2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.1 指数（第1课时）根式讲义

-1-第1课时根式学习目标核心素养1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)2．能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养.1．根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数naRn为偶数±na[0，＋∞)(3)根式式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质(n1，且n∈N*)(1)n为奇数时，nan＝a.(2)n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根．思考：(na)n中实数a的取值范围是任意实数吗？提示：不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；当n为大于1的偶数时，a≥0.-2-1.481的运算结果是()A．3B．－3C．±3D．±3A[481＝434＝3.]2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是()A.4m2B.5mC.6mD.5－mC[当m0时，6m没有意义，其余各式均有意义．]3．下列说法正确的个数是()①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义．A．1B．2C．3D．4B[①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④.]4．若x3＝－5，则x＝________.－35[若x3＝－5，则x＝3－5＝－35.]n次方根的概念问题【例1】(1)27的立方根是________．(2)已知x6＝2019，则x＝________.(3)若4x＋3有意义，则实数x的取值范围为________．(1)3(2)±62019(3)[－3，＋∞)[(1)27的立方根是3.(2)因为x6＝2019，所以x＝±62019.(3)要使4x＋3有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.-3-所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．]n次方根的个数及符号的确定1n的奇偶性决定了n次方根的个数；2n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号.1．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子：①6－32n；②5a2；③6－52n＋1；④9－a2，其中无意义的有()A．1个B．2个C．3个D．0个A[①中(－3)2n0，所以6－32n有意义；②中根指数为5有意义；③中(－5)2n＋10，因此无意义；④中根指数为9，有意义．选A.]利用根式的性质化简求值【例2】化简下列各式：(1)5－25＋(5－2)5；(2)6－26＋(62)6；(3)4x＋24.[解](1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(3)原式＝|x＋2|＝x＋2，x≥－2.－x－2，x－2.正确区分nan与(na)n(1)(na)n已暗含了na有意义，据n的奇偶性可知a的范围；(2)nan中的a可以是全体实数，nan的值取决于n的奇偶性．2．若9a2－6a＋1＝3a－1，求a的取值范围．-4-[解]∵9a2－6a＋1＝3a－12＝|3a－1|，由|3a－1|＝3a－1可知3a－1≥0，∴a≥13.故a的取值范围为13，＋∞.有限制条件的根式的运算[探究问题]1．当ab时，a－b2等于多少？提示：当ab时，a－b2＝a－b.2．绝对值|a|的代数意义是什么？提示：|a|＝a，a≥0，－a，a0.【例3】(1)若x0，则x＋|x|＋x2x＝________.(2)若－3x3，求x2－2x＋1－x2＋6x＋9的值．[思路点拨](1)由x0，先计算|x|及x2，再化简．(2)结合－3x3，开方、化简，再求值．(1)－1[∵x0，∴|x|＝－x，x2＝|x|＝－x，∴x＋|x|＋x2x＝x－x－1＝－1.](2)[解]x2－2x＋1－x2＋6x＋9＝x－12－x＋32＝|x－1|－|x＋3|，当－3x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.当1x3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.因此，原式＝－2x－2，－3x≤1，－4，1x3.1．在本例(1)条件不变的情况下，求3x3＋x2|x|.[解]3x3＋x2|x|＝x＋|x||x|＝x＋1.2．将本例(2)的条件“－3x3”改为“x≤－3”，则结果又是什么？-5-[解]原式＝x－12－x＋32＝|x－1|－|x＋3|.因为x≤－3，所以x－10，x＋3≤0，所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.带条件根式的化简1有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.2有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.1．注意nan同(na)n的区别．前者求解时，要分n为奇数还是偶数，同时要注意实数a的正负，而后者(na)n＝a是恒等式，只要(na)n有意义，其值恒等于a.2．一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况．1．思考辨析(1)实数a的奇次方根只有一个．()(2)当n∈N*时，(n－2)n＝－2.()(3)π－42＝π－4.()[答案](1)√(2)×(3)×2．已知m10＝2，则m等于()A.102B．－102C.210D．±102D[∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±102.]3.π－42＋3π－33＝________.1[π－42＋3π－33＝4－π＋π－3＝1.]4．已知－1x2，求x2－4x＋4－x2＋2x＋1的值．[解]原式＝x－22－x＋12＝|x－2|－|x＋1|.-6-因为－1x2，所以x＋10，x－20，所以原式＝2－x－x－1＝1－2x.