2019-2020学年新教材高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性

-1-第2课时等式性质与不等式性质学习目标核心素养1.掌握不等式的性质．(重点)2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．(难点)3．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异.1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力．2．借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养.1．等式的性质(1)性质1如果a＝b，那么b＝a；(2)性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；(3)性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；(4)性质4如果a＝b，那么ac＝bc；(5)性质5如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．1．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是()A．a－b＞d－cB．a＋d＞b＋cC．a－c＞b－cD．a－c＜a－dB[根据不等式的性质．]2．与ab等价的不等式是()A．|a||b|B．a2b2-2-C.ab1D．a3b3D[可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足ab.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足ab，故选D.]3．设xa0，则下列不等式一定成立的是()A．x2axa2B．x2axa2C．x2a2axD．x2a2axB[∵xa0，∴x2a2.∵x2－ax＝x(x－a)0，∴x2ax.又ax－a2＝a(x－a)0，∴axa2.∴x2axa2.]利用不等式性质判断命题真假【例1】对于实数a，b，c下列命题中的真命题是()A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则1a＞1bC．若a＜b＜0，则ba＞abD．若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0[思路点拨]本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断．D[法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；由a＞b＞0，有ab＞0⇒aab＞bab⇒1b＞1a，故B为假命题；a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－1b＞－1a＞0a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒ab＞ba，故C为假命题；a＞b⇒b－a＜01a＞1b⇒1a－1b＞0⇒b－aab＞0ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．-3-法二：特殊值排除法．取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．取a＝2，b＝1，则1a＝12，1b＝1.有1a＜1b，故B错．取a＝－2，b＝－1，则ba＝12，ab＝2，有ba＜ab，故C错．]运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.1．下列命题正确的是()A．若a2＞b2，则a＞bB．若1a＞1b，则a＜bC．若ac＞bc，则a＞bD．若a＜b，则a＜bD[A错，例如(－3)2＞22；B错，例如12＞1－3；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.]利用不等式性质证明简单不等式【例2】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：ea－c2＞eb－d2.[思路点拨]可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．[证明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.两边同乘以1a－c2b－d2，得1a－c2＜1b－d2.-4-又e＜0，∴ea－c2＞eb－d2.本例条件不变的情况下，求证：ea－c＞eb－d.[证明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴0＜1a－c＜1b－d，又∵e＜0，∴ea－c＞eb－d.利用不等式的性质证明不等式注意事项1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.2．已知ab，ef，c0，求证：f－ace－bc.[证明]∵ab，c0，∴acbc.又∵ef，∴e＋acf＋bc，∴e－bcf－ac，∴f－ace－bc.不等式性质的应用[探究问题]1．小明同学做题时进行如下变形：∵2b3，∴131b12，又∵－6a8，∴－2ab4.你认为正确吗？为什么？提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负-5-数，不等号方向改变，在本题中只知道－6a8.不明确a值的正负．故不能将131b12与－6a8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．2．由－6a8，－4b2，两边分别相减得－2a－b6，你认为正确吗？提示：不正确．因为同向不等式具有可加性．但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？∵2a－b4，∴－4b－a－2.又∵－2a＋b2，∴0a3，－3b0，∴－3a＋b3.这怎么与－2a＋b2矛盾了呢？提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2a－b4与－2a＋b2两边相加得0a3，又将－4b－a－2与－2a＋b2两边相加得出－3b0，又将该式与0a3两边相加得出－3a＋b3，多次使用了这种转化，导致了a＋b范围的扩大．【例3】已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与ab的取值范围．[思路点拨]依据不等式的性质，找到－b与1b的范围，进而求出a－b与ab的取值范围．[解]因为1＜a＜4,2＜b＜8，所以－8＜－b＜－2.所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2.又因为18＜1b＜12，所以18＜ab＜42＝2，即18＜ab＜2.求含字母的数或式子的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.3．已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．-6-[解]∵已知－π2≤α＜β≤π2，∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4，两式相加，得－π2＜α＋β2＜π2.∵－π4＜β2≤π4.∴－π4≤－β2＜π4.∴－π2≤α－β2＜π2，又知α＜β，∴α－β2＜0.故－π2≤α－β2＜0.1．在应用不等式性质时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性.1．思考辨析(1)若ab，则acbc一定成立．()(2)若a＋cb＋d，则ab，cd.()[提示](1)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若ab，则acbc不一定成立．(2)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋cb＋d，但不满足ab.[答案](1)×(2)×2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是()A．a－d＞b－cB．－ad＜－bcC．a＋d＞b＋cD．ac＞bdC[由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，所以A正确；由c＞d＞0，得1d＞1c＞0.-7-又a＞b＞0，所以ad＞bc，－ad＜－bc即B正确；显然D正确，因此不正确的选项是C.]3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是()A．－2＜α－β＜0B．－2＜α－β＜－1C．－1＜α－β＜0D．－1＜α－β＜1A[由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1.∴－2＜α－β＜2，但α＜β.故知－2＜α－β＜0.]4．若bc－ad≥0，bd0.求证：a＋bb≤c＋dd.[证明]因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，因为bd0，所以ab≤cd，所以ab＋1≤cd＋1，所以a＋bb≤c＋dd.