间两点间距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？(2)若a·b0，则〈a，b〉一定是锐角吗？[提示](1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0(2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b0，故当a·b0时，〈a·b〉不一定是锐角．1．已知正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为a，设AB→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，则〈A′B→，B′D′→〉等于()A．30°B．60°C．90°D．120°D[△B′D′C是等边三角形，〈A′B→，B′D′→〉＝〈D′C→，B′D′→〉＝120°.]2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝()A.1B.15C.35D.75D[ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝75.]3．若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则AB→＝_________，|AB|→＝__________.(1，－1，－1)3[AB→＝(1，－1，－1)，|AB→|＝12＋－12＋－12＝3.]4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________.23π[cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－33×2＝－12.所以〈a，b〉＝23π.]求空间向量的数量积-3-【例1】已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积．(1)BC→·ED1→；(2)BF→·AB1→.[思路探究]法一(基向量法)：BC→与ED1→，BF→与AB1→的夹角不易求，可考虑用向量AB→，AD→，AA1→表示向量BC→，ED1→，BF→，AB1→，再求结论即可．法二(坐标法)：建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积．[解]法一(基向量法)：如图所示，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)BC→·ED1→＝BC→·(EA1→＋A1D1→)＝b·12c－a＋b＝|b|2＝42＝16.(2)BF→·AB1→＝(BA1→＋A1F→)·(AB→＋AA1→)＝c－a＋12b·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.法二(坐标法)：以A为原点建立空间直角坐标系，如上图所示，则B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D1(0,4,2)，F(0，2,2)，A(0,0,0)，B1(2,0,2)，∴BC→＝(0,4,0)，ED1→＝(－1,4,1)，BF→＝(－2,2,2)，AB1→＝(2,0,2)，(1)BC→·ED1→＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16.(2)BF→·AB1→＝－2×2＋2×0＋2×2＝0.解决此类问题的常用方法1．基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算．注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量．2．坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法比较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可．1．在上述例1中，求EF→·FC1→.-4-[解]法一：EF→·FC1→＝12c－a＋12b·12b＋a＝12(－a＋b＋c)·12b＋a＝－12|a|2＋14|b|2＝2.法二：以A为原点建立空间直角坐标系，则E(1,0,1)，F(0，2,2)，C1(2,4,2)，∴EF→＝(－1,2,1)，FC1→＝(2,2,0)，∴EF→·FC1→＝－1×2＋2×2＋1×0＝2.利用数量积求夹角和距离如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.(1)求AC′的长；(2)求AC′→与AC→的夹角的余弦值．[思路探究]求线段长，要利用向量的方法求解，关键是找到表示AC′的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解，求夹角问题则是向量数量积的逆用．[解](1)∵AC′→＝AB→＋AD→＋AA′→，∴|AC′→|2＝(AB→＋AD→＋AA′→)2＝|AB→|2＋|AD→|2＋|AA′→|2＋2(AB→·AD→＋AB→·AA′→＋AD→·AA′→)＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85.∴|AC′→|＝85.(2)法一：设AC′→与AC→的夹角为θ，∵ABCD是矩形，∴|AC→|＝32＋42＝5.由余弦定理可得cosθ＝AC′2＋AC2－CC′22AC′·AC＝85＋25－252·85·5＝8510.法二：设AB→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，依题意得AC′→·AC→＝(a＋b＋c)·(a＋b)＝a2＋2a·b＋b2＋a·c＋b·c＝16＋0＋9＋4×5×cos60°＋3×5×cos60°＝16＋9＋10＋152＝852，-5-∴cosθ＝AC′→·AC→|AC′→|·|AC→|.